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Inducción en espira rectangular móvil con voltímetro (F2GIA)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Intensidad de la corriente eléctrica en la espira)
(Enunciado)
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==Enunciado==
==Enunciado==
Una espira rectangular <math>ABCD</math> está formada por cuatro conductores filiformes de igual resistividad y sección, y de longitudes <math>a</math> y <math>2a</math>, siendo <math>R</math> su resistencia eléctrica total. En el lado corto <math>AB</math> tiene incrustado un generador eléctrico ideal con una f.e.m. constante <math>\mathcal{E}_0</math>, y con sus electrodos conectados de manera que, por sí sola, generaría una corriente eléctrica que recorrería la espira en sentido horario. Además, en los puntos medios de los lados largos, <math>BC</math> y <math>DA</math>, se conectan sendos conductores filiformes rectilíneos de resistencia nula, paralelos a los lados cortos y que terminan en los extremos <math>E</math> y <math>F</math>, muy próximos pero con una pequeña separación entre ellos, que hace que está rama del circuito esté abierta.
Una espira rectangular <math>ABCD</math> está formada por cuatro conductores filiformes de igual resistividad y sección, y de longitudes <math>a</math> y <math>2a</math>, siendo <math>R</math> su resistencia eléctrica total. En el lado corto <math>AB</math> tiene incrustado un generador eléctrico ideal con una f.e.m. constante <math>\mathcal{E}_0</math>, y con sus electrodos conectados de manera que, por sí sola, generaría una corriente eléctrica que recorrería la espira en sentido horario. Además, en los puntos medios de los lados largos, <math>BC</math> y <math>DA</math>, se conectan sendos conductores filiformes rectilíneos de resistencia nula, paralelos a los lados cortos y que terminan en los extremos <math>E</math> y <math>F</math>, muy próximos pero con una pequeña separación entre ellos, que hace que está rama del circuito esté abierta.

Revisión de 11:55 9 jul 2019

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Contenido

1 Enunciado

Una espira rectangular ABCD está formada por cuatro conductores filiformes de igual resistividad y sección, y de longitudes a y 2a, siendo R su resistencia eléctrica total. En el lado corto AB tiene incrustado un generador eléctrico ideal con una f.e.m. constante \mathcal{E}_0, y con sus electrodos conectados de manera que, por sí sola, generaría una corriente eléctrica que recorrería la espira en sentido horario. Además, en los puntos medios de los lados largos, BC y DA, se conectan sendos conductores filiformes rectilíneos de resistencia nula, paralelos a los lados cortos y que terminan en los extremos E y F, muy próximos pero con una pequeña separación entre ellos, que hace que está rama del circuito esté abierta.

La espira se encuentra siempre contenida en el plano OXY, con sus lados cortos AB y CD paralelos al eje OY, y se desplaza con velocidad constante \vec{v}_0=v_0\!\ \vec{\imath}, con v0 = a / T. Inicialmente, la espira se encuentra en una región donde no existe campo magnético, pero a partir del instante que consideramos t = 0, la espira penetra por su lado corto CD en una región donde existe un campo magnético uniforme \vec{B}_0=-B_0\!\ \vec{k}, cuya intensidad se ajusta de manera que se cumpla B_0\!\ a\!\ v_0=\mathcal{E}_0.

(a) Para los instantes anteriores a que la espira entre en la región de campo magnético (t < 0), determine el valor de la intensidad I (medida en sentido horario) de la corriente eléctrica que recorre la espira. Calcule también el valor del voltaje V entre los extremos E y F.
(b) En los instantes de tiempo t > 0, ¿cómo es la señal de intensidad I(t) de la corriente eléctrica que recorre la espira? ¿Y la señal de voltaje V(t) entre los extremos abiertos E y F?
(c) Si se repite el experimento pero conectando los extremos E y F mediante un amperímetro de resistencia nula, ¿cómo sería la señal de intensidad de corriente i(t) que registraría dicho amperímetro en los intervalos de tiempo t < 0 y t > 0?
Archivo:FII_gIA_1acon_18_19_pr.png

2 Solución

2.1 (a) Señales eléctricas en la espira antes de entrar en la región magnetizada

2.1.1 Intensidad de la corriente eléctrica en la espira

Como primer paso, modelaremos el circuito eléctrico del sistema descrito para instantes de tiempo t < 0; es decir, antes de que la espira móvil ABCD entre en la región uniformemente magnetizada, que se corresponde con el semiespacio formado por los puntos P(x,y,z) tales que x < 0. En dicha región, es nulo el flujo magnético a través de cualquier superficie Σ que tuviese como contorno a la espira rectangular. Por tanto, la única fuerza electromotriz existente en la espira ABCD\equiv\partial\Sigma es la \mathcal{E}_0 del generador eléctrico ideal incrustado en el lado AB.

Por otra parte, la espira está formada por cuatro barras rectilíneas y filiformes del mismo material óhmico (cuya resistividad tendrá un valor \rho_{{}_\Omega}), de idéntica sección S y lados iguales dos a dos. Y teniendo en cuenta que los conductores utilizados para medir el voltaje V(t) están conectados a los respectivos centros E^\prime y F^\prime de los lados largos BC y DA, podemos descomponer la espira completa en seis tramos idénticos, filiformes y rectilíneos, también de igual longitud a. En consecuencia, el modelo eléctrico de la espira consistirá en la f.e.m. del generador ideal, conectada a la asociación en serie de seis resistencias eléctricas idénticas R_i=\rho_{{}_\Omega}\!\ a/S, . Y si la resistencia total de la espira es el valor conocido R, se tendrá...

\displaystyle R_{{}_{\partial\Sigma}}=\sum_{i=1}^6 R_i=6\!\ R_i=R  \;\Longrightarrow\; R_i=\rho_{{}_\Omega}\!\ \frac{a}{S}=\frac{R}{6},\;\;\;\; para i=1,\ldots , 6

De la aplicación de la primera ley de Kirchoff en cada uno de los nodos correspondientes a las conexiones en serie de estas resistencias se obtiene que todas ellas son recorridas por la misma intensidad de corriente eléctrica, que será también la misma que recorre el generador, saliendo por el electrodo positivo de éste y recorriendo el circuito--espira en sentido horario, para el cuál asumiremos que I(t) > 0. La aplicación de la segunda ley de Kirchoff en la malla que se corresponde con la espira permite establecer la ecuación del circuito en \partial\Sigma. Como se trata de un circuito cerrado...

\left[\sum_j \mathcal{E}_j\right]_{\partial\Sigma}= \sum_{i=1}^6 I_i R_i \;\;\;\longrightarrow\;\;\;\mathcal{E}_0= I(t)\sum_{i=1}^6  R_i=R\!\ I(t)\;\Longrightarrow\;    I(t<0)=\frac{\mathcal{E}_0}{R}=I_0

2.1.2 Voltaje en el centro de la espira

Para determinar el voltaje entre los extremos abiertos (y próximos) E y F, hemos de aplicar la segunda ley de Kirchoff en alguna de las dos mallas que incluyen estos puntos; es decir, la \partial \Sigma_1\equiv ABE^\prime EFF^\prime, o bien la \partial \Sigma_2\equiv CDF^\prime FEE^\prime, ambas recorridas en el sentido de intensidad de corriente positiva en la espira conductora. Obsérvese que se trata de mallas abiertas: al no existir conexión entre los extremos E y F, no puede haber corriente eléctrica en los cables EE^\prime y FF^\prime; sin embargo, las mallas \partial\Sigma_1 y \partial\Sigma_2 están parcialmente recorridas por la corriente eléctrica de intensidad constante I0en los tramos correspondientes a la espira conductora.

Podemos comprobar que el resultado que se obtiene para la señal de voltaje V(t) = VEVF es el mismo independientemente de la malla en que se aplique la segunda ley de Kirchoff. Si optamos por la malla \partial\Sigma_1, el modelo de circuito estará constituido por la fuerza electromotriz del generador real (recuérdese que para t < 0 no hay f.e.m. inducida en la espira) y las resistencias R1, R2 y R6, correspondientes a los tramos de espira AB, BE^\prime y F^\prime A, respectivamente. Por tanto,

\left[\sum_j \mathcal{E}_j\right]_{\partial\Sigma_1}= I_0( R_1+R_2+R_6) + V_E-V_F \;\;\;\longrightarrow\;\;\;\mathcal{E}_0= 3\!\ I_0\!\ \frac{R}{6}+V(t)\;\Longrightarrow\;    V(t<0)=\mathcal{E}_0-I_0\!\ \frac{R}{2}=\frac{\mathcal{E}_0}{2}

Nótese que en los cables EE^\prime y FF^\prime no se produce ninguna caída de tensión o voltaje, ya que por ellos no circula corriente eléctrica al estar en abierto.

Si aplicamos la segunda ley de Kirchoff en la malla abierta \partial\Sigma_2, encontramos que aquí no habría f.e.m. de ningún tipo; sólo los cables EE^\prime y FF^\prime , y las resistencias R3, R4 y R5 conectadas en serie, que se corresponden con los tramos conductores , E^\prime C, CD y DF^\prime. Planteando la ecuación del circuito en esta malla se obtiene...

\left[\sum_j \mathcal{E}_j\right]_{\partial\Sigma_2}= I_0( R_2+R_4+R_5) + V_F-V_E \;\;\;\longrightarrow\;\;\;0= 3\!\ I_0\!\ \frac{R}{6}-V(t)\;\Longrightarrow\;    V(t<0)=I_0\!\ \frac{R}{2}=\frac{\mathcal{E}_0}{2}

2.2 (b) Señales eléctricas en la espira tras entrar en la región magnetizada

2.2.1 Flujo magnético a través de la espira

Para instantes t > 0 la espira se mueve dentro de la región magnetizada, contenida en todo momento en un plano perpendicular a la dirección del campo magnético existente, \vec{B}_0=-B_0\!\ \vec{k}, con B0 > 0. Hay que tener en cuenta que la espira se desplaza en la dirección de sus lados de longitud 2a, con celeridad constante de valor v0 = a / T; por tanto, la espira \partial\Sigma\equiv ABCD sólo se encontrará parcialmente sometida al campo magnético en el intervalo de tiempo 0 < t < 2T; y para instantes t > 2T, toda la espira estará dentro de la región de campo uniforme.

Para calcular el flujo magnético \Phi_m\big\rfloor_{{}_\Sigma} a través de la espira \partial\Sigma se toma cualquier superficie abierta Σ, cuyo contorno coindica con la espira; por ejemplo, el rectángulo delimitado por ésta en el plano que la contiene. Además, al hacer corresponder el valor positivo de la intensidad de la corriente eléctrica con el sentido horario de ésta, se tendrá que \mathrm{d}\vec{S}\big\rfloor_{{}_\Sigma}=-\mathrm{d}S\!\ \vec{k} será el vector elemento de superficie en la Σ a través de la cuál calcularemos el flujo magnético. Por tanto,

\Phi_m\big\rfloor_{{}_\Sigma}=\int_\Sigma\! \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=\int_{S(t)}\! B_0\!\ \mathrm{d}S=B_0\!\ S(t)

donde S(t) es el área de la parte del rectángulo Σ a través de la cuál fluye el campo magnético \vec{B}_0 en el instante t. Por tanto, para instantes t > 0, a través de la espira se verifica un flujo magnético, en general variable en el tiempo, según la ley horaria

\Phi_m(t>0)\big\rfloor_{{}_\Sigma}=B_0\!\ S(t)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle B_0\!\ a\!\ v_0\!\ t\mathrm{;}\;\; &\mathrm{si}\;\; 0<t<2T\\ \\ \displaystyle B_0\!\ 2a^2\mathrm{,}\;\;\mathrm{cte.}\mathrm{;}\;\;&\mathrm{si}\;\; 2T<t \end{array}\right.

Por tanto, en virtud de las leyes de Faraday y de Lenz, en la espira se inducirá una f.e.m. cuyo efecto tiende se oponerse a dicha variación del flujo.

2.2.2 Intensidad de la corriente eléctrica en la espira

En consecuencia, al realizar un modelo circuital de la espira \partial\Sigma\equiv ABCD una vez que ésta entra en la región magnetizada, es necesario considerar que, además del generador real incustrado en el lado AB, hay una fuerza electromotriz inducida de valor...

\mathcal{E}_\mathrm{ind}(t>0)=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m(t)}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{{}_{\Sigma}}=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle -B_0\!\ a\!\ v_0=-\mathcal{E}_0\mathrm{;}\;\; &\mathrm{si}\;\; 0<t<2T\\ \\ \displaystyle 0\mathrm{;}\;\;&\mathrm{si}\;\; 2T<t \end{array}\right.

... y medida en el mismo sentido que la de dicho generador. Teniendo en cuenta de nuevo que los conductores que conforman la espira se modelan como seis resistencia eléctricas iguales conectadas en serie (entre sí y con las f.e.m. anteriormente descritas), aplicamos las leyes de Kirchoff de manera análoga al apartado anterior para obtener la ecuación del circuito (cerrado) que permite determinar la señal de intensidad de corriente eléctrica que recorre la espira \partial\Sigma para instantes de tiempo t > 0:

\left[\sum_j \mathcal{E}_j\right]_{\partial\Sigma}= \sum_{i=1}^6 I_i R_i \;\;\;\longrightarrow\;\;\;\mathcal{E}_0+\mathcal{E}_\mathrm{ind}(t)= I(t)\sum_{i=1}^6  R_i=R\!\ I(t)\;\Longrightarrow\;    I(t>0)=\frac{\mathcal{E}_0+\mathcal{E}_\mathrm{ind}(t)}{R}=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle 0\mathrm{;}\;\; &\mathrm{si}\;\; 0<t<2T\\ \\ \displaystyle \frac{\mathcal{E}_0}{R}=I_0\mathrm{;}\;\;&\mathrm{si}\;\; 2T<t \end{array}\right.

Es decir, mientras la espira se mueve parcialmente sometida al campo magnético de la región x > 0 (en el intervalo 0 < t < 2T), no hay corriente eléctrica en la espira; esto es consecuencia de que los valores de los parámetros del sistema se hayan ajustado para que se cumpla la relación \mathcal{E}_0=B_0\!\ a\!\ v_0. Posteriormente, para instantes de tiempo t > 2T en que toda la espira está dentro de aquella región, vuelve a circular corriente eléctrica en el circuito, siendo su intensidad la misma que para los instantes t > 0.

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