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| Línea 1: |
Línea 1: |
| = Enunciado =
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| [[Imagen:MR_barra_centro_eje_enunciado.png|right]]
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| Una barra homogénea delgada (sólido "2") de masa <math>M</math> y longitud <math>2L</math> se mueve de modo que
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| su centro se encuentra siempre sobre el eje <math>OZ_1</math>. La barra tiene dos grados de libertad de rotación.
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| El sistema auxiliar <math>OX_0Y_0Z_0</math> se define de modo que la barra esté siempre contenida
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| en el plano <math>OX_0Z_0</math>. La barra está sometida a la acción de la gravedad, como se indica en
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| la figura. El contacto de la barra con el eje <math>OZ_1</math> es liso.
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| #Calcula las reducciones cinematicas en el centro de la barra de los tres movimientos que se pueden definir en el problema.
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| #Encuentra la expresión del momento cinético de la barra respecto de su centro.
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| #Encuentra la expresión de la energía cinética de la barra.
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| #Escribe la Lagrangiana del sistema, así como una integral primera que no sea la energía mecánica.
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| #En el instante inicial, el centro de la barra se encuentra en el punto <math>O</math> y los valores iniciales de las coordenadas angulares son <math>\theta(0) = \pi/2</math> y <math>\phi(0)=0</math>. La barra se encuentra en reposo. Se ejerce una percusión <math>\hat{\vec{F}} = \hat{F}_0\,(\vec{\jmath}_0 + \vec{k}_0)</math> aplicada en el punto <math>B</math>. Determina los valores de las velocidades generalizadas justo después de la percusión.
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| = Solución =
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| == Reducciones cinemáticas ==
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| ==== Movimiento {01} ====
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| Este es el movimiento de rotación permanente del plano <math>OX_0Z_0</math>. La reducción en el punto <math>O</math> es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{\omega}_{01} = \dot{\phi}\,\vec{k}_0,
| |
| \qquad
| |
| \vec{v}_{01}^O = \vec{0}
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Calculamos la velocidad en el punto <math>G</math> usando el Teorema de Chasles
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}_{01}^G = \vec{v}_{01}^O + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Como <math>\overrightarrow{OG} = z\,\vec{k}_0</math>, este vector es paralelo a <math>\vec{\omega}_{01}</math>, el producto vectorial es nulo. La reducción cinemática en el centro de la barra es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{\omega}_{01} = \dot{\phi}\,\vec{k}_0,
| |
| \qquad
| |
| \vec{v}_{01}^G = \vec{0}
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| ==== Movimiento {20} ====
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| Este es el movimiento de la barra respecto del plano <math>OX_0Z_0</math>. La reducción cinemática en el punto <math>G</math> es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{\jmath}_{0,2}
| |
| \qquad
| |
| \vec{v}_{01}^G = \dot{z}\,\vec{k}_{0,1}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
|
| |
| ==== Movimiento {21} ====
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| Construimos la reducción cinemática usando la composición {21} = {20} + {01}. Para el vector rotación tenemos
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} =
| |
| \dot{\theta}\,\vec{\jmath}_{0}
| |
| +
| |
| \dot{\phi}\,\vec{k}_0
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Para la velocidad tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}^G_{21} = \vec{v}^G_{20} + \vec{v}^G_{01}
| |
| =
| |
| \dot{z}\,\vec{k}_0
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
|
| |
| == Momento cinético respecto al centro de masas ==
| |
| El momento cinético respecto al centro de masas se puede calcular con la expresión
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{L}_G = \overset\leftrightarrow{I}_G\cdot\vec{\omega}_{21}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Expresamos el tensor de inercia de la barra en el punto <math>O </math> en la base del sólido solidario con la barra
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \overset\leftrightarrow{I}_O
| |
| =
| |
| I
| |
| \left[
| |
| \begin{array}{ccc}
| |
| 1 & 0 & 0\\
| |
| 0 & 1 & 0\\
| |
| 0 & 0 & 0
| |
| \end{array}
| |
| \right]_2
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| con
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| I = \dfrac{1}{3}ML^2
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Tenemos que expresar el vector rotación <math>\vec{\omega}_{21}</math> en la base "2" para hacer el producto escalar. Examinando el dibujo tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{\imath}_0 = \cos\theta\,\vec{\imath}_2 + \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}_2\\
| |
| \vec{\jmath}_0 = \vec{\jmath}_2\\
| |
| \vec{k}_0 = -\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_2 + \cos\theta\,\vec{k}_2
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| El vector <math>\vec{\omega}_{21}</math> expresado en la base "2" es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{\omega}_{21} = -\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_2 + \dot{\theta}\,\vec{\jmath}_2 + \dot{\phi}\cos\theta\,\vec{k}_2
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| El momento angular es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{L}_G =
| |
| \overset\leftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}_{21}
| |
| =
| |
| I
| |
| \left[
| |
| \begin{array}{ccc}
| |
| 1 & 0 & 0\\
| |
| 0 & 1 & 0\\
| |
| 0 & 0 & 0
| |
| \end{array}
| |
| \right]_2
| |
| \left[
| |
| \begin{array}{c}
| |
| -\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\theta\\
| |
| \dot{\theta}\\
| |
| \dot{\phi}\cos\theta
| |
| \end{array}
| |
| \right]_2
| |
| =
| |
| I
| |
| \left[
| |
| \begin{array}{c}
| |
| -\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\\
| |
| \dot{\theta}\\
| |
| 0
| |
| \end{array}
| |
| \right]_2
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
|
| |
| == Energía cinética de la barra ==
| |
| Podemos calcularla como suma de la energía cinética de traslación del centro de masa y energía cinética de rotación alrededor de él
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| T = T_{tras} + T_{rot}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La energía cinética de traslación es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| T_{tras} = \dfrac{1}{2}M|\vec{v}_{21}^G|^2
| |
| =
| |
| \dfrac{1}{2}M\dot{z}^2
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La de rotación es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| T_{rot} = \dfrac{1}{2}\vec{\omega}_{21}\cdot\overset\leftrightarrow{I}_G\cdot\vec{\omega}_{21}
| |
| =
| |
| \dfrac{1}{2}\vec{L}_G\cdot\vec{\omega}_{21} = \dfrac{1}{6}ML^2\,(\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2\,\mathrm{sen}^2\,\theta)
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La energía cinética total es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| T =\dfrac{1}{2}M|\vec{v}_{21}^G|^2
| |
| +
| |
| \dfrac{1}{6}ML^2\,(\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2\,\mathrm{sen}^2\,\theta)
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
|
| |
| == Lagrangiana e integral primera ==
| |
| La barra está sometida al peso (fuerza conservativa) por lo que se puede definir una energía potencial gravitatoria. Tomando como origen el plano <math>OX_0Y_0</math> tenemos
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| <center>
| |
| <math>
| |
| U = Mgz
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| y la lagrangiana es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| L = T- U = \dfrac{1}{2}M\dot{z}^2
| |
| +
| |
| \dfrac{1}{6}ML^2\,(\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2\,\mathrm{sen}^2\,\theta)
| |
| -
| |
| mgz
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Vemos que la coordenada <math>\phi</math> no aparece en la Lagrangiana. Entonces, de la ecuación de Lagrange correspondiente deducimos que su momento generalizado asociado se conserva
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| p_{\phi} = \dfrac{\partial L}{\partial\dot{\phi}} = \dfrac{1}{3}ML^2\dot{\phi}\,\mathrm{sen}^2\,\theta = cte
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Podemos escribir la integral primera como
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \dot{\phi}\,\mathrm{sen}^2\,\theta = \dot{\phi}(0)\,\mathrm{sen}^2\,\theta(0)
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| == Movimiento impulsivo ==
| |
| Lo más sencillo es utilizar las ecuaciones de Lagrange impulsivas. Tenemos tres grados de libertad
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \Delta p_{z} = \hat{Q}_z \\
| |
| \Delta p_{\theta} = \hat{Q}_\theta\\
| |
| \Delta p_{\phi} = \hat{Q}_\phi
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| El sistema parte del reposo, por tanto
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \dot{z}(0^-) = \dot{\theta}(0^-) = \dot{\phi}(0^-) = 0
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
|
| |
| Para la coordenada <math>z</math>
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| p_z = \dfrac{\partial L}{\partial\dot{z}} = M\dot{z}
| |
| \Longrightarrow
| |
| \Delta p_z = M\dot{z}(0^+) - M\dot{z}(0^-) = M\dot{z}(0^+)
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Para la coordenada <math>\theta</math>
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| p_{\theta} = \dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}} = \dfrac{1}{3}ML^2\dot{\theta}
| |
| \Longrightarrow
| |
| \Delta p_{\theta} = \dfrac{1}{3}ML^2\dot{\theta}(0^+) - \dfrac{1}{3}ML^2\dot{\theta}(0^-) = \dfrac{1}{3}ML^2\dot{\theta}(0^+)
| |
|
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Para la coordenada <math>\phi</math>
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| p_{\phi} = \dfrac{\partial L}{\partial\dot{\phi}} = \dfrac{1}{3}ML^2\dot{\phi}\,\mathrm{sen}^2\theta
| |
| \Longrightarrow
| |
| \Delta p_{\phi} = \dfrac{1}{3}ML^2\dot{\phi}(0^+)\,\mathrm{sen}^2\theta(0^+) - \dfrac{1}{3}ML^2\dot{\phi}(0^-)\,\mathrm{sen}^2\theta(0^-)
| |
| =
| |
| \dfrac{1}{3}ML^2\dot{\phi}(0^+)
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| porque <math>\mathrm{sen}\,\theta(0⁺)= \mathrm{sen}\,(\pi/2) = 1 </math>.
| |
|
| |
| La percusión se aplica en el extremo <math>B</math> de la barra. Necesitamos la velocidad absoluta de ese punto
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}^B_{21} = \vec{v}^G_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{GB}
| |
| =
| |
| L\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath}_0 + L\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_0 + (\dot{z} - L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{k}_0
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Hemos usado que
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \overrightarrow{GB} = L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_0 + L\cos\theta\,\vec{k}_0
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Las fuerzas generalizadas son
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \hat{Q}_z = \hat{\vec{F}}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}^B_{21}}{\partial\dot{z}}= \hat{F}_0 \\
| |
| \hat{Q}_{\theta} = \hat{\vec{F}}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}^B_{21}}{\partial\dot{\theta}} =
| |
| -L\hat{F}_0\,\mathrm{sen}\,\theta(0) = -L\hat{F}_0
| |
| \\
| |
| \hat{Q}_{\phi} = \hat{\vec{F}}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}^B_{21}}{\partial\dot{\phi}} =
| |
| L\hat{F}_0\,\mathrm{sen}\,\theta(0) = L\hat{F}_0
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Aplicando las ecuaciones de Lagrange impulsivas tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \dot{z}(0^+) = \dfrac{\hat{F}_0}{M},
| |
| \qquad
| |
| \dot{\theta}(0^+) = -\dfrac{3\hat{F}_0}{ML},
| |
| \qquad
| |
| \dot{\phi}(0^+) = \dfrac{3\hat{F}_0}{ML}
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Estos son las condiciones iniciales del movimiento ulterior de la barra después de la percusión.
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| [[Categoría:Problemas de Dinámica Vectorial del Sólido Rígido]]
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| [[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]
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