Enunciado

El avión (sólido “0”) de la figura rota alrededor del eje vertical OZ de modo que el centro C de su hélice describe una circunferencia de radio en el sistema de referencia fijo OXYZ (sólido “1”). La velocidad angular de esta rotación es constante, su módulo es y su sentido el indicado en la figura. Además, la hélice (sólido “2”), cuyo radio es , rota en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular también de módulo constante y con el sentido indicado en la figura. Se pide

  1. La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
  2. Aplicando las leyes de composición de velocidades y aceleraciones, la velocidad y la aceleración del punto más alto de la hélice (punto P en la figura).
  3. La reducción cinemática del movimiento {21} en P y la ecuación de su EIRMD ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido “1”?
  4. Calcule numéricamente y para los valores , , y .

Nota: Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” para resolver el ejercicio.

Reducciones cinemáticas de {20} y {01}

Movimiento de arrastre {01}

El movimiento de arrastre es una rotación alrededor del eje permanente . Si reducimos en un punto de este eje (por ejemplo, en O), tenemos una velocidad de deslizamiento nula y una velocidad angular constante

El EIR de este movimiento es el propio eje .

Movimiento relativo {20}

El movimiento {20} es también una rotación pura alrededor de un eje fijo, que pasa por el centro de la hélice C. Reduciendo en este punto tenemos

El EIR de este movimiento es uno paralelo a y que pasa por C.

Velocidad y aceleración de P

Velocidad absoluta de P

La velocidad absoluta de P es la suma de la relativa y la de arrastre

Sustituyendo las velocidades angulares y los vectores de posición relativa queda

Aceleración absoluta de P

Usando la ley de composición de aceleraciones

donde los diferentes términos tienen el valor siguiente:

Aceleración de arrastre {01}
Es la de una rotación con velocidad angular constante en torno a un eje permanente
Aceleración relativa {20}
Es la de otra rotación alrededor de un eje permanente con velocidad angular constante.
Término de Coriolis
Por último tenemos la contribución:

Sumando las tres contribuciones hallamos la aceleración absoluta

Reducción cinemática de {21}

El movimiento absoluto {21}, composición de dos rotaciones puras, no es una rotación pura.

La velocidad angular del movimiento absoluta es la suma de la del relativo más la del de arrastre

La reducción cinemática del movimiento {21} en el punto P es

Calculamos la velocidad de deslizamiento proyectando la velocidad de un punto cualquiera sobre la velocidad angular. Puesto que ya conocemos la velocidad de P, podemos emplear este punto

Tanto el primer invariante (velocidad angular) como el segundo invariante (velocidad de deslizamiento) del movimiento {21} son no nulos. Por tanto, se trata de un movimiento helicoidal instantáneo.

Para hallar la posición del EIRMD empleamos la fórmula general

Sustituyendo las diferentes cantidades

Respecto al punto O, los puntos del eje se encuentran en

Podemos simplificar esta ecuación escribiéndola como

Haciendo

que nos dice que el EIRMD pasa por un punto del eje y corta a este eje perpendicularmente según una dirección contenida en un plano paralelo a .

La reducción cinemática para los puntos del EIRMD (reducción cinemática canónica) es

Valores numéricos

Sustituyendo los valores del enunciado obtenemos la velocidad

con módulo

La aceleración en este mismo instante vale

siendo su módulo

Vemos que mientras que para la velocidad, la contribución del movimiento de rotación de la hélice y del avión contribuyen en igual medida, para la aceleración la principal contribución, con diferencia, proviene de la rotación de la hélice alrededor de su eje.