|
|
| Línea 1: |
Línea 1: |
| ==Enunciado==
| | F1-GIC-2021-22-SPC-Fuerzas |
| [[Archivo:dos-muelles.png|right]]
| |
| | |
| Una partícula <math>P\,</math>, de masa <math>m\,</math>, se mueve en el eje <math>OX\,</math> sometida exclusivamente a las fuerzas que ejercen sobre ella dos resortes elásticos ideales. Ambos resortes tienen longitud natural nula, pero uno de ellos (<math>OP\,</math>) está anclado en el origen de coordenadas <math>O\,</math> y tiene constante elástica <math>k\,</math>, mientras que el otro (<math>AP\,</math>) está anclado en el punto <math>A\,</math> de coordenada <math>x_{_{\! A}}\!=L\,\,</math> y tiene constante elástica <math>2k\,</math>.
| |
| | |
| # ¿Cuál es la posición de equilibrio?
| |
| # ¿Qué celeridad máxima alcanzará la partícula en su movimiento si en el instante inicial se halla en reposo en el punto medio entre <math>O\,</math> y <math>A\,</math>?
| |
| | |
| ==Posición de equilibrio==
| |
| La fuerza neta que actúa sobre la partícula <math>P\,</math> es la suma vectorial de las fuerzas que ejercen sobre ella los dos resortes:
| |
| <center><math>
| |
| \vec{F}=-\,k\,\overrightarrow{OP}-2k\,\overrightarrow{AP}
| |
| </math></center>
| |
| y sustituyendo en esta expresión los vectores de posición de <math>P\,</math> respecto a los puntos de anclaje de los resortes (<math>O\,</math> y <math>A\,</math>):
| |
| <center><math>
| |
| \overrightarrow{OP}=x\,\vec{\imath}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow{AP}=-\,(L-x)\,\vec{\imath}
| |
| </math></center>
| |
| se obtiene:
| |
| <center><math>
| |
| \vec{F}=-\,k\,[x-2(L-x)]\,\vec{\imath}=k\,(2L-3x)\,\vec{\imath}
| |
| </math></center>
| |
| Exigiendo la condición de equilibrio (fuerza neta igual a cero), obtenemos la posición de equilibrio de la partícula:
| |
| <center><math>
| |
| \vec{F}=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,2L-3x_{\mathrm{eq}}=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,x_{\mathrm{eq}}=\frac{2L}{3}
| |
| </math></center>
| |
| | |
| ==Celeridad máxima==
| |
| La energía cinética <math>K\,</math> de la partícula depende de su celeridad <math>v\,</math> mediante la expresión:
| |
| <center><math>
| |
| K=\frac{1}{2}mv^2
| |
| </math></center>
| |
| | |
| Las fuerzas ejercidas sobre la partícula por los resortes son conservativas, y como tales permiten que se les asocie una función energía potencial (elástica) que es función de la posición <math>x\,</math> mediante la expresión:
| |
| <center><math>
| |
| U=\frac{1}{2}k x^2+\frac{1}{2}2k\,(L-x)^2=\frac{1}{2}k\,(3x^2-4Lx+2L^2)
| |
| </math></center>
| |
| | |
| Dado que sobre la partícula no trabaja ninguna fuerza no conservativa, sabemos que su energía mecánica <math>E\,</math> (suma de su energía cinética y su energía potencial) permanece constante durante el movimiento:
| |
| <center><math>
| |
| E=K+U=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}k\,(3x^2-4Lx+2L^2)=\mathrm{cte}
| |
| </math></center>
| |
| | |
| Por el enunciado conocemos las condiciones iniciales del movimiento (reposo en el punto medio entre <math>O\,</math> y <math>A\,</math>):
| |
| <center><math>
| |
| x(0)=\frac{L}{2}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\, v(0)=0
| |
| </math></center>
| |
| | |
| Así que la energía mecánica constante podemos evaluarla a partir de dichas condiciones iniciales:
| |
| <center><math>
| |
| E=E(0)=\frac{1}{2}m[v(0)]^2+\frac{1}{2}k\,\left\{3[x(0)]^2-4L[x(0)]+2L^2\right\}=\frac{1}{2}k\left[3\left(\frac{L}{2}\right)^2-4L\left(\frac{L}{2}\right)+2L^2\right]=\frac{3}{8}\,kL^2
| |
| </math></center>
| |
| | |
| Cuando la partícula alcance su celeridad máxima, también será máxima su energía cinética. Y teniendo en cuenta que la energía mecánica es constante, es obvio que la energía cinética máxima se alcanzará cuando la energía potencial sea mínima:
| |
| <center><math>
| |
| K_{\mathrm{max}}=E-U_{\mathrm{min}}\,
| |
| </math></center>
| |
| | |
| Pero sabemos que la energía potencial toma sus valores extremos (mínimos o máximos) en los puntos de equilibrio (en los cuales se anula la derivada primera de la función energía potencial respecto a su variable <math>x\,</math>). En el caso que nos ocupa, ya hemos calculado la única posición de equilibrio de la partícula, y analizando la derivada segunda de la función energía potencial respecto a <math>x\,</math> descubrimos que es positiva (su valor es constante e igual a <math>3k\,</math>) y que, por tanto, el punto de equilibrio corresponde a un mínimo de energía potencial. Así que:
| |
| <center><math>
| |
| U_{\mathrm{min}}=U|_{x=x_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{2}k\left[3\left(\frac{2L}{3}\right)^2-4L\left(\frac{2L}{3}\right)+2L^2\right]=\frac{1}{3}\,kL^2
| |
| </math></center>
| |
| Y calculamos por fin la energía cinética máxima y la celeridad máxima:
| |
| <center><math>
| |
| K_{\mathrm{max}}=E\,-\,U_{\mathrm{min}}=\frac{3}{8}\,kL^2-\frac{1}{3}\,kL^2=\frac{1}{24}\,kL^2\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\frac{1}{2}mv_{\mathrm{max}}^2=\frac{1}{24}\,kL^2\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,v_{\mathrm{max}}=\sqrt{\frac{k}{3m}}\,\frac{L}{2}
| |
| </math></center>
| |
| | |
| [[Categoría:Problemas de Dinámica del Punto (GITI)]]
| |
