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| ==Enunciado==
| | F1-GIC-2021-22-SPC-Fuerzas |
| [[Archivo:semiaro.png|right]]
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| Sea un semiaro fijo, de radio <math>\,R\,</math> y centro de curvatura <math>\,O\,</math>, contenido en el plano vertical <math>\,OY\!Z\,</math> (ver figura). La partícula <math>\,P\,</math> de masa <math>\,m\,</math>, inicialmente en reposo apoyada sobre el punto más alto del semiaro, sufre una leve perturbación y comienza a deslizar sobre él sin rozamiento y bajo la acción de su propio peso (aceleración gravitatoria: <math>\,\vec{g}=-g\,\vec{k}\,</math>). El deslizamiento continúa hasta cierta posición en la que se observa que la partícula pierde el contacto con el semiaro. Utilícese la coordenada acimutal <math>\,\theta\,</math> de la figura para describir la posición de la
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| partícula sobre el semiaro, y la base polar <math>\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta}\}\,</math> para expresar las magnitudes vectoriales.
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| # Halle la celeridad de la partícula mientras desliza sobre el semiaro.
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| # Determine la fuerza de reacción vincular que el semiaro ejerce sobre la partícula durante su deslizamiento.
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| # ¿En qué posición pierde la partícula el contacto con el semiaro?
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| ==Celeridad durante el deslizamiento==
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| Las fuerzas que actúan sobre la partícula <math>\,P\,</math> mientras desliza sobre el semiaro son dos: su propio peso <math>\,m\vec{g}\,</math> y la fuerza de reacción vincular <math>\,\vec{\Phi}\,</math> que le ejerce el semiaro. El peso <math>\,m\vec{g}\,</math> es una fuerza conservativa, y la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> no realiza trabajo sobre <math>\,P\,</math> porque es siempre perpendicular a su desplazamiento (la fuerza vincular no trabaja en un vínculo liso y esclerónomo). En consecuencia, la energía mecánica <math>\,E\,</math> de la partícula (suma de su energía cinética <math>K\,</math> y su energía potencial <math>U\,</math>) se conservará constante en el tiempo (teorema de conservación de la energía mecánica):
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| <center><math>
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| E=K+\,U=\frac{1}{2}\,mv^{\, 2}+\,mg\underbrace{R\,\mathrm{sen}(\theta)}_{\displaystyle z}=\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(definiendo}\,\,U\,\,\mathrm{de}\,\,\mathrm{modo}\,\,\mathrm{que}\,\,\mathrm{tenga}\,\,\mathrm{su}\,\,\mathrm{origen}\,\,\mathrm{en}\,\,z=0\,\mathrm{)}
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| </math></center>
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| El valor constante de <math>\,E\,</math> se determina evaluando su expresión para las condiciones iniciales dadas <math>\,v(0)=0\,</math>, <math>\,\,\theta(0)=\pi/2\,</math> (la partícula en reposo sobre el punto más alto del semiaro):
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| <center><math>
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| E=mgR \,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,mv^{\, 2}+\,mgR\,\mathrm{sen}(\theta)=mgR\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,v^{\, 2}+\,gR\,\mathrm{sen}(\theta)=gR
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| </math></center>
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| de donde se deduce que la celeridad <math>\,v\,</math> de la partícula durante el deslizamiento vale:
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| <center><math>
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| v=\sqrt{2\,gR\,[1-\mathrm{sen}(\theta)\,]}
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| </math></center>
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| ==Fuerza de reacción vincular durante el deslizamiento==
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| Dado que el vínculo es liso (sin rozamiento), la fuerza vincular <math>\vec{\Phi}\,</math> es perpendicular al propio vínculo y, por tanto, tiene dirección radial <math>\,\vec{u}_{\rho}\,</math>. Expresadas en la base polar, las dos fuerzas actuantes sobre la partícula durante su deslizamiento sobre el semiaro son:
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| <center><math>
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| \left\{\begin{array}{l} m\vec{g}=-mg\,\vec{k}=-mg\,[\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{u}_{\rho}+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{u}_{\theta}\,] \\ \\ \vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\rho} \end{array}\right.
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| </math></center>
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| La aceleración <math>\,\vec{a}\,</math> de la partícula durante su deslizamiento la expresamos primero en la base de Frenet (componentes intrínsecas de la aceleración: <math>a_t=\dot{v}\,</math> y <math>\,a_n=v^2/R_{\kappa}\,</math>), y después la pasamos a la base polar (teniendo presente que en este caso <math>\,\vec{T}=-\vec{u}_{\theta}\,</math> y <math>\,\vec{N}=-\vec{u}_{\rho}\,</math>):
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| <center><math>
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| \,\vec{a}=\dot{v}\,\vec{T}+\frac{v^2}{R}\,\vec{N}=-\,\frac{v^2}{R}\,\vec{u}_{\rho}-\dot{v}\,\vec{u}_{\theta}
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| </math></center>
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| Proyectando la segunda ley de Newton{{qquad}} <math>m\vec{g}+\vec{\Phi}=m\,\vec{a}</math>{{qquad}} sobre la dirección radial <math>\,\vec{u}_{\rho}\,</math>, se obtiene la siguiente ecuación escalar:
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| <center><math>
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| -mg\,\mathrm{sen}(\theta)+\Phi=-\,m\,\frac{v^2}{R}
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| </math></center>
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| La fuerza de reacción vincular <math>\,\vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\rho}\,</math>, que ejerce el semiaro sobre la partícula durante su deslizamiento, queda determinada por el valor de <math>\,\Phi\,</math> que se obtiene despejando en la anterior ecuación:
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| <center><math>
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| \Phi=m\!\left[g\,\mbox{sen}(\theta)-\displaystyle\frac{v^2}{R}\right]
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| </math></center>
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| y sustituyendo la expresión de la celeridad {{qquad}}<math>\,v=\sqrt{2\,gR\,[1-\mathrm{sen}(\theta)\,]}\,</math>{{qquad}} del apartado anterior:
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| <center><math>
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| \Phi=mg \left[\,3\,\mathrm{sen}(\theta)-2\,\right]
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| </math></center>
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| ==Posición de pérdida del contacto partícula-semiaro==
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| Mientras desliza, la partícula <math>\,P\,</math> se halla en contacto con el semiaro, pero sólo está apoyada sobre él. El semiaro impedirá que la partícula lo atraviese de fuera a dentro, pero no podrá evitar que en cierto instante la partícula pierda el contacto con él y lo abandone (se trata de un vínculo unilateral). Esto se traduce matemáticamente en que la fuerza vincular <math>\,\vec{\Phi}=\Phi\,\vec{u}_{\rho}\,</math> sólo puede estar dirigida hacia fuera del semiaro, nunca hacia dentro. Dicho de otro modo, la componente radial <math>\,\Phi\,</math> de la citada fuerza debe ser siempre mayor o igual que cero, condición que restringe el intervalo de valores posibles de <math>\,\theta</math>:
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| <center><math>
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| \Phi=mg\left[\,3\,\mathrm{sen}(\theta)-2\,\right]\geq 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{sen}(\theta)\geq\frac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\,90^{\, o}\geq \theta\geq 41,8^{\, o}
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| </math></center>
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| Por tanto, la partícula pierde el contacto con el semiaro cuando alcanza la posición <math>\,\theta=\theta^{\, *}\!=41,8^{\, o}\,</math>, en la que <math>\,\Phi\,</math> se anula:
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| <center><math>
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| \theta=\theta^{\, *}\!=41,8^{\, o}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{sen}(\theta^{\, *})=\frac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Phi=mg\left[\,3\,\mathrm{sen}(\theta^{\, *})-2\,\right]= 0
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| </math></center>
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| [[Categoría:Problemas de Dinámica del Punto (GITI)]]
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