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| ==Enunciado==
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| [[Archivo:2-hilos-tensos.png|right]] | |
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| Una partícula <math>P\,</math>, de masa <math>m\,</math>, describe con celeridad constante una circunferencia horizontal de radio <math>R\,</math> y centro en <math>O\,</math>. La partícula realiza dicho movimiento circular y uniforme bajo la acción de su propio peso (<math>m\vec{g}\,</math>) y de las dos fuerzas (<math>\vec{\Phi}_{A}\,</math> y <math>\vec{\Phi}_{B}\,</math>) que le ejercen,
| | ''[https://editorial.us.es/es/detalle-libro/720177/fisica-general-mecanica Física general: Mecánica]'', de Antonio González Fernández, editado por la Universidad de Sevilla (2020), que reúne y mejora gran parte del contenido de teoría y ejemplos de esta wiki. Disponible en, por ejemplo, la copistería de la ETSI de Sevilla. |
| respectivamente, sendos hilos tensos de idéntica longitud y anclados en los puntos <math>A\,</math> y <math>B\,</math> del eje <math>OZ\,</math> (puntos equidistantes del punto <math>O\,</math>).
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| Sea <math>\theta\,</math> el ángulo que forma cada uno de los dos hilos con el plano horizontal durante el movimiento de <math>P\,</math> (ver figura).
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| Se sabe que el módulo de la fuerza ejercida por el hilo superior (el anclado en <math>B\,</math>) es el cuádruple del módulo de la fuerza ejercida por el hilo inferior (el anclado en <math>A\,</math>):
| | # Introducción |
| <center><math>
| | ## [[Metrología (G.I.T.I.)|Metrología]] |
| |\vec{\Phi}_{B}|=4\,|\vec{\Phi}_{A}| | | ###[[Problemas de metrología]] |
| </math></center>
| | # Punto material |
| Se pide:
| | ## [[Cinemática_del_movimiento_rectilíneo_(GIE)|Movimiento rectilíneo]] |
| | ###[[Problemas_de_movimiento_rectilíneo_(GIC) | Problemas de movimiento rectilíneo]] |
| | ## [[Vectores libres|Vectores libres]] |
| | ###[[Problemas de vectores libres (GIC)| Problemas de vectores libres]] |
| | ## [[Cinemática_tridimensional_de_la_partícula_(GIE)| Movimiento en dos y tres dimensiones]] |
| | ###[[Problemas de Cinemática del punto (G.I.C.)|Problemas de Cinemática del punto ]] |
| | # [[Dinámica de la partícula (GIE)|Dinámica de la partícula]] |
| | ##[[Problemas_de_Dinámica_del_punto_(GIC)|Problemas de Dinámica de la partícula]] |
| | #[[Energía_y_leyes_de_conservación_(GIE)| Cinética de la partícula ]] |
| | ## [[Problemas de cinética de la partícula]] |
| | #[[Estática_del_sólido_rígido|Estática del sólido rígido]] |
| | ##[[Problemas de Estática del sólido rígido (G.I.C.)|Problemas de Estática del sólido rígido]] |
| | # Sistemas de partículas |
| | ## [[Dinámica de un sistema de partículas]] |
| | ###[[Problemas de dinámica de un sistema de partículas F1-GIC| Problemas de dinámica de un sistema de partículas]] |
| | # [[Movimiento oscilatorio (CMR)|Movimiento oscilatorio]] |
| | ##[[Problemas de Movimiento oscilatorio (GIC)]] |
| | # [[Movimiento_ondulatorio |Ondas]] |
| | ##[[Problemas de Movimiento ondulatorio (GIC)]] |
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| # El módulo <math>|\vec{\Phi}_{A}|\,</math> de la fuerza ejercida por el hilo inferior.
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| # El módulo <math>|\,\vec{\omega}\,|\,</math> de la velocidad angular de la partícula <math>P\,</math>.
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| ==Solución==
| | # Material didáctico auxiliar |
| [[Archivo:2-hilos-tensos-sol.png|right]] | | ## [[Tabla de fórmulas de trigonometría]] |
| | ## [[Tabla de fórmulas de variable compleja]] |
| | ## [[Tabla de derivadas y primitivas]] |
| | ## [[Vectores en física. Definiciones y operaciones]] |
| | ## [[Vectores en física. Coordenadas y componentes]] |
| | ##[[Coordenadas polares]] |
| | ## [[Problemas_de_herramientas_matemáticas_(GIE)|Problemas de herramientas matemáticas]] |
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| La partícula <math>P\,</math> describe una circunferencia de radio <math>R\,</math> bajo la acción de tres fuerzas: su peso <math>m\vec{g}\,</math>, la tensión <math>\vec{\Phi}_{A}\,</math> del hilo inferior y la tensión <math>\vec{\Phi}_{B}\,</math> del hilo superior. Utilizaremos el triedro intrínseco <math>\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}\,</math> de la circunferencia para expresar las magnitudes vectoriales.
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| El peso es una fuerza activa y, como tal, es conocida a priori:
| | # Exámenes |
| <center><math>
| | ##[[Exámenes 2011/12 (G.I.C.)| Curso 2011/12]] |
| m\vec{g}=-mg\,\vec{B}
| | ##[[Exámenes 2012/13 (G.I.C.)| Curso 2012/13]] |
| </math></center>
| | ##[[Exámenes 2013/14 (G.I.C.)| Curso 2013/14]] |
| Sin embargo, las tensiones de los hilos son fuerzas de reacción vincular, de módulos respectivos <math>|\vec{\Phi}_{A}|\,</math> y <math>|\vec{\Phi}_{B}|=4\,|\vec{\Phi}_{A}|\,</math> en principio desconocidos, con direcciones a lo largo de los respectivos hilos y con sentidos hacia los puntos de anclaje de los mismos:
| | ##[[Exámenes 2014/15 (G.I.C.)| Curso 2014/15]] |
| <center><math>
| | ##[[Exámenes 2015/16 (G.I.C.)| Curso 2015/16]] |
| \vec{\Phi}_{A}=|\Phi_{A}|[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{N}-\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{B}\,]\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
| | ##[[Exámenes 2016/17 (G.I.C.)| Curso 2016/17]] |
| \vec{\Phi}_{B}=|\Phi_{B}|[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{N}+\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{B}\,]=4\,|\vec{\Phi}_{A}|[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{N}+\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{B}\,]
| | ##[[Exámenes 2017/18 (G.I.C.)| Curso 2017/18]] |
| </math></center>
| | ##[[Exámenes 2018/19 (G.I.C.)| Curso 2018/19]] |
| | | ##[[Exámenes 2019/20 (G.I.C.)| Curso 2019/20]] |
| Dado que el movimiento circular de <math>P\,</math> es uniforme (celeridad <math>v\,</math> constante), su aceleración sólo va a tener componente normal:
| | ##[[Exámenes 2020/21 (G.I.C.)| Curso 2020/21]] |
| <center><math>
| | ##[[Exámenes 2021/22 (G.I.C.)| Curso 2021/22]] |
| \left.\begin{array}{l} a_t=\displaystyle\frac{dv}{dt}=0 \\ \\ a_n=\displaystyle\frac{v^{\, 2}}{R}=|\,\vec{\omega}\,|^{\, 2}R
| | ##[[Exámenes 2022/23 (G.I.C.)| Curso 2022/23]] |
| \end{array}\right\} \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{a}=a_t\,\vec{T}+a_n\,\vec{N}=|\,\vec{\omega}\,|^{\, 2}R\,\,\vec{N}
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| </math></center>
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| donde se ha utilizado la relación entre celeridad y módulo de la velocidad angular propia de un movimiento circular (<math>v=|\,\vec{\omega}\,|R\,</math>).
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| Aplicando la segunda ley de Newton, y proyectándola sobre las direcciones normal y binormal, se llega a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (<math>|\vec{\Phi}_{A}|\,</math> y <math>|\,\vec{\omega}\,|\,</math>):
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| <center><math>
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| m\vec{g}\,+\,\vec{\Phi}_{A}\,+\,\vec{\Phi}_{B}=m\vec{a}\,\,\rightarrow\,\,\left\{\begin{array}{lll} |\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{cos}(\theta)+4\,|\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{cos}(\theta)=m|\,\vec{\omega}\,|^{\, 2}R & \,\rightarrow\, & 5\,|\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{cos}(\theta)=m|\,\vec{\omega}\,|^{\, 2}R \\ \\ -mg-|\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{sen}(\theta)+4\,|\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{sen}(\theta)=0 & \,\rightarrow\, & -mg+3\,|\vec{\Phi}_{A}|\,\mathrm{sen}(\theta)=0 \end{array}\right.
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| </math></center>
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| Resolviendo el sistema, obtenemos los valores del módulo <math>|\vec{\Phi}_{A}|\,</math> de la fuerza ejercida por el hilo inferior y del módulo <math>|\,\vec{\omega}\,|\,</math> de la velocidad angular de la partícula:
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| <center><math>
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| |\vec{\Phi}_{A}|=\frac{mg}{3\,\mathrm{sen}(\theta)}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
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| |\,\vec{\omega}\,|=\sqrt{\frac{5\,g\,\mathrm{cotg}(\theta)}{3\,R}}
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| </math></center>
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| [[Categoría:Problemas de Dinámica del Punto (GITI)]] | |
