No Boletín - Partícula que desliza apoyada sobre semiaro (Ex.Ene/16)

Enunciado

Una partícula $P\,$, de masa $m\,$, describe con celeridad constante una circunferencia horizontal de radio $R\,$ y centro en $O\,$. La partícula realiza dicho movimiento circular y uniforme bajo la acción de su propio peso ($m{\vec {g}}\,$) y de las dos fuerzas (${\vec {\Phi }}_{A}\,$ y ${\vec {\Phi }}_{B}\,$) que le ejercen, respectivamente, sendos hilos tensos de idéntica longitud y anclados en los puntos $A\,$ y $B\,$ del eje $OZ\,$ (puntos equidistantes del punto $O\,$).

Sea $\theta \,$ el ángulo que forma cada uno de los dos hilos con el plano horizontal durante el movimiento de $P\,$ (ver figura).

Se sabe que el módulo de la fuerza ejercida por el hilo superior (el anclado en $B\,$) es el cuádruple del módulo de la fuerza ejercida por el hilo inferior (el anclado en $A\,$):

$|{\vec {\Phi }}_{B}|=4\,|{\vec {\Phi }}_{A}|$

Se pide:

1. El módulo $|{\vec {\Phi }}_{A}|\,$ de la fuerza ejercida por el hilo inferior.
2. El módulo $|\,{\vec {\omega }}\,|\,$ de la velocidad angular de la partícula $P\,$.

Solución

La partícula $P\,$ describe una circunferencia de radio $R\,$ bajo la acción de tres fuerzas: su peso $m{\vec {g}}\,$, la tensión ${\vec {\Phi }}_{A}\,$ del hilo inferior y la tensión ${\vec {\Phi }}_{B}\,$ del hilo superior. Utilizaremos el triedro intrínseco $\{{\vec {T}},{\vec {N}},{\vec {B}}\}\,$ de la circunferencia para expresar las magnitudes vectoriales.

El peso es una fuerza activa y, como tal, es conocida a priori:

$m{\vec {g}}=-mg\,{\vec {B}}$

Sin embargo, las tensiones de los hilos son fuerzas de reacción vincular, de módulos respectivos $|{\vec {\Phi }}_{A}|\,$ y $|{\vec {\Phi }}_{B}|=4\,|{\vec {\Phi }}_{A}|\,$ en principio desconocidos, con direcciones a lo largo de los respectivos hilos y con sentidos hacia los puntos de anclaje de los mismos:

${\vec {\Phi }}_{A}=|\Phi _{A}|[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {N}}-\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {B}}\,]\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\Phi }}_{B}=|\Phi _{B}|[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {N}}+\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {B}}\,]=4\,|{\vec {\Phi }}_{A}|[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {N}}+\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {B}}\,]$

Dado que el movimiento circular de $P\,$ es uniforme (celeridad $v\,$ constante), su aceleración sólo va a tener componente normal:

$\left.{\begin{array}{l}a_{t}=\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=0\\\\a_{n}=\displaystyle {\frac {v^{\,2}}{R}}=|\,{\vec {\omega }}\,|^{\,2}R\end{array}}\right\}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {a}}=a_{t}\,{\vec {T}}+a_{n}\,{\vec {N}}=|\,{\vec {\omega }}\,|^{\,2}R\,\,{\vec {N}}$

donde se ha utilizado la relación entre celeridad y módulo de la velocidad angular propia de un movimiento circular ($v=|\,{\vec {\omega }}\,|R\,$).

Aplicando la segunda ley de Newton, y proyectándola sobre las direcciones normal y binormal, se llega a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($|{\vec {\Phi }}_{A}|\,$ y $|\,{\vec {\omega }}\,|\,$):

$m{\vec {g}}\,+\,{\vec {\Phi }}_{A}\,+\,{\vec {\Phi }}_{B}=m{\vec {a}}\,\,\rightarrow \,\,\left\{{\begin{array}{lll}|{\vec {\Phi }}_{A}|\,\mathrm {cos} (\theta )+4\,|{\vec {\Phi }}_{A}|\,\mathrm {cos} (\theta )=m|\,{\vec {\omega }}\,|^{\,2}R&\,\,\,\rightarrow \,\,\,&5\,|{\vec {\Phi }}_{A}|\,\mathrm {cos} (\theta )=m|\,{\vec {\omega }}\,|^{\,2}R\\\\-mg-|{\vec {\Phi }}_{A}|\,\mathrm {sen} (\theta )+4\,|{\vec {\Phi }}_{A}|\,\mathrm {sen} (\theta )=0&\,\,\,\rightarrow \,\,\,&-mg+3\,|{\vec {\Phi }}_{A}|\,\mathrm {sen} (\theta )=0\end{array}}\right.$

Resolviendo el sistema, obtenemos los valores del módulo $|{\vec {\Phi }}_{A}|\,$ de la fuerza ejercida por el hilo inferior y del módulo $|\,{\vec {\omega }}\,|\,$ de la velocidad angular de la partícula:

$|{\vec {\Phi }}_{A}|={\frac {mg}{3\,\mathrm {sen} (\theta )}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|\,{\vec {\omega }}\,|={\sqrt {\frac {5\,g\,\mathrm {cotg} (\theta )}{3\,R}}}$