Disco apoyado en un escalón, Enero 2014 (G.I.C.)

Enunciado

El disco de radio $R$ y peso $P$ de la figura sufre una fuerza horizontal de módulo $F$ aplicada en su punto más alto. El contacto en el punto $A$ es liso, mientras que el contacto en el punto $B$ es rugoso con coeficiente de rozamiento estático $\mu$.

1. Calcula las fuerzas sobre el disco en situación de equilibrio estático.
2. ¿Qué condición debe cumplir el coeficiente de rozamiento para que pueda haber equilibrio estático?
3. En este último caso, ¿qué condición debe valer la fuerza $F$ para que el disco suba el escalón?

Solución

Fuerzas sobre el disco

Las fuerzas que actúan sobre el disco son su peso, la fuerza ${\vec {F}}$ horizontal aplicada en el punto $D$ y las fuerzas en los contactos $A$ y $B$. El contacto en $A$ es liso, por lo que la fuerza es perpendicular al suelo. El contacto en $B$ es rugoso, es decir, una componente de la fuerza es perpendicular a la superficie del disco y hay una componente de rozamiento tangente a la superficie del disco. La figura de la derecha muestra como son estas fuerzas.

La expresión de las fuerzas en el sistema $OXY$ de la figura es

${\begin{array}{l}{\vec {P}}=-P\,{\vec {\jmath }}\\{\vec {F}}=F\,{\vec {\imath }}\\{\vec {N}}^{A}=N^{A}\,{\vec {\jmath }}\\{\vec {N}}^{B}=-N^{B}\,\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+N^{B}\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }}\\{\vec {F}}_{R}^{B}=F_{R}^{B}\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\imath }}+F_{R}^{B}\cos \alpha \,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

Observando la figura vemos que

$\mathrm {sen} \,\alpha ={\dfrac {R/2}{R}}={\dfrac {1}{2}}\to \alpha ={\dfrac {\pi }{6}}$

Con lo que las fuerzas son

${\begin{array}{l}{\vec {P}}=-P\,{\vec {\jmath }}\\{\vec {F}}=F\,{\vec {\imath }}\\{\vec {N}}^{A}=N^{A}\,{\vec {\jmath }}\\{\vec {N}}^{B}=-N^{B}\,{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\,{\vec {\imath }}+N^{B}\,{\dfrac {1}{2}}\,\alpha \,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {F}}_{R}^{B}=F_{R}^{B}\,{\dfrac {1}{2}}\,{\vec {\imath }}+F_{R}^{B}\,{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

La primera condición de equilibrio es que el sumatorio de fuerzas debe ser cero

${\vec {P}}+{\vec {F}}+{\vec {N}}^{A}+{\vec {N}}^{B}+{\vec {F}}_{R}^{B}={\vec {0}}$

De aquí obtenemos dos ecuaciones escalares

${\begin{array}{l}(X)\quad \to \quad F-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\,N^{B}+{\dfrac {1}{2}}\,F_{R}^{B}=0\\(Y)\quad \to \quad -P+N^{A}+{\dfrac {1}{2}}\,N^{B}+{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\,F_{R}^{B}=0\end{array}}$

La otra condición de equilibrio es que el momento neto de todas las fuerzas sea cero respecto de un punto cualquiera. Vamos a escoger el punto $C$ para calcular los momentos. Este punto está en las rectas soportes de todas las fuerzas salvo ${\vec {F}}$ y ${\vec {F}}_{R}^{B}$. Por tanto, sólo estas dos fuerzas tienen momento distinto de cero. El momento de cada una de ellas es

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {CD}}\times {\vec {F}}=(R\,{\vec {\jmath }})\times (F\,{\vec {\imath }})=-RF\,{\vec {k}}\\{\overrightarrow {CB}}\times {\vec {F}}_{R}^{B}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}R&-{\dfrac {1}{2}}R&0\\{\dfrac {1}{2}}F_{R}^{B}&{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}F_{R}^{B}&0\end{array}}\right|=F_{R}^{B}R\,{\vec {k}}\end{array}}$

La suma de los dos debe anularse, por lo que

$F_{R}^{B}=F$

Tenemos así tres ecuaciones para tres incógnitas, a saber, $N^{A}$, $N^{B}$ y $F_{R}^{B}$. Resolviendo el sistema obtenemos

${\begin{array}{l}N^{A}=P-{\sqrt {3}}F\\\\N^{B}={\sqrt {3}}F\\\\F_{R}^{B}=F\end{array}}$

Coeficiente de rozamiento

Para que el equilibrio sea posible el módulo de la fuerza de rozamiento tiene que ser menor que el valor máximo que éste puede obtener. Es decir, debe cumplirse

$|{\vec {F}}_{R}^{B}|\leq \mu |{\vec {N}}^{B}|\Longrightarrow F\leq \mu {\sqrt {3}}F\Longrightarrow \mu \geq 1/{\sqrt {3}}$

Condición para que suba el escalón

El valor mínimo de $F$ que hace que el disco suba el escalón es el que hace que la fuerza de reacción vincular en $A$ sea nula

$N^{A}=0\Longrightarrow F\geq P/{\sqrt {3}}$