http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Formulas_vectoriales_potencialmente_incorrectas&feed=atom&action=historyFormulas vectoriales potencialmente incorrectas - Historial de revisiones2024-03-29T08:14:32ZHistorial de revisiones de esta página en la wikiMediaWiki 1.40.0http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Formulas_vectoriales_potencialmente_incorrectas&diff=2356&oldid=prevPedro: Página creada con «==Enunciado== De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de ejemplos de cálculo de dimensiones, <math>R</math> es una distancia y <math>\vec{r}</math> el vector de posición; <math>t</math> es el tiempo: :(a) <math>\vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}</math> :(b) <math>\vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\ve…»2023-12-11T15:00:17Z<p>Página creada con «==Enunciado== De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de <a href="/wiki/index.php?title=Ejemplos_de_c%C3%A1lculo_de_dimensiones&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ejemplos de cálculo de dimensiones (la página no existe)">ejemplos de cálculo de dimensiones</a>, <math>R</math> es una distancia y <math>\vec{r}</math> el vector de posición; <math>t</math> es el tiempo: :(a) <math>\vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}</math> :(b) <math>\vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\ve…»</p>
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De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de [[ejemplos de cálculo de dimensiones]], <math>R</math> es una distancia y <math>\vec{r}</math> el vector de posición; <math>t</math> es el tiempo:<br />
<br />
:(a) <math>\vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}</math><br />
<br />
:(b) <math>\vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\vec{a}</math><br />
<br />
:(c) <math>\frac{\vec{L}}{R} = \vec{F}t-\vec{v}</math><br />
<br />
:(d) <math>(\vec{r}\times\vec{p})\vec{L} = R(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}</math><br />
<br />
:(e) <math>\frac{\vec{F}-\vec{p}/t}{m} = \frac{\vec{r}-\vec{v}t}{t^2-t}</math><br />
<br />
:(f) <math>\frac{1}{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{r^2}</math><br />
<br />
:(g) <math>L = \vec{r}\times\vec{p}</math><br />
<br />
:(h) <math>\frac{W}{t} = \vec{F}\times\left(\vec{v}-\frac{R}{t}\right)</math><br />
<br />
==Caso (a)==<br />
La ecuación <br />
<br />
<center><math>\vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}</math></center><br />
<br />
es obviamente ''incorrecta'' ya que '''no está definida la división por un vector'''. Por tanto, el segundo miembro es absurdo.<br />
<br />
'''Fórmula incorrecta.'''<br />
<br />
==Caso (b)==<br />
En el caso de la expresión<br />
<br />
<center><math>\vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\vec{a}</math></center><br />
<br />
el primer miembro posee significado. Sin embargo, en el segundo miembro encontramos el producto vectorial de <math>\vec{p}\cdot\vec{a}</math> por <math>\vec{a}</math>, pero <math>\vec{p}\cdot\vec{a}</math> es una cantidad escalar, no vectorial y por tanto no puede multiplicarse vectorialmente por nada.<br />
<br />
'''Fórmula incorrecta.'''<br />
<br />
==Caso (c)==<br />
Para la fórmula<br />
<br />
<center><math>\frac{\vec{L}}{R} = \vec{F}t-\vec{v}</math></center><br />
<br />
tenemos que el primer miembro es un vector y en el segundo miembro tenemos la diferencia de dos vectores, que es una expresión admisible. Por tanto, esta expresión no es incorrecta desde el punto de vista vectorial.<br />
<br />
No basta, no obstante, con esto. Debemos comprobar que también es dimensionalmente correcta. El primer miembro tiene dimensiones<br />
<br />
<center><math>\left[\frac{\vec{L}}{R}\right] = \frac{ML^2T^{-1}}{L} = MLT^{-1}</math></center><br />
<br />
En el segundo miembro tenemos<br />
<br />
<center><math>\left[\vec{F}t\right] = (MLT^{-2})T = MLT^{-1}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\left[\vec{v}\right]=LT^{-1}</math></center><br />
<br />
Estas dimensiones no son coincidentes (en la segunda falta la masa), por lo que la ecuación es incorrecta.<br />
<br />
'''Fórmula incorrecta.'''<br />
<br />
==Caso (d)==<br />
En la identidad<br />
<br />
<center><math>(\vec{r}\times\vec{p})\vec{L} = R(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}</math></center><br />
<br />
¿qué tipo de operación aparece en el primer miembro? Tenemos un vector <math>(\vec{r}\times\vec{p})</math> seguido de otro sin ningún signo de producto entre ellos. No es un producto escalar, que lleva un punto, ni uno vectorial (que lleva una cruz o una cuña). Por tanto, el primer miembro carece de significado. No es ni un escalar ni un vector.<br />
<br />
Parecería que en el segundo miembro se da el mismo caso, ya que no hay punto o cruz entre <math>(\vec{r}\cdot\vec{p})</math> y <math>\vec{p}</math>, pero no es así, porque el producto escalar es un número, no un vector, y el producto de un escalar por un vector no lleva punto, siendo el resultado un vector.<br />
<br />
'''Fórmula incorrecta.'''<br />
<br />
==Caso (e)==<br />
Para la fórmula<br />
<br />
<center><math>\frac{\vec{F}-\vec{p}/t}{m} = \frac{\vec{r}-\vec{v}t}{t^2-t}</math></center><br />
<br />
no hay que esforzarse mucho para encontrar un error: en el denominador del segundo miembro aparece una expresión dimensionalmente incorrecta pues resta un tiempo del cuadrado de un tiempo, lo que no es admisible.<br />
<br />
'''Fórmula incorrecta.'''<br />
<br />
==Caso (f)==<br />
En la igualdad<br />
<br />
<center><math>\frac{1}{\vec{r}} = \frac{\vec{r}}{r^2}</math></center><br />
<br />
tenemos de nuevo la división por un vector, lo que no está definido.<br />
<br />
'''Fórmula incorrecta'''<br />
<br />
==Caso (g)==<br />
La ecuación<br />
<br />
<center><math>L = \vec{r}\times\vec{p}</math></center><br />
<br />
es claramente incorrecta pues iguala un escalar (el módulo del momento cinético, pues no lleva flecha) con un vector, lo que incumple la homogeneidad.<br />
<br />
'''Fórmula incorrecta'''<br />
<br />
==Caso (h)==<br />
Por último, el caso<br />
<br />
<center><math>\frac{W}{t} = \vec{F}\times\left(\vec{v}-\frac{R}{t}\right)</math></center><br />
<br />
está doblemente mal: iguala un escalar a un vector, pero dicho vector se compone además de la suma de un vector y un escalar, no siendo admisible ninguna de las dos operaciones.<br />
<br />
'''Fórmula incorrecta'''<br />
<br />
En resumen, todas las fórmulas del enunciado están mal.<br />
<br />
[[Categoría:Problemas de herramientas matemáticas (GIE)]]</div>Pedro