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Flujo del campo eléctrico de una carga

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(En cilíndricas)
(En cilíndricas)
Línea 21: Línea 21:
Sitaumos, según hemos dicho, el origen de coordenadas sobre la carga puntual, y el eje Z como el eje del disco. De esta forma, el disco queda parametrizado como
Sitaumos, según hemos dicho, el origen de coordenadas sobre la carga puntual, y el eje Z como el eje del disco. De esta forma, el disco queda parametrizado como
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<center><math>z=h\,</math>{{qquad}}<math>\rho\in[0,a]</math>{{qquad}}{{qquad}}[[Media:\varphi\in[0,2\pi)]]</center>
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<center><math>z=h\,</math>{{qquad}}<math>\rho\in[0,R]</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\varphi\in[0,2\pi)</math></center>
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El vector de posición de los puntos del disco y el vector diferencial de superficie valen
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\mathbf{r}=\rho\mathbf{u}_\rho+h\mathbf{u}_z\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>r=\sqrt{h^2+\rho^2}</math>{{qquad}}{{qquad}<math>}\mathrm{d}\mathbf{S}=\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_z</math>{{qquad}}{{{qquad}}<math>\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=h\,\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi</math></center>
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Sustituimos en la expresión del flujo
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<center><math>\Phi_\mathrm{e}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi}\int_0^R\!\!\mathrm{d}\rho\frac{h\rho}{(\rho^2+z^2)^{3/2}}</math></center>
==En esféricas==
==En esféricas==
[[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío]]
[[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío]]

Revisión de 09:20 9 ene 2010

Contenido

1 Enunciado

Halle el flujo del campo eléctrico debido a una carga puntual q a través de un disco cuyo eje pasa por el punto donde se encuentra la carga.

El disco tiene radio R y la distancia de la carga al plano del disco es h.

  1. Utilizando coordenadas cilíndricas
  2. Usando coordenadas esféricas (Sugerencia: En lugar del disco emplee otra superficie que abarque el mismo ángulo sólido).

2 Introducción

El flujo del campo eléctrico de una carga puntual (sobre la cual, por comodidad, situamos el origen de coordenadas) es

\Phi_\mathrm{e} = \int_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_S\frac{\mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}}{r^3}

La integral que aparece en el último miembro no es más que el ángulo sólido, Ω, abarcado por la superficie, vista desde el origen de coordenadas. Por tanto

\Phi_\mathrm{e} = \frac{q}{\varepsilon_0}\,\frac{\Omega}{4\pi}

El problema se reduce, por tanto, a determinar el ángulo sólido con el que el disco se ve desde la carga.

3 En cilíndricas

Sitaumos, según hemos dicho, el origen de coordenadas sobre la carga puntual, y el eje Z como el eje del disco. De esta forma, el disco queda parametrizado como

z=h\,    \rho\in[0,R]        \varphi\in[0,2\pi)

El vector de posición de los puntos del disco y el vector diferencial de superficie valen


\mathbf{r}=\rho\mathbf{u}_\rho+h\mathbf{u}_z\,        r=\sqrt{h^2+\rho^2}    {{qquad}No se pudo entender (error de sintaxis): }\mathrm{d}\mathbf{S}=\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_z     {    \mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=h\,\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi

Sustituimos en la expresión del flujo

No se pudo entender (error de sintaxis): \Phi_\mathrm{e}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\varphi}\int_0^R\!\!\mathrm{d}\rho\frac{h\rho}{(\rho^2+z^2)^{3/2}}

4 En esféricas

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