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F1 GIA SPC 2015, Disco rodando sin deslizar ni pivotar

De Laplace

1 Enunciado

Un disco de radio R (sólido "2"), se mueve siempre en contacto (puntual) con un plano Π1 = OX1Y1 (sólido "1") y de manera que, en cada instante, el radio CD desde el centro C del disco hasta el punto D en contacto con Π1, es perpendicular a dicho plano. El movimiento del disco respecto del plano Π1 se caracteriza porque no presenta ni deslizamiento en el punto D de contacto, ni tampoco pivotamiento con respecto a dicho plano. Para describir más fácilmente el movimiento, se introduce un sistema de referencia intermedio (sólido "0" ), tal que OZ0 = OZ1, y que el plano \Pi_0\equiv OX_0Z_0 contenga en cada instante al radio CD. El centro C del disco realiza, en el plano Π0, un movimiento rectilíneo uniforme por el cuál se aleja del eje OZ0,1 a velocidad constante v0; mientras, Π0 realiza una rotación permanente en torno a dicho eje, en sentido antihorario y con velocidad angular variable Ω(t) = v0 / (R + v0t). En el instante inicial, t = 0, el centro del disco se encuentra en la posición dada por el segmento orientado \overrightarrow{OC}=R\,(\vec{\imath}_0+\vec{k}_0) ; es decir, a una distancia R del eje OZ0,1.

  1. Encuentre la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto C.

2 Solución

Tal como se indica en el dibujo tenemos

 
\vec{v}^C_{20} = v_0\,\vec{\imath}_0

El enunciado dice que el disco no desliza en el punto D, por tanto

 
\vec{v}^D_{21} = \vec{0}

También dice que el disco no pivota, es decir, el vector rotación \vec{\omega}_{21} no tiene componente perpendicular al plano

 
\vec{\omega}_{21} = \omega_x\,\vec{\imath}_0 + \omega_y\,\vec{\jmath}_0

Del enunciado también sabemos que

 
\vec{\omega}_{01} = \Omega(t)\,\vec{k}_{0,1} = \dfrac{v_0}{R+v_0t}\,\vec{k}_{0,1}

También sabemos que los puntos del eje OZ0,1 no se mueven en el movimiento {01}, esto es

 
\vec{v}^O_{01} = \vec{0}

Vamos a calcular \vec{v}^C_{21} usando la composición de movimientos {21} = {20} + {01}. Tenemos

 
\vec{v}^C_{21} = \vec{v}^C_{20} + \vec{v}^C_{01}

Tenemos ya el el primer sumando. Usamos el teorema de Chasles aplicado al movimiento {01} para calcular el segundo

 
\vec{v}^C_{01} = \vec{v}^O_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}

Si en el instante inicial \overrightarrow{OC}(0)= R\,(\vec{\imath}_0 + \vec{k}_0) y el punto C realiza un movimiento rectilíneo uniforme sobre el eje OX0 tenemos

 
\overrightarrow{OC}(t) = (R+v_0t)\,\vec{\imath}_0 + R\,\vec{k}_0

Haciendo el producto vectorial

 
\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC} =
\left(\dfrac{v_0}{R+v_0t}\,\vec{k}_0\right)\times\left((R+v_0t)\,\vec{\imath}_0 +
R\,\vec{k}_0\right)=
v_0\,\vec{\jmath}_0

y por tanto

 
\vec{v}^C_{21} = v_0\,(\vec{\imath}_0 + \vec{\jmath}_0)

Ahora aplicamos el teorema de Chasles al movimiento {21} para relacionar las velocidades en los puntos C y D.

 
\vec{v}^D_{21} = \vec{v}^C_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CD}

El vector geométrico es \overrightarrow{CD}=-R\,\vec{k}_0 . Tenemos

 
\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CD} = (\omega_x\,\vec{\imath}_0 +
\omega_y\,\vec{\jmath}_0)\times(-R\,\vec{k}_0) = -R\omega_y\,\vec{\imath}_0
+R\omega_x\,\vec{\jmath}_0

Tenemos entonces

 
\begin{array}{l}
\vec{v}^D_{21} = \vec{0}
\\ \\
\vec{v}^D_{21} = (v_0-R\omega_y)\,\vec{\imath}_0 + (v_0+R\omega_x)\,\vec{\jmath}_0
\end{array}

De aquí obtenemos

 
\omega_x = -\dfrac{v_0}{R}
\qquad
\omega_y = \dfrac{v_0}{R}

La reducción buscada es

 
\vec{v}^C_{21} = v_0\,(\vec{\imath}_0 + \vec{\jmath}_0)
\qquad
\vec{\omega}_{21} = \dfrac{v_0}{R}\,(-\vec{\imath}_0 + \vec{\jmath}_0)

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