Enunciado

Teniendo en cuenta las dimensiones calculadas en el problema 1.1, indique cuáles de las siguientes expresiones son necesariamente incorrectas (los símbolos son los usuales en mecánica):

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

Caso (a)

Para que una fórmula sea dimensionalmente correcta los dos miembros de la ecuación deben tener las mismas dimensiones, y lo mismo debe ocurrir con cada uno de los sumandos de las sumas o diferencias que aparezcan en ella.

En el primer caso

tenemos que el Trabajo trabajo tiene dimensiones de masa por velocidad al cuadrado

De los términos del segundo miembro, el primero tiene claramente las mismas dimensiones que este

mientras que el segundo tiene las dimensiones de una aceleración por una distancia

Puesto que aquí no hay ninguna potencia de la masa, que si aparece en los otros dos términos, esta fórmula es necesariamente incorrecta.

Caso (b)

En el segundo caso

el primer miembro tiene dimensiones de un momento cinético por una distancia

y el segundo de una cantidad de movimiento por una superficie

Puesto que las dimensiones de los miembros son coincidentes, esta fórmula puede ser correcta. Lo que no quiere decir que lo sea.

Caso (c)

En el tercer caso

El primer miembro es el momento de una fuerza, que tiene la misma ecuación dimensional que el trabajo

En el segundo miembro tenemos, para el primer término

y para el segundo

Puesto que todos los términos tienen las mismas dimensiones, la fórmula puede ser correcta.

Caso (d)

En el caso

Tenemos varias combinaciones que hay que verificar. Cada suma debe ser dimensionalmente correcta. En el primer miembro tenemos, en el denominador

    

y en el denominador

    

Por tanto ambas sumas son simensionalmente correctas, obtenemos además que las dimensiones del cociente son

Para el segundo miembro se cumple

    

que también es dimensionalmente correcta. Por último para la raíz cuadrada nos queda

Dado que estas dimensiones (de una velocidad) son las mismas que habíamos obtenido para el miembro, esta ecuación es dimensionalmente correcta.

Caso (e)

En la fórmula

aparece una integral, que no es más que una suma de muchas cantidades muy pequeñas. Como toda suma, los sumandos deben ser dimensionalmente equivalentes y el resultado tiene las mismas dimensiones que cualquiera de ellos. En este caso

En el segundo miembro tenemos, para el primer sumando

Estas dimensiones no coinciden con las del primer miembro, por lo que ya no hace falta seguir. Esta fórmula es necesariamente incorrecta.

Caso (f)

Para la fórmula

Analizamos en primer lugar el paréntesis del integrando

    

por lo que la suma es dimensionalmente correcta. Las dimensiones de la integral son

Para el segundo miembro, el primer sumando tiene por dimensiones

que son las mismas del primer miembro. Para el segundo sumando

Por tanto, la fórmula es dimensionalmente correcta.

Caso (g)

En la expresión

aparecen muchos factores que habría que analizar por separado. Sin embargo, es fácil ver que esta fórmula es incorrecta. En el último factor tenemos la combinación

en la cual se suma una longitud (de dimensión ) con un área (de dimensión ), lo cual es incorrecto y por ello toda la fórmula está mal.

Caso (h)

Por último, para la fórmula

el razonamiento es idéntico al del caso anterior. En el numerador del segundo miembro se resta de un tiempo (de dimensión ) la inversa de un tiempo (de dimensión ) lo cual no es admisible y no hace falta seguir.