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Expansión de un gas en contacto con agua caliente Primera Convocatoria Ordinaria 2010/11 (F2GIA)

De Laplace

Revisión a fecha de 09:45 23 sep 2011; Pedro (Discusión | contribuciones)
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Contenido

1 Enunciado

Tenemos un recipiente adiabático con una tapa superior que puede desplazarse como un pistón. El volumen interior está dividido en dos recintos conectados por una pared fija diaterma (que deja pasar el calor). En el recinto inferior hay 500 g de agua líquida a una temperatura T_a=100\,\mathrm{^oC}. El recinto superior está ocupado por un gas ideal diatómico que ocupa inicialmente un volumen V_1 = 0.500\,\mathrm{m^3} a una temperatura T_1=300\,\mathrm{K} y una presión P_1=300\,\mathrm{kPa}. En el exterior la presión es P_0=100\,\mathrm{kPa}.

  1. Calcula la temperatura y el volumen finales del gas cuando se llega a la situación de equilibrio.
  2. ¿Cuánto es el trabajo realizado sobre el gas?
  3. ¿Cuánto vale el calor cedido por la masa de agua?
  4. ¿Cuál es la variación de energía interna del sistema gas-agua?

Datos: Constante universal de los gases ideales R=8.31\,\mathrm{J/\mathrm{mol}\cdot K}, calor específico del agua líquida c_a=4.18\,\mathrm{KJ/Kg\cdot K}.

2 Solución

2.1 Estado final de equilibrio

El gas puede intercambiar calor con el volumen de agua, pero no trabajo, pues la pared que los separa es fija. Por otro lado, el gas puede intercambiar trabajo con el exterior, debido a que la tapa superior puede desplazarse, pero no puede intercambiar calor, pues las paredes son adiabáticas.

Así pues, el gas estará en equilibrio cuando esté a la misma temperatura que la masa de agua y a la misma presión que el exterior. Es decir, en el estado de equilibrio la presión del gas es P0 y la temperatura final es Teq. Para el gas el proceso no es adiabático y además es irreversible, pues la diferencia entre la presión interior inicial del gas y la exterior es muy grande. La figura indica las interacciones entre el gas y el agua y el gas y el exterior. Aplicando el Primer Principio de la Termodinámica al proceso que sufre el gas tenemos


\Delta U_g =W_g + Q_{a\to g}

Al ser un gas ideal diatómico, la variación de energía interna del gas es


\Delta U_g = n\,c_v(T_{eq}-T_1) = \dfrac{5}{2}\,n\,R\,(T_{eq} - T_1) = 
\dfrac{5}{2}\,n\,R\,T_{eq} - \dfrac{5}{2}\,n\,R\,T_1 =
\dfrac{5}{2}\,n\,R\,T_{eq} - \dfrac{5}{2}\,P_1\,V_1

Hemos usado que para un gas ideal c_v = 5\,R/2 y la ecuación de estado del gas ideal: n\,R\,T_1 = P_1\,V_1 .

El trabajo realizado sobre el gas puede calcularse pues la presión externa es constante


W_g = -P_0\,(V_{eq}-V_1) = -P_0\,V_{eq} + P_0\,V_1 = -n\,R\,T_{eq} + P_0\,V_1

De nuevo hemos usado la ecuación de estado del gas ideal en el estado final de equilibrio.

Por último, el calor que el agua cede al pasar de su temperatura inicial a la final es


Q_{g\to a} = m_a\,c_a\,(T_{eq} - T_a)

El calor que absorbe el gas es el mismo cambiado de signo


Q_{a\to g} = - Q_{g\to a} = -m_a\,c_a\,T_{eq} + m_a\,c_a\,T_a

Sustituyendo estas expresiones en el Primer Principio, obtenemos una ecuación cuya única incógnita es la temperatura de equilibrio del gas


\dfrac{5}{2}\,n\,R\,T_{eq} - \dfrac{5}{2}\,P_1\,V_1 = 
-n\,R\,T_{eq} + P_0\,V_1 
-m_a\,c_a\,T_{eq} + m_a\,c_a\,T_a

Despejando la temperatura de equilibrio tenemos


T_{eq} = 
\dfrac{\displaystyle \dfrac{5}{2}\,P_1\,V_1 + P_0\,V_1 + m_a\,c_a\,T_a}{\displaystyle\dfrac{7}{2}\,n\,R + m_a\,c_a}

Usando de nuevo la ecuación del gas ideal en el estado inicial del gas tenemos


n\,R = \dfrac{P_1\,V_1}{T_1}

Sustituyendo los valores numéricos obtenemos


T_{eq} = 314\,\mathrm{K} = 40.9\,\mathrm{^{\circ}C}

El volumen final lo obtenemos de la ecuación del gas ideal


V_{eq} = \dfrac{n\,R\,T_{eq}}{P_0} = \dfrac{ P_1\,V_1\,T_{eq}}{P_0\,T_1} = 0.524\,\mathrm{m^3}

2.2 Trabajo realizado sobre el gas

Este trabajo es


W_g = -P_0\,(V_{eq}-V_1) = 2.40\,\mathrm{kJ}

2.3 Calor cedido por la masa de agua

Usando la expresión del apartado 1 tenemo


Q_{a\to g} = -m_a\,c_a(T_{eq}-T_a) = -124\,\mathrm{kJ}

2.4 Variación de energía interna del sistema gas+agua

Considerando conjuntamente el gas y el agua, es sistema es adiabático, por lo que el único intercambio de energía es trabajo realizado sobre el gas. Por tanto


\Delta U_{ag} = W_g = 2.40\,\mathrm{kJ}

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