Partícula con movimiento rectilíneo, Noviembre 2012 (G.I.C.)

Enunciado

Una partícula realiza un movimiento unidimensional, de modo que su velocidad y aceleración cumplen la relación $a(t)\,v(t)=3C^{2}t^{2}/2$, siendo $C$ una constante.

1. ¿Cuales son las dimensiones de la constante $C$?
2. Si la velocidad inicial es $v(0)=v_{0}$, ¿cuál es la expresión de la velocidad en cualquier instante de tiempo?
3. Supongamos que $v_{0}=0$ y la posición inicial de la partícula es $x(0)=0$. ¿Cuál es la posición de la partícula en cualquier instante de tiempo?

Solución

Dimensiones de la constante C

Las dimensiones de $C^{2}$ son

$[a\,v]=[C^{2}t^{2}]\Longrightarrow [C^{2}]=\left[{\dfrac {a\,v}{t^{2}}}\right]={\dfrac {L\,T^{-2}\,L\,T^{-1}}{T^{2}}}=L^{2}\,T^{-5}$

Por tanto, las dimensiones de $C$ son

$[C]=L\,T^{-5/2}$

Velocidad en función del tiempo

En el movimiento rectilíneo la aceleración es

$a={\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}$

Utilizando esta definición, la expresión dada se convierte en una ecuación diferencial para $v(t)$ de variables separables

$v\,{\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\dfrac {3C^{2}}{2}}\,t^{2}$

Separamos a cada lado las expresiones relacionadas con $v$ y $t$

$v\,\mathrm {d} v={\dfrac {3\,C^{2}}{2}}\,t^{2}\,\mathrm {d} t$

Integramos teniendo en cuenta las condiciones iniciales

$\int \limits _{v_{0}}^{v(t)}v\,\mathrm {d} v=\int \limits _{0}^{t}{\dfrac {3\,C^{2}}{2}}\,t^{2}\,\mathrm {d} t$

Integrando, obtenemos la expresión de $v(t)$

$v(t)={\sqrt {v_{0}^{2}+C^{2}\,t^{3}}}$

Posición de la partícula

Si $v_{0}=0$, la velocidad es

$v(t)=C\,t^{3/2}$

Por otro lado la definición de velocidad en el movimiento rectilíneo es

$v={\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} x=v(t)\,\mathrm {d} t$

Integrando, y teniendo en cuenta las condiciones iniciales tenemos

$\int \limits _{0}^{x(t)}\mathrm {d} v=\int \limits _{0}^{t}C\,t^{3/2}\,\mathrm {d} t$

El resultado es

$x(t)={\dfrac {2\,C}{5}}\,t^{5/2}$