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| Línea 1: |
Línea 1: |
| == Enunciado ==
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| [[Imagen:F1_GIC_barra_sobre_pared_inclinada_enunciado.png|right]]
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| La barra de la figura forma un ángulo <math>\alpha</math> con la horizontal y está apoyada
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| sobre una pared inclinada <math>\pi/4</math>. El peso de la barra está aplicado en su
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| centro. El contacto en el punto <math>A</math> es liso, mientras que en el punto <math>B</math> es
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| rugoso con un coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>.
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| #Dibuja el diagrama de sólido libre de la barra.
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| #Considerando el ángulo <math>\alpha</math> como un dato, calcula las fuerzas sobre la barra en los puntos <math>A</math> y <math>B</math>.
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| #¿Para que valores del ángulo <math>\alpha</math> es posible el equilibrio?
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| == Solución ==
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| === Diagrama de sólido libre===
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| [[Imagen:F1_GIC_barra_sobre_pared_inclinada_fuerzas.png|right]]
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| El contacto en A es liso, por lo que la fuerza de reacción vincular es normal a la superficie. El contacto en B es rugoso, es decir, en B actúa una fuerza de reacción vincular normal al suelo y una fuerza de rozamiento paralelo a él. En el dibujo hemos usado el teorema de las tres fuerzas. Agrupando la fuerza de reacción vincular y de rozamiento en B, la barra está sometida a tres fuerzas coplanarias, por lo que sus rectas soporte deben cruzarse en un punto.
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| === Fuerzas en equilibrio===
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| Cuando la barra está en equilibrio la fuerza neta sobre ella es cero y el momento neto es nulo respecto a cualquier punto. Una vez que hemos identificado las fuerzas sobre la barra, buscamos su expresión en el sistema de ejes que hemos escogido. Tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \vec{P} = -P\,\vec{\jmath}
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| \\
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| \vec{N}^A =N^A\cos(\pi/4)\,\vec{\imath} + N^A\,\mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\jmath} =
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| \dfrac{N^A}{\sqrt{2}}\,\vec{\imath} + \dfrac{N^A}{\sqrt{2}}\,\vec{\jmath}
| |
| \\
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| \vec{N}^B = N^B\,\vec{\jmath}
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| \\
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| \vec{F}_R^B = -F_R^B\,\vec{\imath}
| |
| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| Aplicamos la condición de que la fuerza neta es nula
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| <center>
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| <math>
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| \vec{P} + \vec{N}^A + \vec{N}^B + \vec{F}_R^B = \vec{0}
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| \Longrightarrow
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| \left|
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| \begin{array}{l}
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| N^A - \sqrt{2}\,F_R^B = 0
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| \\ \\
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| N^A + \sqrt{2}\,N^B = \sqrt{2}\,P
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| \end{array}
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| \right.
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| </math>
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| </center>
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| Ahora calculamos los momentos de las fuerzas respecto a B. Las únicas fuerzas con momento no nulo son el peso y <math>\vec{N}^A </math>.
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \overrightarrow{BG}\times\vec{P} =
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| (-\dfrac{L}{2}\cos\alpha\,\vec{\imath} + \dfrac{L}{2}\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath})\times(-P\,\vec{\jmath})
| |
| =
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| \dfrac{P\,L}{2}\cos\alpha\,\vec{k}
| |
| \\ \\
| |
| \overrightarrow{BA}\times\vec{N}^A =
| |
| \left|
| |
| \begin{array}{ccc}
| |
| \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}
| |
| \\
| |
| -L\cos\alpha & L\,\mathrm{sen}\,\alpha & 0
| |
| \\
| |
| N^A/\sqrt{2} & N^A/\sqrt{2} & 0
| |
| \end{array}
| |
| \right|
| |
| =
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| -\dfrac{N^A\,L}{\sqrt{2}}\,(\mathrm{sen}\,\alpha + \cos\alpha)\,\vec{k}
| |
| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| La suma de estos dos momentos debe ser nula
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| <center>
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| <math>
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| \overrightarrow{BG}\times\vec{P} + \overrightarrow{BA}\times\vec{N}^A \Longrightarrow
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| N^A = \dfrac{P}{\sqrt{2}}\,\dfrac{\cos\alpha}{\mathrm{sen}\,\alpha + \cos\alpha}
| |
| </math>
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| </center>
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| Introduciendo esta expresión en las ecuaciones obtenidas previamente, tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| N^A = \dfrac{P}{\sqrt{2}}\,\dfrac{\cos\alpha}{\mathrm{sen}\,\alpha + \cos\alpha}
| |
| \\ \\
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| N^B = P\,\dfrac{2\,\mathrm{sen}\,\alpha + \cos\alpha}{2(\mathrm{sen}\,\alpha + \cos\alpha)}
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| \\ \\
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| F^B_R = \dfrac{P}{2}\,\dfrac{\cos\alpha}{\mathrm{sen}\,\alpha+\cos\alpha}
| |
| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| === Análisis del equilibrio ===
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| El equilibrio se rompe cuando el extremo en B desliza. Para que esto no ocurra la fuerza de rozamiento necesaria para mantener el equilibrio debe ser menor o igual que su valor máximo.
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| Si el coeficiente de rozamiento estático es <math>\mu </math> tenemos
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| <center>
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| <math>
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| |F_R^B| \leq \mu\,|N^B| \Longrightarrow
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| \dfrac{P}{2}\,\dfrac{\cos\alpha}{\mathrm{sen}\,\alpha+\cos\alpha}
| |
| \leq
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| \mu\,P\,\dfrac{2\,\mathrm{sen}\,\alpha + \cos\alpha}{2(\mathrm{sen}\,\alpha + \cos\alpha)}
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| </math>
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| </center>
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| Operando llegamos a la condición
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| <center>
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| <math>
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| \tan\alpha \geq \dfrac{1-\mu}{2\mu}
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| </math>
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| </center>
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| Esta condición puede escribirse así
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| <center>
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| <math>
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| \tan{\alpha} \geq \tan\alpha_c \Longrightarrow \alpha>\alpha_c
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| </math>
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| </center>
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| con
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| <center>
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| <math>
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| \alpha_c = \arctan\left(\dfrac{1-\mu}{2\mu}\right)
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| </math>
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| </center>
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| El ángulo <math>\alpha </math> es mayor que cero y menor que <math>\pi/4 </math>. Para que pueda existir equilibrio, el valor de <math>\alpha_c </math> debe ser menor que el mayor valor posible de <math>\alpha </math>. Eso marca un valor mínimo del coeficiente de rozamiento estático
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| <center>
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| <math>
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| \arctan\left(\dfrac{1-\mu_{min}}{2\mu_{min}}\right) = \pi/4 \Longrightarrow
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| \mu_{min} = \dfrac{1}{1+2\tan(\pi/4)} = 0.547.
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| </math>
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| </center>
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| Si <math>\mu<\mu_{min} </math> no hay equilibrio para ningún ángulo.
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| Por otra parte, si <math>\alpha_c=0 </math>, habría equilibrio para todos los valores posibles de <math>\alpha </math>. El coeficiente de rozamiento estático para <math>\alpha_c=0 </math> es
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| <center>
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| <math>
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| \dfrac{1-\mu_0}{2\mu_0} = \tan(0) = 0 \Longrightarrow \mu_0 = 1.
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| </math>
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| </center>
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| Es decir, si <math>\mu\geq 1 </math> todos los valores de <math>\alpha </math> entre 0 y <math>\pi/4 </math> son de equilibrio.
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| [[Categoría: Problemas de examen]]
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| [[Categoría: Problemas de Estática]]
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| [[Categoría: Problemas de Estática del Sólido Rígido]]
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