(Página creada con «== Enunciado == right Una barra de radio <math>R</math> gira alrededor de uno de sus extremos, situado en el punto <math>O</math>. En su otro extremo se articula otra barra de longitud <math>R</math> que a su vez gira en con la misma velocidad angular. #Expresa el vector de posición <math>\overrightarrow{OP}</math> en función del ángulo <math>\theta</math> de la figura. #Si <math>\dot{\theta}=\omega</math> y el módu…»)
 
(Página creada con «==Enunciado== right Se tienen dos masas de magnitud M=100g situadas a una distancia d=10cm. Otra masa m=10g se sitúa en el vértice superior del triángulo equilátero de la figura. Calcula el módulo de la fuerza gravitatoria sobre la masa m. === Solución=== right Como indica la figura, cada masa M atrae a la masa m con una fuerza dirigida hacia ella. La fuerza neta es la sum…»)
 
Línea 1: Línea 1:
== Enunciado ==
==Enunciado==
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[[Imagen:F1_GIC_PPC_triangulo_enunciado.png|right]]
Una barra de radio <math>R</math> gira alrededor de uno de sus extremos, situado en el punto <math>O</math>. En su otro extremo se articula otra barra de longitud <math>R</math> que a su vez gira en con la misma velocidad angular.
Se tienen dos masas de magnitud M=100g situadas a una distancia d=10cm. Otra masa m=10g se sitúa en el vértice superior del triángulo equilátero de la figura. Calcula el módulo de la fuerza gravitatoria sobre la masa m.


#Expresa el vector de posición <math>\overrightarrow{OP}</math> en función del ángulo <math>\theta</math> de la figura.
=== Solución===
#Si <math>\dot{\theta}=\omega</math> y el módulo de la velocidad del punto <math>P</math> es <math>v_0</math>, encuentra el valor de <math>\omega</math>.
[[Imagen:F1_GIC_PPC_triangulo_fuerzas.png|right]]
#Calcula el vector normal en cada punto de la trayectoria de <math>P</math>.
Como indica la figura, cada masa M atrae a la masa m con una fuerza dirigida hacia ella. La fuerza neta es la suma vectorial de estas dos fuerzas. Al hacer la suma vectorial, sólo queda la componente vertical de cada fuerza.
#Calcula la curvatura en cada punto de la trayectoria.


== Solución==
El módulo de la fuerza con que una masa M atrae a la masa m es
 
=== Vector de posición===
El vector de posición del punto <math> P</math> puede construirse como la suma
<center>
<math>
\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP}
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\overrightarrow{OA} = R\,\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
Por otro lado
<center>
<math>
\overrightarrow{AP} = -R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + R\cos\theta\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
Por tanto el vector buscado es
<center>
<math>
\overrightarrow{OP} = R\,(\cos\theta - \mathrm{sen}\,\theta\,)\,\vec{\imath}
+ R\,(\mathrm{sen}\,\theta + \cos\theta)\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
 
=== Velocidad angular===
Derivamos respecto al tiempo el vector de posición para obtener el vector velocidad
<center>
<math>
\vec{v} = \dot{\overrightarrow{OP}} =
-R\,\dot{\theta}\,(\mathrm{sen}\,\theta + \cos\theta)\,\vec{\imath}
+
R\,\dot{\theta}\,(\cos\theta - \mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
El módulo de este vector es
<center>
<math>
|\vec{v}| = R\,\dot\theta\,\sqrt{\mathrm{sen}^2\theta + \cos^2\theta + 2\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta +
\mathrm{sen}^2\theta + \cos^2\theta - 2\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta
}
=\sqrt{2}\,R\,\dot{\theta}
=\sqrt{2}\,R\,\omega
</math>
</center>
El enunciado nos dice que este módulo vale <math>v_0 </math>. Por tanto
<center>
<math>
\omega = \dfrac{v_0}{\sqrt{2}\,R}
</math>
</center>
 
=== Vector normal===
Podemos calcular el vector normal a partir de la aceleración. Para simplificar, consideramos que <math>v_0 </math> es constante, por lo que componente tangencial de la aceleración es nula y la aceleración es íntegramente normal.  Teniendo en cuenta que en este caso <math>\dot{\theta}=\omega </math> es constante tenemos
<center>
<math>
\vec{a}= \dot{\vec{v}} =
-R\,\dot{\theta}^2\,(\cos\theta - \mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}
-R\,\dot{\theta}^2\,(\mathrm{sen}\,\theta + \cos\theta)\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
El vector normal es
<center>
<math>
\vec{N} = \dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<center>
<math>
<math>
|\vec{a}| = \sqrt{2}\,R\,\omega^2
|\vec{F}| = \dfrac{G\,M\,m}{d^2}
</math>
</math>
</center>
</center>
Por tanto
La proyección de esta fuerza sobre la vertical es
<center>
<center>
<math>
<math>
\vec{N}=
F_{vert} = |\vec{F}|\cos\alpha = \dfrac{G\,M\,m}{d^2}\,\cos\alpha
\dfrac{\mathrm{sen}\,\theta-\cos\theta}{\sqrt{2}}\,\vec{\imath}
-
\dfrac{\cos\theta + \mathrm{sen}\,\theta}{\sqrt{2}}\,\vec{\jmath}
</math>
</math>
</center>
</center>
=== Curvatura===
Como el triángulo es equilátero, el ángulo es <math>\alpha = \pi/6 </math>. La fuerza total es la suma de las dos proyecciones.
La curvatura es
<center>
<center>
<math>
<math>
\kappa = \dfrac{a_N}{v^2}
F_m = 2\,F_{vert} = \dfrac{2\,G\,M\,m}{d^2}\,\cos\alpha
=\dfrac{\sqrt{3}\,G\,M\,m}{d^2} =
12\times10^{-12}\,\mathrm{N} = 12\,\mathrm{pN}
</math>
</math>
</center>
</center>
En este caso <math>a_N = |\vec{a}|=\sqrt{2}\,R\,\omega^2 </math>. Por tanto
<center>
<math>
\kappa = \dfrac{1}{\sqrt{2}\,R}
</math>
</center>
Como es una curva plana y la curvatura es constante, la trayectoria es una circunferencia de radio <math>\sqrt{2}\,R </math>.


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Revisión actual - 18:24 25 oct 2023

Enunciado

Se tienen dos masas de magnitud M=100g situadas a una distancia d=10cm. Otra masa m=10g se sitúa en el vértice superior del triángulo equilátero de la figura. Calcula el módulo de la fuerza gravitatoria sobre la masa m.

Solución

Como indica la figura, cada masa M atrae a la masa m con una fuerza dirigida hacia ella. La fuerza neta es la suma vectorial de estas dos fuerzas. Al hacer la suma vectorial, sólo queda la componente vertical de cada fuerza.

El módulo de la fuerza con que una masa M atrae a la masa m es

La proyección de esta fuerza sobre la vertical es

Como el triángulo es equilátero, el ángulo es . La fuerza total es la suma de las dos proyecciones.

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