Partícula con movimiento rectilíneo, Noviembre 2012 (G.I.C.)

Enunciado

Una barra de radio $R$ gira alrededor de uno de sus extremos, situado en el punto $O$. En su otro extremo se articula otra barra de longitud $R$ que a su vez gira en con la misma velocidad angular.

1. Expresa el vector de posición ${\overrightarrow {OP}}$ en función del ángulo $\theta$ de la figura.
2. Si ${\dot {\theta }}=\omega$ y el módulo de la velocidad del punto $P$ es $v_{0}$, encuentra el valor de $\omega$.
3. Calcula el vector normal en cada punto de la trayectoria de $P$.
4. Calcula la curvatura en cada punto de la trayectoria.

Solución

Vector de posición

El vector de posición del punto $P$ puede construirse como la suma

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AP}}$

Tenemos

${\overrightarrow {OA}}=R\,\cos \theta \,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}$

Por otro lado

${\overrightarrow {AP}}=-R\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+R\cos \theta \,{\vec {\jmath }}$

Por tanto el vector buscado es

${\overrightarrow {OP}}=R\,(\cos \theta -\mathrm {sen} \,\theta \,)\,{\vec {\imath }}+R\,(\mathrm {sen} \,\theta +\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}$

Velocidad angular

Derivamos respecto al tiempo el vector de posición para obtener el vector velocidad

${\vec {v}}={\dot {\overrightarrow {OP}}}=-R\,{\dot {\theta }}\,(\mathrm {sen} \,\theta +\cos \theta )\,{\vec {\imath }}+R\,{\dot {\theta }}\,(\cos \theta -\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\jmath }}$

El módulo de este vector es

$|{\vec {v}}|=R\,{\dot {\theta }}\,{\sqrt {\mathrm {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta +2\,\mathrm {sen} \,\theta \cos \theta +\mathrm {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta -2\,\mathrm {sen} \,\theta \cos \theta }}={\sqrt {2}}\,R\,{\dot {\theta }}={\sqrt {2}}\,R\,\omega$

El enunciado nos dice que este módulo vale $v_{0}$. Por tanto

$\omega ={\dfrac {v_{0}}{{\sqrt {2}}\,R}}$

Vector normal

Podemos calcular el vector normal a partir de la aceleración. Para simplificar, consideramos que $v_{0}$ es constante, por lo que componente tangencial de la aceleración es nula y la aceleración es íntegramente normal. Teniendo en cuenta que en este caso ${\dot {\theta }}=\omega$ es constante tenemos

${\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}=-R\,{\dot {\theta }}^{2}\,(\cos \theta -\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\imath }}-R\,{\dot {\theta }}^{2}\,(\mathrm {sen} \,\theta +\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}$

El vector normal es

${\vec {N}}={\dfrac {\vec {a}}{|{\vec {a}}|}}$

Tenemos

$|{\vec {a}}|={\sqrt {2}}\,R\,\omega ^{2}$

Por tanto

${\vec {N}}={\dfrac {\mathrm {sen} \,\theta -\cos \theta }{\sqrt {2}}}\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {\cos \theta +\mathrm {sen} \,\theta }{\sqrt {2}}}\,{\vec {\jmath }}$

Curvatura

La curvatura es

$\kappa ={\dfrac {a_{N}}{v^{2}}}$

En este caso $a_{N}=|{\vec {a}}|={\sqrt {2}}\,R\,\omega ^{2}$. Por tanto

$\kappa ={\dfrac {1}{{\sqrt {2}}\,R}}$

Como es una curva plana y la curvatura es constante, la trayectoria es una circunferencia de radio ${\sqrt {2}}\,R$.