http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Especial:P%C3%A1ginasNuevas&feed=atom&namespace=0laplace - Páginas nuevas [es]2024-03-19T07:32:43ZDe laplaceMediaWiki 1.40.0http://laplace.us.es/wiki/index.php/Problemas_de_m%C3%A1quinas_y_dispositivos_t%C3%A9rmicos_(GIOI)Problemas de máquinas y dispositivos térmicos (GIOI)2024-03-07T20:11:07Z<p>Antonio: Página creada con «==Rendimiento de una máquina térmica== Una máquina térmica opera a 300 rpm de manera que en cada ciclo absorbe 4000 J de una caldera y expulsa 2400 J al ambiente. Si para funcionar la máquina requiere 200 J de potencia eléctrica de entrada, ¿cuánto vale el trabajo de salida? ¿Cuánto vale el rendimiento de la máquina? Si consideramos los flujos de calor y de trabajo, ¿cuánto vale el flujo de trabajo neto de salida (trabajo neto de salida por segund…»</p>
<hr />
<div>==Rendimiento de una máquina térmica==<br />
Una máquina térmica opera a 300 rpm de manera que en cada ciclo absorbe 4000 J de una caldera y expulsa 2400 J al ambiente. Si para funcionar la máquina requiere 200 J de potencia eléctrica de entrada, ¿cuánto vale el trabajo de salida? ¿Cuánto vale el rendimiento de la máquina? Si consideramos los flujos de calor y de trabajo, ¿cuánto vale el flujo de trabajo neto de salida (trabajo neto de salida por segundo)?<br />
<br />
[[Rendimiento de una máquina térmica|Solución]]</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Proceso_formado_por_dos_tramos_rectosProceso formado por dos tramos rectos2024-03-07T19:48:40Z<p>Antonio: /* Calor */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Un gas ideal diatómico experimenta un proceso cuasiestático desde un estado A a un estado B, según la gráfica de la figura<br />
<br />
[[Archivo:proceso-dos-segmentos.png|center]]<br />
<br />
# ¿Cuánto es la variación de la energía interna del gas?<br />
# ¿Cuánto calor entra en el gas en este proceso?<br />
==Variación de la energía interna==<br />
La variación en la energía interna es<br />
<br />
<center><math>\Delta U = nc_v\,\Delta T</math></center><br />
<br />
Si sustituimos la relación entre la capacidad calorífica molar y la constante de los gases ideales queda<br />
<br />
<center><math>\Delta U = \frac{nR(T_B-T_A)}{\gamma-1}=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}</math></center><br />
<br />
El valor numérico de esta cantidad es<br />
<br />
<center><math>\Delta U = \frac{(50\,\mathrm{kPa})(0.6\,\mathrm{m}^3)-(300\,\mathrm{kPa})(0.1\,\mathrm{m}^3)}{1.4-1}=0\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
El estado final tiene la misma temperatura que el inicial y no hay variación en la energía interna.<br />
==Calor==<br />
Calculamos el calor aplicando el primer principio de la termodinámica<br />
<br />
<center><math>Q = \overbrace{\Delta U}^{=0} - W = -W</math></center><br />
<br />
A su vez, el trabajo lo calculamos a partir de la integral de la presión<br />
<br />
<center><math>W = -\int_A^B p\,\mathrm{d}V\qquad\Rightarrow\qquad Q = +\int_A^Bp\,\mathrm{d}V</math></center><br />
<br />
&nbsp;<br />
<center>[[Archivo:proceso-gas-trapecios.png]]</center><br />
<br />
El área bajo la curva es la suma de dos trapecios. Su valor puede hallarse o bien aplicando la fórmula del área de un trapecio u observando que cada uno es la mitad de un rectángulo. Por ello<br />
<br />
<center><math>Q = \frac{(0.2\,\mathrm{m}^3)\times 400\,\mathrm{kPa}}{2}+\frac{(0.3\,\mathrm{m}^3)\times 150\,\mathrm{kPa}}{2}=62.5\,\mathrm{kJ}<br />
</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Tubo_con_dos_c%C3%A1maras_r%C3%ADgidasTubo con dos cámaras rígidas2024-03-07T19:43:09Z<p>Antonio: Página creada con «==Enunciado== Un tubo de sección S está dividido en dos cámaras de longitud L. Las paredes son adiabáticas y la pared central es inamovible y está forrada de aislante térmico. Inicialmente, en la cámara de la izquierda (“1”) hay aire a temperatura <math>T_1=T_0</math> y presión <math>p_0</math> y en la de la derecha (”2”) aire a <math>T_2=3T_0</math> y la misma presión. Se retira el aislante del tabique central (sin eliminar el tabique). <center>A…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Un tubo de sección S está dividido en dos cámaras de longitud L. Las paredes son adiabáticas y la pared central es inamovible y está forrada de aislante térmico. Inicialmente, en la cámara de la izquierda (“1”) hay aire a temperatura <math>T_1=T_0</math> y presión <math>p_0</math> y en la de la derecha (”2”) aire a <math>T_2=3T_0</math> y la misma presión. Se retira el aislante del tabique central (sin eliminar el tabique). <br />
<br />
<center>[[Archivo:tubo-dos-camaras-rigidas.png|800px]]</center><br />
<br />
# ¿Cuál es la proporción entre las masas de aire de las dos cámaras?<br />
# ¿Cuál es la temperatura final del aire en cada cámara?<br />
# ¿Cuánto vale la fuerza sobre la pared central en el estado final?<br />
<br />
==Proporción entre masas==<br />
Para los dos cámaras se cumple la ley de los gases ideales<br />
<br />
<center><math>pV = m R_m T\,</math></center><br />
<br />
siendo en este caso iguales en las dos cámaras la constante de los gases (aire en ambas cámaras), la presión a la que se encuentran y el volumen que ocupan. Por tanto, se cumple<br />
<br />
<center><math>m_1T_1 = m_2T_2\qquad\Rightarrow\qquad m_1T_0=m_2(3T_0)\qquad\Rightarrow\qquad m_1=3m_2</math></center><br />
<br />
==Temperatura final del aire==<br />
Puesto que el sistema completo está aislado térmicamente, no se intercambia calor con el exterior. Puesto que es rígido, tampoco hay trabajo. Por tanto, se conserva la energía interna. Lo que aumente la de uno de las cámaras será igual a lo que disminuya la de la otra.<br />
<br />
<center><math>\Delta U_1 + \Delta U_2 = 0\,</math></center><br />
<br />
Aplicando esta ecuación<br />
<br />
<center><math>n_1c_v(T_f-T_1) + n_2c_v(T_f-T_2) = 0\,</math></center><br />
<br />
lo que da<br />
<br />
<center><math>T_f = \frac{n_1T_1+n_2T_2}{n_1+n_2}</math></center><br />
<br />
La proporción entre moles es la misma que entre masas<br />
<br />
<center><math>n_1=3n_2\qquad\qquad T_1=T_0\qquad\qquad T_2=3T_0</math></center><br />
<br />
y queda<br />
<br />
<center><math>T_f = \frac{3n_2T_0+n_2(3T_0)}{3n_2+n_2}=\frac{3}{2}T_0</math></center><br />
<br />
También puede llegarse a este resultado sin calcular previamente la proporción entre los números de moles observando que<br />
<br />
<center><math>C_1=n_1c_v = \frac{p_{1i}V_0}{RT_{1}}\,\frac{R}{\gamma-1}=\frac{p_0V_0}{T_0(\gamma-1)}</math></center><br />
<br />
y<br />
<center><math><br />
C_2=n_2c_v = \frac{p_{2i}V_0}{RT_{2}}\,\frac{R}{\gamma-1}=\frac{p_0V_0}{3T_0(\gamma-1)}</math></center><br />
<br />
Por tanto<br />
<br />
<center><math>T_f = \frac{C_1T_{1}+C_2T_{2}}{C_1+C_2}=\dfrac{\dfrac{p_0V_0}{T_0(\gamma-1)}T_0+\dfrac{p_0V_0}{3T_0(\gamma-1)}3T_0}{\dfrac{p_0V_0}{T_0(\gamma-1)}+\dfrac{p_0V_0}{3T_0(\gamma-1)}}=\frac{1 + 1}{\dfrac{1}{T_0}+\dfrac{1}{3T_0}}=\frac{3}{2}T_0</math></center><br />
<br />
==Fuerza sobre la pared central==<br />
En el estado final, la presión de la cámara 1 cumple<br />
<br />
<center><math>\frac{p_{1f}}{T_{1f}}=\frac{p_{1i}}{T_{1i}}\qquad\Rightarrow\qquad p_{1f}=\frac{p_0(3T_0/2)}{T_0}=\frac{3}{2}p_0</math></center><br />
<br />
mientras que la de la cámara 2 verifica<br />
<br />
<center><math>\frac{p_{2f}}{T_{2f}}=\frac{p_{2i}}{T_{2i}}\qquad\Rightarrow\qquad p_{2f}=\frac{p_0(3T_0/2)}{3T_0}=\frac{1}{2}p_0</math></center><br />
<br />
Esto nos da la fuerza de la cámara 1 a la 2<br />
<br />
<center><math>F=(p_1-p_2)S = \left(\frac{3}{2}p_0-\frac{1}{2}p_0\right)S=p_0S</math></center><br />
<br />
Al calentarse el gas de la cámara 1 aumenta su presión, mientras que al enfriarse el gas de la cámara 2 disminuye la suya. Por tanto en el estado final hay una fuerza que va de la cámara 1 (mayor presión) a la 2 (menor presión). <br />
<br />
Esta fuerza debe ser resistida por la rigidez de la pared central. Si en lugar de una pared tuviéramos un émbolo, éste se desplazaría hasta que se alcanzara simultáneamente el equilibrio térmico y el mecánico.</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Expansi%C3%B3n_lineal_de_un_gas_ideal_diat%C3%B3micoExpansión lineal de un gas ideal diatómico2024-03-07T19:10:25Z<p>Antonio: /* Trabajo */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Se tiene una cantidad fija de un gas ideal diatómico situada a una presión <math>p_0</math>, volumen <math>V_0</math> y temperatura <math>T_0</math>. Experimenta un proceso tal que la presión final es <math>2p_0</math> y el volumen <math>2V_0</math>. <br />
# ¿Cuánto vale el incremento de la energía interna en este proceso?<br />
# Supongamos que el proceso anterior ocurre de manera cuasiestática según la ley <math>p(V)=(p_0/V_0 )V</math> ¿Cuánto trabajo se realiza sobre el gas en esta expansión cuasiestática? ¿Cuánto calor entra en el gas en la expansión cuasiestática?<br />
==Aumento de energía interna==<br />
El aumento es<br />
<br />
<center><math>\Delta U = nc_v\,\Delta T=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}=\frac{3p_0V_0}{\gamma-1}=\frac{15}{2}p_0V_0</math></center><br />
<br />
ya que para un gas diatómico<br />
<br />
<center><math>\frac{1}{\gamma-1}=\frac{5}{2}</math></center><br />
<br />
==Trabajo==<br />
El área bajo la curva es un trapecio, por lo que el trabajo vale<br />
<br />
<center><math>W=-\frac{p_A+p_B}{2}(V_B-V_A)=-\frac{p_0+2p_0}{2}(2V_0-V_0)=-\frac{3}{2}p_0V_0</math></center><br />
<br />
==Calor==<br />
Según el primer principio de la termodinámica<br />
<br />
<center><math>Q= \Delta U - W = \frac{15}{2}p_0V_0 - \left(-\frac{3}{2}p_0V_0\right) = 9p_0V_0</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Compresi%C3%B3n_lineal_con_calor_nuloCompresión lineal con calor nulo2024-03-07T16:05:20Z<p>Antonio: Página creada con «==Enunciado== Una cierta cantidad de aire seco experimenta una compresión cuasiestática A→B que se describe en un diagrama pV con un segmento rectilíneo como el de la figura. Sean <math>V_A=1200\,\mathrm{cm}^3</math>, <math>p_A=102\,\mathrm{kPa}</math> y <math>T_A=297\,\mathrm{K}</math> las condiciones iniciales y<math> V_A/V_B=r=3</math> la relación de compresión. <center>Archivo:compresion-lineal.png</center> # Calcule el trabajo realizado sobre el sist…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Una cierta cantidad de aire seco experimenta una compresión cuasiestática A→B que se describe en un diagrama pV con un segmento rectilíneo como el de la figura. Sean <math>V_A=1200\,\mathrm{cm}^3</math>, <math>p_A=102\,\mathrm{kPa}</math> y <math>T_A=297\,\mathrm{K}</math> las condiciones iniciales y<math> V_A/V_B=r=3</math> la relación de compresión.<br />
<br />
<center>[[Archivo:compresion-lineal.png]]</center><br />
<br />
# Calcule el trabajo realizado sobre el sistema en el proceso A→B como función de la presión final <math>p_B</math> y del resto de datos del problema.<br />
# Halle el valor de la presión final <math>p_B</math> si en el proceso descrito el calor neto que entra en el sistema es nulo, <math>Q_{A\to B}=0</math>, es decir, el proceso no es adiabático, sino que el calor que entra iguala al que sale. <br />
# Halle la temperatura final <math>T_B</math> en el proceso anterior.<br />
<br />
==Trabajo==<br />
El volumen inicial es de 1.2&thinsp;L y el final es<br />
<br />
<center><math>V_B=\frac{V_A}{r}=0.4\,\mathrm{L}</math></center><br />
<br />
El trabajo lo podemos calcular como el área de un trapecio<br />
<br />
<center><math>W=-\frac{p_A+p_B}{2}(V_B-V_A)=-\frac{102+p_B}{2}(0-4-1.2)= 40.8+0.4p_B</math></center><br />
<br />
con la presión en kilopascales y el trabajo en julios.<br />
<br />
==Calor==<br />
Para hallar el calor necesitamos el primer principio de la termodinámica, pues este proceso ni es a presión constante ni a volumen constante.<br />
<br />
Tenemos que<br />
<br />
<center><math>\Delta U = nc_v(T_B-T_A)=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}=\frac{0.4p_B-1.2\cdot 102}{0.4}=p_B - 306</math></center><br />
<br />
El calor en el proceso es<br />
<br />
<center><math>Q=\Delta U - W = p_B-306 - (40.8-0.4p_B) = 0.6p_B-346.8\,</math></center><br />
<br />
y esta cantidad se anula para<br />
<br />
<center><math>0 = 0.6p_B-346.8 \qquad\Rightarrow\qquad p_B = \frac{346.8}{0.6}=578\,\mathrm{kPa}</math></center><br />
<br />
==Temperatura==<br />
Una vez que tenemos el volumen y la temperatura finales, el calor lo obtenemos de la ley de los gases ideales.<br />
<br />
<center><math>T_B = T_A\,\frac{p_B}{p_A}\,\frac{V_B}{V_A}=297\,\frac{578}{102}\,\frac{0.4}{1.2}=561\,\mathrm{K}</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Descenso_en_un_proceso_c%C3%ADclicoDescenso en un proceso cíclico2024-02-29T17:37:44Z<p>Antonio: /* Representación gráfica */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Se construye un sistema de cilindro con pistón, para el cual se sigue el siguiente proceso cíclico. Se parte de un estado A en el que tenemos un cilindro de paredes aisladas térmicamente (aunque el aislante no es perfecto), con pistón. El cilindro tiene 100 cm² de sección y el pistón se halla inicialmente a 70 cm del fondo. El interior del cilindro contiene inicialmente aire seco a 7 ℃ y 100 kPa, que coinciden con la temperatura y la presión del ambiente, las cuales son constantes.<br />
<br />
<center> <br />
{|<br />
|-<br />
| [[Archivo:Ascensor-termico-01.png]] || [[Archivo:Ascensor-termico-02.png]]<br />
|-<br />
! A !! B<br />
|-<br />
| [[Archivo:Ascensor-termico-03.png]] || [[Archivo:Ascensor-termico-04.png]]<br />
|-<br />
! D !! C<br />
|}<br />
</center><br />
<br />
;A→B: Sobre el pistón se coloca bruscamente una pesa de 250 N, que hace que el pistón descienda una cierta distancia. Este proceso puede suponerse adiabático, pero no cuasiestático.<br />
;B→C: Sin quitar la pesa se deja que el gas cambie lentamente su temperatura hasta que se iguala a la temperatura exterior.<br />
;C→D: Se quita bruscamente la pesa a la nueva altura, lo que hace que el pistón suba bruscamente, en otro proceso adiabático no cuasiestático.<br />
;D→A: Se deja que el aire ceda o absorba calor lentamente hasta que vuelve a estar a la temperatura inicial y en la posición de partida.<br />
<br />
Para este ciclo:<br />
# Calcule la presión, temperatura y volumen del aire en cada estado. ¿Cuántos cm desciende la pesa entre los estados A y C?<br />
# Indique gráficamente en un diagrama pV, de manera aproximada, cómo es el ciclo localizando los cuatro estados y trazando aquellos procesos que se puedan representar.<br />
# Calcule el trabajo y el calor que entra en el sistema en cada paso, así como el trabajo neto de entrada y el calor neto de salida en el ciclo.<br />
<br />
==Presión, volumen y temperatura==<br />
===Estado A===<br />
El estado inicial nos lo da el Enunciado<br />
<br />
<center><math>p_A=100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_A= 280\,\mathrm{K}\qquad\qquad V_A=7.00\,\mathrm{L}</math></center><br />
<br />
===Estado B===<br />
En el primer paso tenemos una compresión adiabática abrupta como en el problema &ldquo;[[Compresión adiabática de un gas]]&rdquo;. El cálculo es idéntico aquí. El resultado es, para la presión,<br />
<br />
<center><math>p_B = p_A + \frac{mg}{S} = 100000\,\mathrm{Pa}+\frac{250\,\mathrm{N}}{0.01\,\mathrm{m}^2}=125\,\mathrm{kPa}</math></center><br />
<br />
para el volumen<br />
<br />
<center><math>V_B=V_A\left(1-\frac{p_B-p_A}{\gamma p_B}\right)=7.00\left(1-\frac{125-100}{1.4\cdot 125}\right)\,\mathrm{L}=6.00\,\mathrm{L}</math></center><br />
<br />
y para la temperatura<br />
<br />
<center><math>T_B = T_A\,\frac{p_B}{p_A}\,\frac{V_B}{V_A}=280\,\frac{125}{100}\,\frac{6}{7}=300\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
Vemos que el pistón desciende 10&thinsp;cm, desde 70&thinsp;cm a 60&thinsp;cm mientras la temperatura se incrementa en 20&thinsp;K.<br />
<br />
===Estado C===<br />
El paso de B a C es una compresión lenta a presión constante, a medida que el calor va escapando por las paredes. En el estado C la presión y temperatura valen<br />
<br />
<center><math>p_C=p_B = 125\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_C = T_A = 280\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
lo que nos da el volumen<br />
<br />
<center><math>V_C = V_B \frac{p_B}{p_C}\,\frac{T_C}{T_B}=6.00\,\frac{125}{125}\,\frac{280}{300}\,\mathrm{L}=5.60\,\mathrm{L}</math></center><br />
<br />
La posición del émbolo es ahora a 56&thinsp;del fondo.<br />
<br />
===Estado D===<br />
Al retirar la pesa se produce una expansión adiabática abrupta. La presión vuelve a ser la inicial<br />
<br />
<center><math>p_D = p_A=100\,\mathrm{kPa}</math></center><br />
<br />
y el volumen se obtiene de manera análoga al paso A&rarr;B.<br />
<br />
<center><math>V_D=V_C\left(1-\frac{p_D-p_C}{\gamma p_D}\right)=5.60\left(1-\frac{100-125}{1.4\cdot 100}\right)\,\mathrm{L}=6.60\,\mathrm{L}</math></center><br />
<br />
El pistón está ahora a 66&thinsp; del fondo. <br />
<br />
La nueva temperatura es<br />
<br />
<center><math>T_D=T_C\,\frac{p_D}{p_C}\,\frac{V_D}{V_C}=280\,\frac{100}{125}\,\frac{6.60}{5.60}\,\mathrm{K}=264\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
Durante la expansión adiabática se produce un enfriamiento, pues parte de la energía interna se va en realizar trabajo.<br />
<br />
===Resumen===<br />
Reuniendo todos estos resultados nos queda<br />
<br />
<center> <br />
{| class="bordeado"<br />
|-<br />
! Estado <br />
! <math>p\ (\mathrm{kPa})</math> !! <math>T\ (\mathrm{K})</math> !! <math>V\ (\mathrm{L})</math> !! <math>h\ (\mathrm{cm})</math><br />
|-<br />
! A <br />
| 100 || 280 || 7.00 || 70<br />
|-<br />
! B <br />
| 125 || 300 || 6.00 || 60<br />
|-<br />
! C <br />
| 125 || 280 || 5.60 || 56<br />
|-<br />
! D <br />
| 100 || 264 || 6.60 || 66<br />
<br />
|}<br />
</center><br />
<br />
==Representación gráfica==<br />
En este proceso solo podemos representar los procesos B&rarr;C y D&rarr;A, que son los únicos cuasiestáticos. Al ser procesos a presión constante, se representan por segmentos horizontales en un diagrama pV. Los procesos adiabáticos no los podemos representar por no ser cuasiestáticos, aunque sí podemos marcar los estados inicial y final de cada uno.<br />
<br />
[[Archivo:Descenso-pesa-ciclico.png|centro|600px|alt=Descenso de pesa en un ciclo]]<br />
<br />
==Trabajo y calor==<br />
===Proceso A&rarr;B===<br />
Este proceso es adiabático, por lo que<br />
<br />
<center><math>Q_{A\to B} = 0\,</math></center><br />
<br />
mientras que el trabajo coincide con la variación de la energía interna, por la misma razón<br />
<br />
<center><math>W_{A\to B}= U(B)-U(A)=\frac{p_BV_B-pAV_A}{\gamma-1} = \frac{125\cdot 6.00-100\cdot 7.00}{0.4}\,\mathrm{J}= +125\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Este trabajo puede calcularse también como<br />
<br />
<center><math>W_{A\to B}=-p_B(V_B-V_A)=-125(6.00-7.00)\mathrm{J}= +125\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
por ser un proceso a presión externa constante (pero no a presión constante).<br />
<br />
===Proceso B&rarr;C===<br />
Este proceso es cuasiestático a presión constante, por lo que el calor coincide con la variación en la entalpía<br />
<br />
<center><math>Q_{B\to C} = \Delta H = H(C)-H(B)=\frac{\gamma(p_CV_V-p_BV_B)}{\gamma-1}= \frac{1.4(125\cdot 5.60-125\cdot 6.00)}{0.4}\,\mathrm{J}=-175\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
mientras que el trabajo coincide con la variación de la energía interna menos el calor<br />
<br />
<center><math>W_{B\to C}= \Delta U - \Delta H = +125\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
siendo<br />
<br />
<center><math>\Delta U = \frac{125\cdot 5.60-125\cdot 6.00}{0.4}\,\mathrm{J}=-125\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Este cambio es opuesto al del proceso A&rarr;B porque el gas vuelve a la temperatura inicial. Por tanto<br />
<br />
<center><math>W_{B\to C}= -125\,\mathrm{J}+175\,\mathrm{J}=+ 50\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Este trabajo puede calcularse también como<br />
<br />
<center><math>W_{B\to C}=-p_C(V_C-V_B)=-125(5.60-6.00)\mathrm{J}= +50\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
por ser un proceso a presión constante (externa e interna).<br />
<br />
===Proceso C&rarr;D===<br />
De nuevo tenemos un proceso adiabático, por lo que<br />
<br />
<center><math>Q_{C\to D} = 0\,</math></center><br />
<br />
mientras que el trabajo coincide con la variación de la energía interna<br />
<br />
<center><math>W_{C\to D}= \Delta U = U(D)-U(C)=\frac{p_DV_D-p_CV_C}{\gamma-1} = \frac{100\cdot 6.60-125\cdot 5.60}{0.4}\,\mathrm{J}= -100\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Este trabajo puede calcularse también como<br />
<br />
<center><math>W_{C\to D}=-p_D(V_D-V_C)=-100(6.60-5.60)\mathrm{J}= -100\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
por ser también un proceso a presión externa constante.<br />
<br />
===Proceso D&rarr;A===<br />
Este proceso es cuasiestático a presión constante, por lo que el calor coincide con la variación en la entalpía<br />
<br />
<center><math>Q_{D\to A} = \Delta H = H(D)-H(A)=\frac{\gamma(p_AV_A-p_DV_D)}{\gamma-1}= \frac{1.4(100\cdot 7.00-100\cdot 6.60)}{0.4}\,\mathrm{J}=+140\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
mientras que el trabajo coincide con la variación de la energía interna menos el calor<br />
<br />
<center><math>W_{B\to C}= \Delta U - \Delta H = +100\,\mathrm{J}-140\,\mathrm{J}=-40\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
donde hemos usado que, por volver a la temperatura del estado C<br />
<br />
<center><math>\Delta U_{D\to A} = -\Delta U_{C\to D}</math></center><br />
<br />
Este trabajo puede calcularse también como<br />
<br />
<center><math>W_{D\to A}=-p_A(V_A-V_D)=-100(7.00-6.60)\mathrm{J}= -40\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
por ser un proceso a presión constante (externa e interna).<br />
<br />
===Resumen===<br />
Reuniendo todos estos resultados tenemos<br />
<br />
<center> <br />
{| class="bordeado"<br />
|-<br />
! Proceso !! <math>W\ (\mathrm{J})</math> !! <math>Q\ (\mathrm{J})</math><br />
|-<br />
! A&rarr;B <br />
| +125 || 0<br />
|-<br />
! B&rarr;C <br />
| +50 || &minus;175<br />
|-<br />
! C&rarr;D <br />
| &minus;100 || 0<br />
|-<br />
! D&rarr;A <br />
| &minus;40 || +140<br />
|}<br />
</center><br />
<br />
El balance global del proceso es que se ha realizado un trabajo sobre el sistema<br />
<br />
<center><math>W= (+125+50-100-40)\,\mathrm{J} = +35\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Este trabajo coincide con la pérdida de energía potencial de la pesa, que ha descendido 14&thinsp;cm (de 70&thinsp;cm a 56&thinsp;cm)<br />
<br />
<center><math>\Delta E_p = mg (h_C-h_A) = 250\,\mathrm{N}(56\,\mathrm{cm}-70\,\mathrm{cm}) = -35\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
El calor neto del ciclo es<br />
<br />
<center><math>W= (0-175+0+140)\,\mathrm{J} = -35\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Este es un calor de salida. Tenemos entonces que, como corresponde a un ciclo en el que entra trabajo y sale calor<br />
<br />
<center><math>W_\mathrm{in}=+35\,\mathrm{J}=Q_\mathrm{out}</math></center><br />
<br />
El resultado neto es que al final del ciclo el sistema vuelve al estado inicial, pero 35&thinsp;J de energía potencial se han disipado en forma de calor.</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Cuatro_procesos_no_cuasiest%C3%A1ticosCuatro procesos no cuasiestáticos2024-02-28T17:37:35Z<p>Antonio: /* Presiones, volúmenes y temperaturas */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Se tiene un cilindro horizontal cerrado por un pistón, en cuyo interior hay aire seco (considerado un gas ideal diatómico). Inicialmente, el aire interior se encuentra a 450&thinsp;kPa y 333&thinsp;K, ocupando un volumen de 1000&thinsp;cm&sup3;. El ambiente se encuentra a 100&thinsp;kPa y 296&thinsp;K, valores que no cambian en ningún momento.<br />
<br />
Las paredes del cilindro son adiabáticas. El pistón está inicialmente limitado por un tope y forrado de forma que está aislado térmicamente.<br />
<br />
Se realiza entonces el siguiente proceso compuesto:<br />
<br />
* '''A&rarr;B''' Se libera bruscamente el tope, dejando que el gas se expanda sin quitarle el aislante térmico.<br />
* '''B&rarr;C''' Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio y sin volver a fijar la tapa, se quita bruscamente el aislante térmico, dejando que el sistema evolucione.<br />
<br />
Ninguno de los dos pasos es cuasiestático.<br />
<br />
Para este proceso<br />
<br />
:'''a.1''' Calcule la presión, volumen y temperatura del gas en los estados B y C.<br />
:'''a.2''' Halle el trabajo y el calor netos que entran en el sistema, así como la variación de energía interna, en los pasos A&rarr;B y B&rarr;C.<br />
<br />
Suponga ahora que, partiendo del mismo estado inicial se realizan los dos desbloqueos en orden inverso, es decir,<br />
<br />
* A&rarr;D Se quita bruscamente el aislante térmico, sin quitar el tope<br />
* D&rarr;E Sin volver a poner el aislante, se libera bruscamente el tope.<br />
Ninguno de los dos pasos es cuasiestático.<br />
<br />
Para este nuevo proceso, calcule las mismas magnitudes que en el caso anterior, es decir:<br />
<br />
:'''b.1''' Calcule la presión, volumen y temperatura del gas en los estados D y E.<br />
:'''b.2''' Halle el trabajo y el calor netos que entran en el sistema, así como la variación de energía interna, en los pasos A&rarr;D y D&rarr;E.<br />
<br />
==Introducción==<br />
En este sistema tenemos una cantidad de aire rodeado por el ambiente. <br />
<br />
La presencia del tope impide que se alcance el equilibrio mecánico. Si se retira, se llega al equilibrio mecánico, igualándose la presión a la exterior.<br />
<br />
La presencia del aislante térmico hace que las paredes sean adiabáticas e impide que se llegue al equilibrio térmico. Si se retira, sí se alcanza este equilibrio.<br />
<br />
Si se retiran los dos bloqueos, se alcanzan los dos equilibrios.<br />
<br />
Por tanto, habrá estados en que la presión y/o la temperatura sea la misma que la ambiente.<br />
<br />
Con eso y con la ayuda de la ley de los gases ideales y del primer principio de la termodinámica, pueden determinarse las variables que faltan.<br />
<br />
En cuanto a los procesos en sí, hay que destacar que, como se dice en el propio enunciado, '''NO''' son cuasiestáticos y por tanto:<br />
<br />
* '''NO''' se pueden representar como una curva en un diagrama pV.<br />
* '''NO''' se puede usar la ley de Poisson, que es solo para procesos adiabáticos cuasiestáticos.<br />
* '''NO''' se puede hallar el trabajo empleando la fórmula de un proceso isotermo, con el logaritmo, ya que esa solo vale para procesos cuasiestáticos.<br />
<br />
Los procesos son los siguientes:<br />
<br />
;A&rarr;B: proceso adiabático (NO isotermo) no cuasiestático, con una presión externa constante.<br />
;B&rarr;C: proceso a presión constante (isóbaro)<br />
;A&rarr;D: proceso a volumen constante (isócoro)<br />
;D&rarr;E: proceso a temperatura constante (isotermo) no cuasiestático.<br />
<br />
==Presiones, volúmenes y temperaturas==<br />
Comenzamos anotando los datos que conocemos e iremos rellenando los que podamos deducir de estos empleando la ley de los gases ideales y el conocimiento de los diferentes procesos.<br />
<br />
;Estado A<br />
<br />
Del estado inicial A tenemos toda la información<br />
<br />
<center><math>p_A=450\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad V_A=1000\,\mathrm{cm}^3\qquad\qquad T_A=333\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
;Estado C<br />
<br />
En el estado final '''C''', el gas tiene la temperatura y la presión del ambiente, ya que ha alcanzado el equilibrio térmico y mecánico.<br />
<br />
<center><math>p_C=100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_C=296\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
Mediante la ley de los gases ideales calculamos el volumen en el estado final C<br />
<br />
<center><math>\frac{p_CV_C}{T_C}=\frac{p_AV_A}{T_A}\qquad\Rightarrow\qquad V_C=\frac{T_Cp_A}{T_Ap_C}V_A=\frac{296\times 450}{333\times 100}\times 1000\,\mathrm{cm}^3=4000\,\mathrm{cm}^3</math></center><br />
<br />
;Estado E<br />
<br />
El estado E es exactamente el mismo que el C: de equilibrio mecánico y térmico con el ambiente. Por ello:<br />
<br />
<center><math>p_E=100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_E=296\,\mathrm{K}\qquad\qquad V_E=4000\,\mathrm{cm}^3</math></center><br />
<br />
Quedan los estados B y D. Para ellos, debemos analizar los procesos.<br />
<br />
;Estado B<br />
<br />
Al estado B se llega cuando se retira el tope y de deja que el gas se expanda, sin quitar el aislante térmico. Esto quiere decir que en B hay equilibrio mecánico con el ambiente, pero no térmico. Por ello,<br />
<br />
<center><math>p_B = 100\,\mathrm{kPa}</math></center><br />
<br />
No sabemos la temperatura ni el volumen en este estado. Sí sabemos que el proceso A&rarr;B es adiabático, por lo que se cumple la igualdad<br />
<br />
<center><math>W +\overbrace{Q}^{=0}=\Delta U</math></center><br />
<br />
El proceso es adiabático, pero no cuasiestático. Por ello, no podemos emplear la ley de Poisson para hallar el nuevo estado. En su lugar, como en el problema de la [[Trabajo_en_una_compresión_por_un_peso#Caso_adiab.C3.A1tico|pesa]] debemos calcular el trabajo teniendo en cuenta que la presión exterior es constante<br />
<br />
<center><math>W=-\int_A^B p_\mathrm{ext}\,\mathrm{d}V=-p_\mathrm{ext}\,\Delta V</math></center><br />
<br />
o, en términos de las variables del sistema,<br />
<br />
<center><math>W=-p_B(V_B-V_A)\,</math></center><br />
<br />
Igualando esto a la variación de la energía interna<br />
<br />
<center><math>\Delta U = nc_v(T_B-T_A)=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}</math></center><br />
<br />
queda la ecuación<br />
<br />
<center><math>-p_B(V_B-V_A)=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}</math></center><br />
<br />
cuya solución, como en los dos problemas mencionados, vale<br />
<br />
<center><math>V_B = \left(1-\frac{p_B-p_A}{\gamma p_B}\right)V_A</math></center><br />
<br />
siendo su valor numérico <br />
<br />
<center><math>V_B = \left(1-\frac{100-450}{1.4\times 100}\right)\times 1000\,\mathrm{cm}^3 = 3500\,\mathrm{cm}^3</math></center><br />
<br />
Una vez que tenemos el volumen, hallamos la nueva temperatura mediante la ley de los gases ideales<br />
<br />
<center><math>T_B=\frac{p_BV_B}{p_AV_A}T_A=259\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
Vemos que la temperatura cae por debajo de la del ambiente. No hay problema en ello, pues el aislante térmico provoca que no haya equilibrio. Este es un caso de enfriamento adiabático: la expansión brusca de un gas hace bajar su temperatura.<br />
<br />
;Estado D<br />
<br />
Por último, queda el estado D. En este se retira el aislante térmico dejando el tope puesto. Por tanto su volumen es el mismo que el inicial<br />
<br />
<center><math>V_D = V_A=1000\,\mathrm{cm}^3</math></center><br />
<br />
pero su temperatura se iguala a la del ambiente<br />
<br />
<center><math>T_D=T_C=296\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
Con la ley de los gases ideales obtenemos la presión en este estado<br />
<br />
<center><math>p_D=\frac{T_D V_A}{T_A V_D}p_A=400\,\mathrm{kPa}</math></center><br />
<br />
;Resumen:<br />
<br />
Con esto ya tenemos la tabla completa de todos los estados:<br />
<br />
{| class="bordeado"<br />
|-<br />
! Estado<br />
! p (kPa)<br />
! V (cm&sup3;)<br />
! T (K)<br />
|-<br />
! A<br />
| 450<br />
| 1000<br />
| 333<br />
|-<br />
! B<br />
| 100<br />
| 3500<br />
| 259<br />
|-<br />
! C<br />
| 100 <br />
| 4000<br />
| 296<br />
|-<br />
! D<br />
| 400<br />
| 1000<br />
| 296<br />
|-<br />
! E<br />
| 100 <br />
| 4000<br />
| 296<br />
|}<br />
<br />
Gráficamente, podríamos situar los estados (pero no los procesos) en el siguiente diagrama pV<br />
<br />
<center>[[Archivo:diagrama-cuatro-procesos.png]]</center><br />
<br />
==Trabajo, calor y energía interna==<br />
Una vez que tenemos los valores de las variables de estado hay cantidades que podemos calcular de forma inmediata. La variación de la energía interna, que es una función de estado, es una de ellas. En todos los casos podemos aplicar la fórmula<br />
<br />
<center><math>\Delta U = nc_v\,\Delta T = \frac{p_fV_f-p_iV_i}{\gamma-1}</math></center><br />
<br />
Para el trabajo y el calor debemos analizar qué proceso es en cada caso.<br />
<br />
===Proceso A&rarr;B===<br />
Cuando liberamos el pistón sin retirar el aislante térmico se produce una expansión adiabática, como ya dijimos. En este proceso<br />
<br />
<center><math>Q^{A\to B}=0\,</math></center><br />
<br />
y la variación de la energía interna<br />
<br />
<center><math>\Delta U^{A\to B} = \frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}</math></center><br />
<br />
Sustituyendo los valores numéricos (usando que &gamma; = 1.4)<br />
<br />
<center><math>\Delta U^{A\to B} = \frac{10^5\times (3.5\times 10^{-3})-(4.5\times 10^5)\times(10^{-3})}{0.4}\mathrm{J}=-250\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
El valor del trabajo es igual a esta variación en la energía<br />
<br />
<center><math>W^{A\to B} = \Delta U^{A\to B}-\overbrace{Q^{A\to B}}^{=0}=-250\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
También podemos hallarlo teniendo en cuenta que es un trabajo a presión externa constante<br />
<br />
<center><math>W^{A\to B}=-p_B(V_B-V_A)=-10^5(3.5\times 10^{-3}-1.0\times 10^{-3})\mathrm{J}=-250\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
===Proceso B&rarr;C===<br />
En el proceso de B a C la presión externa también se mantiene constante, por lo que podemos aplicar de nuevo la fórmula<br />
<br />
<center><math>W^{B\to C}=-p_C(V_C-V_B)=-10^5(4.0\times 10^{-3}-3.5\times 10^{-3})\mathrm{J}=-50\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Para la variación en la energía interna aplicamos de nuevo que se trata de una función de estado<br />
<br />
<center><math>\Delta U^{B\to C} = \frac{10^5\times (4.0\times 10^{-3})-10^5\times(3.5\times 10^{-3})}{0.4}\mathrm{J}=+125\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
En este caso, el calor no es nulo, ya que el gas se expande y además se calienta<br />
<br />
<center><math>Q^{B\to C} = \Delta U^{B\to C}-W^{B\to C}=(+125-(-50))\,\mathrm{J}=+175\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
También se puede calcular este calor observando que se trata de un proceso a presión constante y<br />
<br />
<center><math>Q^{B\to C} = nc_p(T_C-T_B)=\frac{\gamma(p_CV_C-p_BV_B)}{\gamma-1}</math></center><br />
<br />
Más en general, puesto que la presión no cambia, podríamos hallar este calor como la variación en la entalpía.<br />
<br />
===Proceso A&rarr;D===<br />
Al mantenerse fijo el tope, el volumen permanece constante, por lo que no se hace trabajo sobre el gas<br />
<br />
<center><math>W^{A\to D}=0\,</math></center><br />
<br />
Para la variación en la energía interna aplicamos otra vez la misma fórmula<br />
<br />
<center><math>\Delta U^{A\to D} = \frac{(4.0\times 10^5)\times (1.0\times 10^{-3})-(4.5\times 10^5)\times(1.0\times 10^{-3})}{0.4}\mathrm{J}=-125\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
En este caso, el calor tampoco es nulo, <br />
<br />
<center><math>Q^{A\to D} = \Delta U^{A\to D}-\overbrace{W^{A\to D}}^{=0}=-175\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
También se puede calcular este calor observando que se trata de un proceso a volumen constante <br />
<br />
<center><math>Q^{A\to D} = nc_v(T_C-T_B)=\frac{(p_DV_D-p_AV_A)}{\gamma-1}</math></center><br />
<br />
que por supuesto en este caso coincide con la variación en la energía interna.<br />
<br />
===Proceso D&rarr;E===<br />
Al igual que en el proceso B&rarr;C se mantenía constante la presión, porque previamente se había quitado el tope y ya estaba en equilibrio mecánico, en el proceso D&rarr;E se mantiene constante la temperatura, porque previamente se ha alcanzado el equilibrio térmico. Por ello<br />
<br />
<center><math>\Delta U^{D\to E}=nc_V(T_E-T_D)=0\,</math></center><br />
<br />
El trabajo no es cero. Este es un proceso isotermo, pero no podemos aplicar la fórmula con el trabajo en un proceso isotermo cuasiestático (la del logaritmo), ya que este proceso no es cuasiestático. Como en el problema de la [[Trabajo_en_una_compresión_por_un_peso#Caso_isotermo|pesa]] o el del [[Masa_que_cuelga_de_una_cámara_de_aire#Descenso_del_pist.C3.B3n|saco]] hay que aplicar que se trata de un trabajo frente a una presión externa constante<br />
<br />
<center><math>W^{D\to E}=-p_E(V_E-V_D)\,</math></center><br />
<br />
lo que nos da<br />
<br />
<center><math>W^{D\to E}=-10^5(4.0\times 10^{-3}-3.5\times 10^{-3})\,\mathrm{J}=-300\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
El calor lo calculamos a partir de este trabajo<br />
<br />
<center><math>Q^{D\to E} = \overbrace{\Delta U^{D\to E}}^{=0}-W^{D\to E}=+300\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
===Resumen===<br />
Reuniendo todos los resultados obtenemos la siguiente tabla<br />
<br />
{| class="bordeado"<br />
|-<br />
! Proceso<br />
! Q (J)<br />
! W (J)<br />
! &Delta;U (J)<br />
|-<br />
! A&rarr;B<br />
| 0<br />
| &minus;250<br />
| &minus;250<br />
|-<br />
! B&rarr;C<br />
| +175<br />
| &minus;50<br />
| +125<br />
|-<br />
! A&rarr;D<br />
| &minus;125<br />
| 0<br />
| &minus;125<br />
|-<br />
! B&rarr;C<br />
| &minus;300<br />
| +300<br />
| 0<br />
|}<br />
<br />
Vemos que como los estados C y E son el mismo, el proceso A &rarr; B &rarr; C y el proceso A &rarr; D &rarr; E son dos caminos diferentes entre los mismos estados. Por el primer principio de la termodinámica, la suma del calor y el trabajo es la misma en un camino que en el otro, aunque cada uno por separado (Q o W) pueda ser diferente.</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Equilibrio_de_dos_c%C3%A1maras_de_aireEquilibrio de dos cámaras de aire2024-02-28T13:05:37Z<p>Antonio: </p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Se tiene un sistema formado por dos cámaras de aire seco (γ=1.4). La cámara izquierda (subsistema 1) es rígida. La derecha (subsistema 2) está limitada en su lado derecho por un pistón móvil, siendo la presión externa de 100 kPa. Las paredes exteriores y el pistón son adiabáticos. En el estado inicial, las dos cámaras ocupan 1 litro cada una y la presión de ambas es de 100 kPa, siendo la temperatura de la de la derecha 600 K y la de la izquierda 300 K, que también es la temperatura exterior. La pared entre las dos cámaras no es un aislante perfecto, sino que lentamente el calor va pasando de la cámara caliente a la fría.<br />
# Calcule la temperatura final de cada una de las dos cámaras.<br />
# Calcule el trabajo neto que entra, el calor neto que entra, la variación de energía interna y de entalpía para cada uno de los dos subsistemas y para el sistema completo.<br />
<br />
[[Archivo:Equilibrio-camaras-aire.png|center]]<br />
<br />
==Temperatura final==<br />
Tenemos el equilibrio de dos sistemas contenidos en un recipiente adiabático. Por ello la temperatura final es<br />
<br />
<center><math>T_f = \frac{C_1 T_1+ C_2 T_2}{C_1+C_2}</math></center><br />
<br />
En este caso, la cámara de la izquierda está a volumen constante, por ser rígida, mientras que la derecha está a presión constante, por tener un émbolo móvil. Por tanto<br />
<br />
<center><math>C_1 = n_1 c_v\qquad\qquad C_2 = n_2 c_p</math></center><br />
<br />
Podemos hallar los valores de las capacidades caloríficas <br />
<br />
<center><math>C_1 = n_1 c_V = \frac{n_1 R}{\gamma-1} = \frac{p_1 V_1}{T_1(\gamma-1)} = \frac{100\,\mathrm{kPa}\cdot 1\,\mathrm{L}}{300\,\mathrm{K} (1.4-1)}=0.833\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}</math></center><br />
<br />
<center><math>C_2 = n_2 c_p = \frac{\gamma n_2 R}{\gamma-1} = \frac{\gamma p_2 V_2}{T_2(\gamma-1)} = \frac{1.4\cdot 100\,\mathrm{kPa}\cdot 1\,\mathrm{L}}{600\,\mathrm{K} (1.4-1)}=0.583\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}</math></center><br />
<br />
Esto nos da la temperatura final<br />
<br />
<center><math>T_f = \frac{0.833\cdot 300+ 0.583\cdot 600}{0.833+0.583}\mathrm{K}=424\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
==Trabajo, calor y energía==<br />
===Para la cámara 1===<br />
====Trabajo====<br />
Puesto que la cámara 1 es rígida, el trabajo sobre ella es nulo<br />
<br />
<center><math>W_1 = 0\,</math></center><br />
<br />
====Variación de energía interna====<br />
La variación la obtenemos del incremento de temperaturas y es igual al calor que entra en la cámara por ser el proceso a volumen constante.<br />
<br />
<center><math>\Delta U_1 = n_1 c_v(T_f-T_1) = 0.833\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}(424-300)\,\mathrm{K}=103\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
====Variación de entalpía====<br />
La variación de entalpía es proporcional a la variación de la energía interna<br />
<br />
<center><math>\Delta H_1 = n_1 c_p \,\Delta T= \gamma n_1 c_v \Delta T = \gamma\,\Delta U = 144\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
====Calor====<br />
El calor, en este caso, coincide con la variación de la energía interna<br />
<br />
<center><math>Q_1=\Delta U_1 - W_1 = 103\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
===Para la cámara 2===<br />
====Variación de entalpía====<br />
La variación de entalpía es igual al calor que entra en la cámara, por ser el proceso a presión constante<br />
<br />
<center><math>\Delta H_2 = n_2 c_p \,\Delta T= 0.583\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}(424-600)\,\mathrm{K}= -103\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
====Calor====<br />
El calor, en este caso, coincide con la variación de entalpía<br />
<br />
<center><math>Q_2=\Delta H_2 =-103\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Este calor es igual y de signo contrario al que entra en la cámara 1, ya que el calor sale de una cámara y va a la otra.<br />
<br />
====Variación de energía interna====<br />
La variación es proporcional a la variación de entalpía<br />
<br />
<center><math>\Delta U_2 = n_2 c_v(T_f-T_2) = \frac{1}{\gamma} n_2 c_p(T_f-T_2)=\frac{\Delta H_2}{\gamma}=-73.5\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
====Trabajo====<br />
La cámara 1 está a presión constante por lo que podríamos calcular el trabajo como<br />
<br />
<center><math>W_2 = -p_2(V_f-V_2)\,</math></center><br />
<br />
hallando previamente el volumen final, pero no nos hace falta porque disponemos de funciones de estado<br />
<br />
<center><math>W_2=\Delta U_2 -Q_2=\Delta U_2-\Delta H_2=+29.4\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
===Sistema completo===<br />
Para cada una de las magnitudes sumamos los resultados de los dos apartados anteriores:<br />
<br />
;Variación de energía interna:<br />
<br />
<center><math>\Delta U=\Delta U_1+\Delta U_2=+29.4\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
;Variación de entalpía:<br />
<br />
<center><math>\Delta H=\Delta H_1+\Delta H_2=+41.2,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
;Calor:<br />
<br />
<center><math>Q=Q_1+Q_2=0.0\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
;Trabajo:<br />
<br />
<center><math>W=W_1+W_2= +29.4\,\mathrm{J}</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Calor_y_trabajo_en_un_proceso_linealCalor y trabajo en un proceso lineal2024-02-25T20:36:58Z<p>Antonio: /* Trabajo */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Considere el caso del problema &ldquo;[[Compresión lineal de un gas]]&rdquo;, en el que se comprime cuasiestáticamente un gas ideal diatómico que inicialmente se encuentra a presión <math>p_A=100\,\mathrm{kPa}</math>, temperatura <math>T_A=300\,\mathrm{K}</math> y ocupa un volumen <math>V_A=0.01\,\mathrm{m}^3</math>, según la ley <br />
<center><math>p=3p_A-\frac{2p_A}{V_A} V</math></center><br />
La compresión continúa hasta que la presión vale <math>p_B = 2p_A</math>.<br />
# Calcule el trabajo neto realizado sobre el gas, la variación de su energía interna y el calor que entra en el gas durante el proceso.<br />
# Separando el proceso en dos: uno hasta que alcanza la temperatura máxima y otro de ahí hasta el final, halle W, ΔU y Q en cada uno de los dos subprocesos.<br />
==Proceso completo==<br />
===Trabajo===<br />
El proceso puede escribirse en forma numérica como <br />
<br />
<center><math>p = 300 - 20 V\,</math></center><br />
<br />
con el volumen en L y la presión en kPa. El estado inicial cumple<br />
<br />
<center><math>p_A=100\,\mathrm{kPa}\qquad V_A=10\,\mathrm{L}\qquad T_A=300\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
y el final, tal como se ve en el problema citado<br />
<br />
<center><math>p_B=200\,\mathrm{kPa}\qquad V_B=5\,\mathrm{L}\qquad T_B=300\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
El proceso se describe mediante un segmento rectilíneo. El área bajo este segmento es el trabajo realizado, que será positivo por tratarse de una compresión. Podemos hallar este trabajo integrando<br />
<br />
<center><math>W=-\int_A^B p\,\mathrm{d}V = -\int_{10}^5 (300-20V)\mathrm{d}V = -\left.\left(300V - 10 V^2\right)\right|_{10}^5= 750\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
o directamente empleando el área de un trapecio<br />
<br />
<center><math>W=\frac{p_A+p_B}{2}(V_A-V_B)=\frac{200+100}{2}(10-5)\,\mathrm{J}=750\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
<center>[[Archivo:calentamiento-lineal.png|600px]]</center><br />
<br />
===Energía interna===<br />
La energía interna de un gas ideal depende solo de la temperatura. En este caso, la temperatura final en es la misma que la inicial, por lo que<br />
<br />
<center><math>\Delta U = nc_v(T_B-T_A)=0\,</math></center><br />
===Calor===<br />
Obtenemos el calor intercambiado empleando el primer principio de la termodinámica<br />
<br />
<center><math>Q=\Delta U - W = -750\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
==División en dos tramos==<br />
Tal como se ve en el problema citado, la temperatura aumenta hasta un máximo y luego vuelve a disminuir. El máximo se alcanza cuando <math>V_C=7.5\,\mathrm{L}</math>. Para este punto<br />
<br />
<center><math>p_C=150\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_C=337.5\,\mathrm{K}</math></center><br />
Dividimos entonces el proceso en dos.<br />
===Primer tramo===<br />
Entre A y C el trabajo corresponde de nuevo al área de un trapecio:<br />
<br />
<center><math>W=(pA+pC)/2(VA-VC) = \frac{100+150}{2}(10-7.5)\,\mathrm{J}= 312.5\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
La variación de energía ahora no es nula, pues la temperatura aumenta. Podemos hallar el cambio a partir de las presiones y volúmenes<br />
<br />
<center><math>\Delta U= nc_v(T_C-T_A)= \frac{p_CV_C-p_AV_A}{\gamma-1}=\frac{150\cdot 7.5-100\cdot 10}{0.4}=312.5\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
lo que implica que en este tramo<br />
<br />
<center><math>Q=\Delta U - W = 312.5\,\mathrm{J}-312.5\,\mathrm{J}=0\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Vemos que aunque la temperatura se eleva, el cambio se debe a la entrada de trabajo, no de calor.<br />
<br />
===Segundo tramo===<br />
Calculamos el trabajo de la misma manera<br />
<br />
<center><math>W=(pA+pC)/2(VA-VC) = \frac{150+200}{2}(7.5-5.0)\,\mathrm{J}= 437.5\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
y la variación de la energía es ahora<br />
<br />
<center><math>\Delta U= nc_v(T_B-T_C)= \frac{p_BV_B-p_CV_C}{\gamma-1}=\frac{200\cdot 5.0-150\cdot 7.5}{0.4}=-312.5\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
En este tramo se pierde toda la energía ganada en el tramo anterior.<br />
<br />
El calor es ahora<br />
<br />
<center><math>Q=\Delta U - W = -312.5\,\mathrm{J}-437.5\,\mathrm{J}=-750\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Todo el calor se expulsa en este segundo tramo.<br />
<br />
Podíamos haber calculado estos valores simplemente restando los del primer tramo de los del proceso completo.</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Calentamiento_de_agua_con_una_resistenciaCalentamiento de agua con una resistencia2024-02-25T16:30:18Z<p>Antonio: /* Tiempo necesario */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
En una cámara con un émbolo móvil se coloca 500&thinsp;cm&sup3; de agua a 300&thinsp;K. El exterior se encuentra a una presión de 100&thinsp;kPa. Se le comunica lentamente calor al agua hasta que se evapora por completo.<br />
<br />
# Calcule el calor necesario para que se realice este proceso. <br />
# Halle el trabajo que se realiza sobre el agua. <br />
# Calcule la variación en la entalpía y en la energía interna del agua. <br />
# Suponga que el calentamiento se produce mediante una resistencia eléctrica a una tensión de 220&thinsp;V por la que pasa una corriente de 2&thinsp;A. ¿Cuánto tiempo tarda en realizarse el proceso? En este caso, la energía entra en el sistema en forma de calor o de trabajo?<br />
<br />
==Calor==<br />
Al ser el émbolo móvil, todos los procesos son a presión exterior constante. Suponiendo que ocurre cuasiestáticamente, esta presión será también la interior.<br />
<br />
Para vaporizar el agua primero hay que llevarla a 100&deg;C, lo que requiere una cantidad de calor<br />
<br />
<center><math>Q_1 = 0.500\,\mathrm{kg}\cdot4.18\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}\times 73\,\mathrm{K} = 153\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
A continuación hay que comunicarle el calor necesario para evaporar el agua<br />
<br />
<center><math>Q_2 = m\,\Delta h_v = 0.500\,\mathrm{kg}\times 2257\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} = 1128\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
El calor total necesario será la suma de estos dos<br />
<br />
<center><math>Q = Q_1+Q_2 = 1281\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
==Trabajo==<br />
El sistema realiza trabajo ya que se produce un incremento de volumen, pues el vapor ocupa mucho más espacio que el agua líquida.<br />
<br />
Inicialmente el sistema ocupa<br />
<br />
<center><math>V_1 = 500\,\mathrm{cm}^3 = 5.0\times 10^{-4}\mathrm{m}^3</math></center><br />
<br />
y tras la evaporación, suponiendo que se comporta como un gas ideal<br />
<br />
<center><math>V_2 = \frac{n R T}{p}=\frac{m R T}{P_m p}</math></center><br />
<br />
Sustituyendo los valores numéricos<br />
<br />
<center><math>V_2 = \frac{0.50\times 8.314\times 373}{0.018\times 10^5}\,\mathrm{m}^3 = 0.861\,\mathrm{m}^3</math></center><br />
<br />
Vemos que volumen se multiplica por 1700, y para ocupar todo ese espacio con vapor, es necesario desalojar la cantidad correspondiente de aire, venciendo a la presión externa.<br />
<br />
El trabajo realizado sobre el gas (de signo contrario al realizado por el gas) es igual a la presión (constante) multiplicada por el incremento de volumen<br />
<br />
<center><math>W=-p\,\Delta V = -10^5(0.861-0.0005)\,\mathrm{J} = -86.1\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
Vemos que el volumen inicial es absolutamente despreciable comparado con el final.<br />
<br />
==Entalpía y energía==<br />
En un proceso a presión constante, el calor que entra en el sistema es igual al incremento de entalpía, por lo que<br />
<br />
<center><math>\Delta H = Q = 1281\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
mientras que el aumento de la energía interna lo hallamos sumando el calor y el trabajo<br />
<br />
<center><math>\Delta U = Q + W = 1281\,\mathrm{kJ}-86.1\,\mathrm{kJ} = 1195\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
Debido a que parte del calor se emplea en realizar trabajo, el incremento de energía interna no es el máximo posible.<br />
<br />
==Tiempo necesario==<br />
Cuando tenemos una resistencia eléctrica, esta realiza un trabajo en un tiempo <math>\mathrm{d}t</math><br />
<br />
<center><math>\delta W_e = \mathcal{I}\ \Delta \mathcal{V}\,\mathrm{d}t</math></center><br />
<br />
donde aquí <math>\Delta \mathcal{V}</math> es el voltaje o diferencia de potencial eléctrico entre los extremos de la resistencia. Este trabajo eléctrico se transmite al gas en forma de calor, con lo que en el émbolo entra un calor<br />
<br />
<center><math>\Delta Q = \mathcal{I}\,\Delta \mathcal{V}\,\mathrm{d}t</math></center><br />
<br />
Si la tensión y el voltaje son constantes, el calor que entra en un tiempo <math>t</math> es simplemente<br />
<br />
<center><math>Q = \mathcal{I}\,\Delta \mathcal{V}\, t</math></center><br />
<br />
con lo cual el tiempo necesario para que entre una cantidad de calor dada se halla simplemente despejando<br />
<br />
<center><math>t = \frac{Q}{\mathcal{I}\,\Delta \mathcal{V}}</math></center><br />
<br />
En nuestro caso particular<br />
<br />
<center><math>t = \frac{1281\,\mathrm{kJ}}{2\,\mathrm{A}\times 220\,\mathrm{V}}= 2900\,\mathrm{s}\simeq 48\,\mathrm{min}</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Mezcla_de_vapor_de_agua_y_hieloMezcla de vapor de agua y hielo2024-02-24T22:28:03Z<p>Antonio: /* Solución */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
En un recipiente con paredes adiabáticas y un émbolo móvil de forma que la presión es constante e igual a 101.3&thinsp;kPa, se ponen en contacto 1.0&thinsp;m&sup3; de vapor de agua a 115&thinsp;&deg;C con 500&thinsp;g de hielo a &minus;10&thinsp;&deg;C. Determine la temperatura final del sistema.<br />
<br />
'''Dato:''' La constante específica de los gases ideales para el vapor de agua vale <math>R_m = 461.5\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}</math><br />
<br />
==Solución==<br />
Al poner en contacto las dos fases se producirá un flujo de calor desde el vapor al hielo. Uno se irá enfriando a medida que el otro se calienta, quedando el sistema en un estado final en que ambos subsistemas tienen la misma temperatura.<br />
<br />
Suponemos de entrada que el estado final será un punto intermedio en el que las dos fases se encuentran en el estado de agua líquida.<br />
<br />
Para convertir el hielo en agua a una temperatura <math>T</math> es necesario proporcionar un calor<br />
<br />
<center><math>Q_1 = m_hc_h(T_f-T_h) + m_h \,\Delta h_f + m_h c_a(T-T_f)</math></center><br />
<br />
donde:<br />
<br />
* el primer término, <math>m_hc_h(T_f-T_h)</math>, representa el calor necesario para llevar el hielo desde su temperatura inicial, <math>T_h</math> a la temperatura de fusión <math>T_f</math>-<br />
* el segundo término, <math>m_h \,\Delta h_f</math>, es el calor preciso para fundir el hielo<br />
* el tercer término, <math>m_h c_a(T-T_f)</math>, es el calor que hace falta para elevar la temperatura del agua desde el punto de fusión hasta la temperatura final.<br />
<br />
De la misma manera, para el enfriamiento del vapor escribimos<br />
<br />
<center><math>Q_2 = m_v c_{va}(T_b-T_v)-m_v\,\Delta h_b+m_v c_a(T-T_b)</math></center><br />
<br />
siendo <math>T_b</math> la temperatura de ebullición del agua. Los valores numéricos que usaremos para las constantes son, para los calores específicos<br />
<br />
<center><math>c_h = 2.11\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{kg}}\qquad\qquad c_a = 4.18\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{kg}}\qquad\qquad c_{va} = 2.09\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{kg}}</math></center><br />
<br />
y para las entalpías de cambio de fase<br />
<br />
<center><math>\Delta h_f = 334\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}\qquad\qquad \Delta h_b = 2257\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}</math></center><br />
<br />
Las temperaturas que aparecen en las fórmulas anteriores valen<br />
<br />
<center><math>T_h = -10\,^\circ\mathrm{C} = 263\,\mathrm{K}\qquad\qquad T_f = 373\,\mathrm{K}\qquad\qquad T_b = 373\,\mathrm{K}\qquad\qquad T_v = 115\,^\circ\mathrm{C}=388\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
La masa de vapor de agua la calculamos a partir de su presión, volumen y temperatura, empleando la expresión específica de la ley de los gases ideales para el vapor de agua<br />
<br />
<center><math>pV =mR_mT_v \qquad\Rightarrow\qquad m_v =\frac{pV}{R_mT_v}</math></center><br />
<br />
Esto nos da la masa<br />
<br />
<center><math>m_v = \frac{101300\times 1.0}{461.5\times 388}\,\mathrm{g}=566\,\mathrm{g} = 0.566\,\mathrm{kg}</math></center><br />
<br />
Con estos datos obtenemos los siguientes calores:<br />
<br />
;Calentamiento del hielo:<br />
<br />
<center><math>Q_{1a} = m_hc_h(T_f-T_h) =0.5\times 2.11\times(273-263)\,\mathrm{kJ}= 10.6\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
;Fusión del hielo:<br />
<br />
<center><math>Q_{1b} = m_h\,\Delta h_f = 0.5\times 334\,\mathrm{kJ} = 167\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
;Calentamiento del agua fría: Estando la temperatura expresada en kelvins<br />
<br />
<center><math>Q_{1c} = m_h\,c_a(T-T_f) = 0.5\times 4.18\times(T-273)\,\mathrm{kJ} = 2.09(T-273)\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
;Enfriamiento del vapor:<br />
<br />
<center><math>Q_{2a} = m_v c_{va}(T_b-T_v) = 0.566\times 2.09\times(373-388)\,\mathrm{kJ}=-17.7\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
;Licuación del vapor:<br />
<br />
<center><math>Q_{2b} = -m_v\,\Delta h_b = -0.566\times 2257\,\mathrm{kJ} = -1276\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
;Enfriamiento del agua caliente: <br />
<br />
<center><math>Q_{2c} = m_v\,c_a(T-T_b) = 0.566\times 4.18\times(T-373)\,\mathrm{kJ} = 2.36(T-373)\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
Llevando todo esto a la ecuación<br />
<br />
<center><math>Q_1 + Q_2 =0\,</math></center><br />
<br />
nos queda la ecuación para la temperatura<br />
<br />
<center><math>10.6+167+2.09(T-273)-17.7-1276+2.36(T-373)=0\qquad\Rightarrow\qquad T = 577\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
pero este resultado es '''absurdo'''. No es posible que la temperatura final del sistema sea mayor que las dos de partida (mucho mayor en este caso) y además incompatible con la hipótesis de que el estado final es agua (que debe estar entre 273 y 373 kelvin).<br />
<br />
No es posible, por tanto, que el estado final sea todo agua a una temperatura intermedia.<br />
<br />
Lo que ocurre realmente es que, puesto que la entalpía de ebullición del agua es muy elevada, solo con licuar una parte del vapor ya es suficiente para llevar el hielo al estado de agua a 100&deg;C. Una vez ahí, ya se ha alcanzado el equilibrio térmico entre agua a 100&deg;C y vapor de agua a la misma temperatura.<br />
<br />
La incógnita entonces es saber cuánta masa de vapor se licúa. El cálculo es ahora<br />
<br />
;Calentamiento del hielo:<br />
<br />
<center><math>Q_{1a} = m_hc_h(T_f-T_h) =0.5\times2.11\times(273-263)\,\mathrm{kJ}= 10.6\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
;Fusión del hielo:<br />
<br />
<center><math>Q_{1b} = m_h\,\Delta h_f = 0.5\times 334\,\mathrm{kJ} = 167\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
;Calentamiento del agua fría hasta los 100&deg;C: <br />
<br />
<center><math>Q_{1c} = m_h\,c_a(T_b-T_f) = 0.5\times 4.18\times(373-273)\,\mathrm{kJ} = 209\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
;Enfriamiento del vapor:<br />
<br />
<center><math>Q_{2a} = m_v c_{va}(T_b-T_v) = 0.566\times 2.09\times(373-388)\,\mathrm{kJ}=-17.7\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
;Licuación parcial del vapor:<br />
<br />
<center><math>Q_{2b} = -m\,\Delta h_b = -2257m\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
y nos queda ahora la ecuación<br />
<br />
<center><math>10.6+167+209-17.7-2257m=0\qquad\Rightarrow\qquad m = 0.163\,\mathrm{kg} = 163\,\mathrm{g}</math></center><br />
<br />
es decir, de los 566 gramos de vapor solo se licúan 163. El resto permanece en estado de vapor. En el estado final tenemos un equilibrio térmico a 100&deg;C en el que hay 663&thinsp;g en forma de agua y 403 en forma de vapor.</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Mezcla_de_agua_y_hieloMezcla de agua y hielo2024-02-24T21:53:24Z<p>Antonio: Página creada con «==Enunciado== Dentro de un recipiente adiabático se sumerge un bloque de 100&thinsp;g de hielo a 0.0&thinsp;&deg;C en 1.0 litros de agua a 20&thinsp;&deg;C. Determine si se funde todo el hielo y la temperatura final del sistema. ¿Qué ocurre si en lugar de 100&thinsp;g se tiene 1.0&thinsp;kg de hielo? ==100&thinsp;g de hielo== Cuando mezclamos dos fases de una misma sustancia a diferentes temperaturas, se produce un flujo de calor desde la de mayor a la de menor te…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Dentro de un recipiente adiabático se sumerge un bloque de 100&thinsp;g de hielo a 0.0&thinsp;&deg;C en 1.0 litros de agua a 20&thinsp;&deg;C. Determine si se funde todo el hielo y la temperatura final del sistema. ¿Qué ocurre si en lugar de 100&thinsp;g se tiene 1.0&thinsp;kg de hielo?<br />
<br />
==100&thinsp;g de hielo==<br />
Cuando mezclamos dos fases de una misma sustancia a diferentes temperaturas, se produce un flujo de calor desde la de mayor a la de menor temperatura. Este calor, sin embargo, no se traduce necesariamente en un incremento de temperatura, ya que una parte o todo puede emplearse en un cambio de fase.<br />
<br />
Para hallar la solución de esta clase de problemas, a menudo es necesario hacer hipótesis sobre cuál será el estado final del sistema que deben ser revisadas posteriormente.<br />
<br />
Puesto que el sistema está aislado del exterior, todo el calor es interno, por lo que se cumple la igualdad<br />
<br />
<center><math>Q_1 + Q_2 =0\,</math></center><br />
<br />
donde llamamos &ldquo;1&rdquo; al agua templada y &ldquo;2&rdquo; al hielo.<br />
<br />
Si la temperatura final del agua es <math>T</math>, el calor que entra en ella (que será negativo, porque en realidad sale) es proporcional a la variación en su temperatura<br />
<br />
<center><math>Q_1 = m_1c(T-T_1)\,</math></center><br />
<br />
La cantidad máxima de calor que podría pasar del agua 2 al hielo (o agua, posteriormente) 1, lo da el que la temperatura final del agua llegue hasta la del hielo, por debajo de eso nunca podría estar, ya que la temperatura de equilibrio debe ser una intermedia entre las iniciales de las dos partes.<br />
<br />
<center><math>Q_{1\mathrm{max}}= 1.0\,\mathrm{kg}\left(4.184\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}\right)(273-293)\mathrm{K} = -83.7\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
Para el hielo, suponemos que el calor que sale del agua es suficiente para fundirlo por completo y posteriormente incrementar algo su temperatura. Esto es razonable, pues para derretir el hielo necesitamos una cantidad de calor<br />
<br />
<center><math>Q_{2f}= m_2\,\Delta h_f = (0.1\,\mathrm{kg})\left(334\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}\right) = 33.4\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
por lo que tenemos de sobra con lo que podemos sacar del agua. En ese caso, el calor total que entra en el hielo será la suma del de fusión más el necesario para elevarlo desde <math>T_2 = 273\,\mathrm{K}</math> hasta la temperatura final<br />
<br />
<center><math>Q_2 = m_2\,\Delta h_f + m_2c(T-T_2)</math></center><br />
<br />
Sumando los dos términos e igualando a cero<br />
<br />
<center><math>m_1c(T-T_1)+m_2\,\Delta h_f + m_2c(T-T_2) = 0</math></center><br />
<br />
lo que nos da la temperatura final<br />
<br />
<center><math>T = \frac{m_1 T_1+m_2T_2}{m_1+m_2}-\frac{m_2\,\Delta h_f}{(m_1+m_2)c} = \left(\frac{1.0\cdot 293+0.1\cdot 273}{1.0+0.1}-\frac{0.1\cdot 334}{(1.0+0.1)\cdot 4.18}\right)\mathrm{K} = 284\,\mathrm{K} = 11\,^\circ\mathrm{C}</math></center><br />
<br />
Gráficamente tendríamos una situación como la siguiente:<br />
<br />
<center>[[Archivo:mezcla-agua-hielo-03.png|429px]]</center><br />
<br />
Por un lado tenemos agua que se va enfriando gradualmente desde su temperatura inicial, y por otro inicialmente solo hielo, luego una mezcla saturada de hielo y agua y finalmente, una vez que se ha fundido todo, agua fría que se va calentando.<br />
<br />
==Un kilogramo de hielo==<br />
En el segundo caso podríamos aplicar, en principio, la misma fórmula, cambiando solo la masa de hielo<br />
<br />
<center><math>T_f = \frac{m_1 T_1+m_2T_2}{m_1+m_2}-\frac{m_2\,\Delta h_f}{(m_1+m_2)c} = \left(\frac{1.0\cdot 293+1.0\cdot 273}{1.0+1.0}-\frac{1.0\cdot 334}{(1.0+1.0)\cdot 4.18}\right)\mathrm{K} = 243\,\mathrm{K} = -30\,^\circ\mathrm{C}</math></center><br />
<br />
Sin embargo, este resultado es absurdo. No es posible que partiendo de hielo a 0&deg;C y agua a 20&deg;C terminemos con una mezcla a una temperatura inferior a las dos de partida.<br />
<br />
El fallo está en suponer que el calor procedente del agua es suficiente para fundir todo el hielo. Como antes, el máximo que podemos sacar del agua antes de que empiece a congelarse es 83.7&thinsp;kJ, pero ahora se precisan 334&thinsp;kJ para derretir todo el hielo (pues tenemos 1.0&thinsp;kg). <br />
<br />
Lo que ocurre entonces es que con el calor procedente del agua se funde solo una parte del hielo. Una vez que llega a 0&deg;C el agua alcanza el equilibrio térmico con el hielo y el proceso se detiene. La temperatura final de la mezcla será 0&deg;C. La incógnita es saber cuánto hielo se derrite. <br />
<br />
La ecuación para el calor queda en este caso<br />
<br />
<center><math>m_1c(T_f-T_1) + m\,\Delta h_f = 0</math></center><br />
<br />
que nos da la masa de hielo que se funde<br />
<br />
<center><math>m = -\frac{m_1c(T_f-T_1)}{\Delta h_f} = \frac{83.7\,\mathrm{kJ}}{334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}} = 0.251\,\mathrm{kg}</math></center><br />
<br />
En el estado final tendremos por tanto 749&thinsp;g de hielo y 1251&thinsp;g de agua, ambos a 0&deg;C.<br />
<br />
La representación gráfica de este proceso sería la siguiente. Por un lado está el agua que se va enfriando y por otro el hielo. La diferencia es que al haber mucho más hielo, se necesita mucho más calor para fundirlo. Por ello, el punto de corte de la recta del agua que cede calor y del hielo que lo absorbe se corta (se alcanza el equilibrio), cuando aun queda hielo. Una vez igualadas las temperaturas cesa el flujo de calor y se detiene el proceso.<br />
<br />
<center>[[Archivo:mezcla-agua-hielo-04.png|635px]]</center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Trabajo_en_fusi%C3%B3n_de_hieloTrabajo en fusión de hielo2024-02-24T21:37:25Z<p>Antonio: Página creada con «==Enunciado== Tenemos 1&thinsp;kg de hielo (densidad de masa 917&thinsp;kg/m&sup3;) a 0&thinsp;&deg;C, al cual se le cede lentamente calor a una presión de 101.3&thinsp;kPa hasta que convierte por completo en agua (densidad de masa 1000&thinsp;kg/m&sup3;). ¿Qué trabajo se realiza sobre el sistema? ==Solución== De entrada puede parecer extraño que haya un trabajo en este proceso pues parece que al derretirse el hielo por calentamiento, nadie está haciendo fuerza…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Tenemos 1&thinsp;kg de hielo (densidad de masa 917&thinsp;kg/m&sup3;) a 0&thinsp;&deg;C, al cual se le cede lentamente calor a una presión de 101.3&thinsp;kPa hasta que convierte por completo en agua (densidad de masa 1000&thinsp;kg/m&sup3;). ¿Qué trabajo se realiza sobre el sistema?<br />
==Solución==<br />
De entrada puede parecer extraño que haya un trabajo en este proceso pues parece que al derretirse el hielo por calentamiento, nadie está haciendo fuerza sobre él, ni se está moviendo.<br />
<br />
Pero no es así. Desde el mismo momento en que cambia el volumen, habiendo una presión externa, se está realizando trabajo. ¿Quién lo hace? El aire que rodea el hielo. Esa atmósfera de presión ejerce una fuerza sobre el hielo y lo comprime al pasar a la forma de agua. Si no estuviera el aire exterior, las moléculas de agua se desperdigarían y no formarían agua líquida.<br />
<br />
El trabajo realizado a presión externa constante vale<br />
<br />
<center><math>W = -p_\mathrm{ext}\,\Delta V = -p_\mathrm{ext}(V_2-V_1)</math></center><br />
<br />
Los volúmenes inicial y final los obtenemos de que conocemos la masa y la densidad. Para el hielo<br />
<br />
<center><math>V_1 = \frac{m}{\rho_\mathrm{hielo}}=\frac{1\,\mathrm{kg}}{917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3}=1.091\times 10^{-3}\,\mathrm{m}^3</math></center><br />
<br />
y para el agua<br />
<br />
<center><math>V_1 = \frac{m}{\rho_\mathrm{hielo}}=\frac{1\,\mathrm{kg}}{1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3}=1.000\times 10^{-3}\,\mathrm{m}^3</math></center><br />
<br />
de forma que la variación del volumen es<br />
<br />
<center><math>V_2 -V_1 = (1.000-1.091)\times 10^{3}\mathrm{m}^3 = -9.1\times 10^{-5}\,\mathrm{m}^3 = -91\,\mathrm{cm}^3</math></center><br />
<br />
Al fundirse el hielo, el volumen ocupado se reduce casi en un 10%.<br />
<br />
El trabajo realizado vale<br />
<br />
<center><math>W = -(1.013\times 10^5\mathrm{Pa})\times(-9.1\times 10^{-5}\mathrm{m}^3) = +9.2\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
El trabajo es positivo ya que el aire exterior comprime al sistema.</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Mezcla_de_dos_cantidades_de_agua_(4)Mezcla de dos cantidades de agua (4)2024-02-22T20:33:10Z<p>Antonio: </p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Se pone en contacto 1kg de agua a 80 ℃ con una masa m de agua a 20 ℃. ¿Cuál es la temperatura final de la mezcla, en función de m? ¿Cuánto calor entra en la masa m? ¿A qué tienden los resultados si m→∞?<br />
<br />
==Solución==<br />
Este problema es una generalización del problema &ldquo;[[Mezcla de dos cantidades de agua]]&rdquo;. Tenemos dos masas de agua que se ponen en contacto. La temperatura final de equilibrio es<br />
<br />
<center><math>T_f = \frac{C_1 T_1+ C_2 T_2}{C_1+C_2}</math></center><br />
<br />
siendo las capacidades caloríficas proporcionales a la masa de cada parte<br />
<br />
<center><math>T_f = \frac{m_1cT_1+m_2c T_2}{m_1c + m_2c}=\frac{m_1 T_1 + m T_2}{m_1+m}</math></center><br />
<br />
Sustituimos los valores numéricos. Podemos escribir la temperatura en grados celsius y la masa en kilogramos. En este caso queda<br />
<br />
<center><math>T_f = \frac{80+20m}{1+m}</math></center><br />
<br />
Esta función va de 80 ℃ (para <math>m = 0</math>) a 20 ℃ (para <math>m\to\infty</math>). Cuando mayor es la masa del agua fría menos se ve afectada por el añadido de agua caliente. Para una masa de 10&thinsp;kg la temperatura final es de 25.45 ℃, para <math>m = 100\,\mathrm{kg}</math> es 20.59 ℃ y para <math>m = 1000\,\mathrm{kg}</math> es de 20.06 ℃. Esto quiere decir que si vertemos un litro de agua caliente en un metro cúbico de agua fría (mil veces más masa), la temperatura del agua fría casi no cambia y se puede considerar un baño térmico.<br />
<br />
Esto se ve claramente en una gráfica con una escala logarítmica, que permite representar varios órdenes de magnitud.<br />
<br />
<center>[[Archivo:masa-bano-termico.png|600px]]</center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Mezcla_de_dos_cantidades_de_agua_(3)Mezcla de dos cantidades de agua (3)2024-02-22T18:37:46Z<p>Antonio: Página creada con «==Enunciado== ¿Cómo cambian los resultados del problema &ldquo;Mezcla de dos cantidades de agua&rdquo; si las paredes son diatermas? ==Solución== En el caso de paredes diatermas, el sistema alcanza finalmente el estado de equilibrio térmico con el ambiente, por lo que la temperatura final de cada parte de agua es la misma que la exterior <center><math>T_{1f}=T_{2f}=T_\mathrm{ext}=50\circ C=323\,K</math></center> La cantidad de calor que entra en en el agua c…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
¿Cómo cambian los resultados del problema &ldquo;[[Mezcla de dos cantidades de agua]]&rdquo; si las paredes son diatermas?<br />
==Solución==<br />
En el caso de paredes diatermas, el sistema alcanza finalmente el estado de equilibrio térmico con el ambiente, por lo que la temperatura final de cada parte de agua es la misma que la exterior<br />
<br />
<center><math>T_{1f}=T_{2f}=T_\mathrm{ext}=50\circ C=323\,K</math></center><br />
<br />
La cantidad de calor que entra en en el agua caliente es<br />
<br />
<center><math>Q_1 = mc(T_{1f}-T_{1i})= (0.250\,\mathrm{kg})\times \left(4.184\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}\right)\times(-30\,\mathrm{K})=-31.3\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
Es negativo porque en realidad sale. Para el agua fría<br />
<br />
<center><math>Q_1 = mc(T_{1f}-T_{1i})= (0.750\,\mathrm{kg})\times \left(4.184\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}\right)\times(+30\,\mathrm{K})=+94.1\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
La cantidad neta de calor que entra en el sistema en este caso no es nula<br />
<br />
<center><math>Q=Q_1+Q_2=62.7\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
En este caso la gráfica seria la correspondiente a que haya presente un foco térmico, cuya temperatura es constante<br />
<br />
<center>[[Archivo:Capacidad-calorifica-03.png]]</center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Mezcla_de_dos_cantidades_de_agua_(2)Mezcla de dos cantidades de agua (2)2024-02-22T07:59:47Z<p>Antonio: /* Solución */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
¿Cómo cambian los resultados del problema &ldquo;[[Mezcla de dos cantidades de agua]]&rdquo; si las paredes son diatermas?<br />
<br />
==Solución==<br />
En el caso de paredes diatermas el sistema alcanza finalmente el estado de equilibrio térmico con el ambiente, por lo que la temperatura final de cada parte de agua es la misma que la exterior<br />
<br />
<center><math>T_{1f}=T_{2f}=T_\mathrm{ext}=50^\circ C=323\,K</math></center><br />
<br />
La cantidad de calor que entra en en el agua caliente es<br />
<br />
<center><math>Q_1 = mc(T_{1f}-T_{1i})= (0.250\,\mathrm{kg})\times \left(4.184\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}\right)\times(-30\,\mathrm{K})=-31.3\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
Es negativo porque en realidad sale. Para el agua fría<br />
<br />
<center><math>Q_1 = mc(T_{1f}-T_{1i})= (0.750\,\mathrm{kg})\times \left(4.184\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}\right)\times(+30\,\mathrm{K})=+94.1\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
La cantidad neta de calor que entra en el sistema en este caso no es nula<br />
<br />
<center><math>Q=Q_1+Q_2=62.7\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
En este caso la gráfica seria la correspondiente a que haya presente un foco térmico, cuya temperatura es constante<br />
<br />
<center>[[Archivo:Capacidad-calorifica-03.png]]</center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Mezcla_de_dos_cantidades_de_aguaMezcla de dos cantidades de agua2024-02-21T18:50:12Z<p>Antonio: /* Solución */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
En un recipiente adiabático se ponen en contacto 750&thinsp;cm&sup3; de agua a 20&#8451; con 250&thinsp;cm&sup3; de agua a 80&#8451;, siendo la temperatura exterior de 50&deg;C. ¿Cuál es la temperatura final de la mezcla? ¿Cuánto calor entra en cada subsistema?<br />
==Solución==<br />
El recipiente está aislado térmicamente del exterior, por lo que la temperatura del ambiente es irrelevante. Tenemos un sistema aislado formado por las dos masas de agua. El único calor fluye de una parte del agua a la otra, pero no con el exterior. Si llamamos &ldquo;1&rdquo; al agua caliente originalmente y &ldquo;2&rdquo; a la fría, os queda la relación<br />
<br />
<center><math>Q_1 + Q_2=0\,</math></center><br />
<br />
o, dicho de otra forma<br />
<br />
<center><math>Q_2 = -Q_1\,</math></center><br />
<br />
el calor que entra en el agua fría es igual al que sale de la caliente. Podemos escribir esto como<br />
<br />
<center><math>Q_{\mathrm{in}2}=Q_2\qquad Q_{\mathrm{out}1} = -Q_1\qquad\qquad Q_{\mathrm{out}1}=Q_{\mathrm{in}2}</math></center><br />
<br />
Por otro lado, el calor que entra en el agua fría es proporcional a la diferencia de temperaturas entre la final y la inicial<br />
<br />
<center><math>Q_2 = m_2c(T_f-T_2)\,</math></center><br />
<br />
y el calor que entra en el agua caliente (que tendrá un valor negativo, porque en realidad sale) cumple la misma ley<br />
<br />
<center><math>Q_1 = m_1c(T_f-T_1)\,</math></center><br />
<br />
El calor específico del agua, <math>c</math>, depende poco de la temperatura, por lo que podemos suponer el mismo valor para las dos masas de agua.<br />
<br />
Llevando esto al calor neto<br />
<br />
<center><math>m_1c(T_f-T_1)+m_2c(T_f-T_2)=0\,</math></center><br />
<br />
y despejando obtenemos la temperatura final<br />
<br />
<center><math>T_f = \frac{m_1T_1+m_2T_2}{m_1+m_2}</math></center><br />
<br />
Puesto que a este resultado se llega a partir de diferencias entre temperaturas es válido tanto para temperaturas expresadas en grados Celsius como en kelvins. <br />
<br />
Para sustituir los valores numéricos observamos que se nos dan los volúmenes, no las masas. Sin embargo, puede suponerse que dentro del rango de temperaturas la densidad del agua permanece constante, por lo que<br />
<br />
<center><math>T_f = \frac{\rho V_1 T_1+\rho V_2 T_2}{\rho V_1+\rho V_2} = \frac{V_1T_1+V_2 T_2}{V_1+V_2}</math></center><br />
<br />
es decir, también se trata de la media ponderada respecto a los volúmenes. 3/4 l de agua cuentan el triple que 1/4 l. Sustituyendo los valores numéricos en grados Celsius<br />
<br />
<center><math>t_f= \frac{750\times 20 + 250\times 80}{750+250}\,^\circ\mathrm{C}= 35\,^\circ\mathrm{C}</math></center><br />
<br />
La cantidad de calor que va del agua caliente a la fría es<br />
<br />
<center><math>Q_2 = m_2c(T_f-T_2) = (0.750\,\mathrm{kg})\times \left(4.184\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}\right)\times(15\,\mathrm{K}) = 47.1\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
Al mismo resultado se llega, por supuesto, si en lugar del calor que entra en el medio 2, hallamos el que sale del medio 1<br />
<br />
<center><math>Q_1 = m_1c(T_f-T_1) = (0.250\,\mathrm{kg})\times \left(4.184\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}\right)\times(-45\,\mathrm{K}) = -47.1\,\mathrm{kJ}</math></center><br />
<br />
Gráficamente, tendríamos una representación como la de la figura<br />
<br />
<center>[[Archivo:Capacidad-calorifica-02.png|600px]]</center><br />
<br />
la parte 1, que tiene más masa, posee una mayor capacidad calorífica, por lo que el aumento de temperatura, para una cantidad de calor dada, es menor que el descenso en la temperatura de la parte 2, que por ser más ligera tiene menos capacidad calorífica. La temperatura de equilibrio lo da el corte de las dos rectas y la cantidad de calor intercambiada es la abscisa de la gráfica.</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Sucesi%C3%B3n_de_tres_procesos_cuasiest%C3%A1ticosSucesión de tres procesos cuasiestáticos2024-02-21T16:01:13Z<p>Antonio: /* Representación gráfica */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Un cilindro de 100&thinsp;cm&sup2; de sección contiene aire y está cerrado por un émbolo. Inicialmente el aire tiene una temperatura de 27&thinsp;&deg;C y una presión de 100&thinsp;kPa, que también es la presión exterior, estando el émbolo a 10&thinsp;cm del fondo. Entonces se realiza el siguiente proceso cuasiestático<br />
<br />
:A&rarr;B Se atornilla el émbolo y se calienta el aire hasta 327&thinsp;&deg;C, sumergiéndolo en un baño a esta temperatura. <br />
:B&rarr;C Se libera el émbolo lentamente, dejando que se expanda el aire hasta que su presión vuelve a ser la inicial. En este proceso el aire se mantiene a la temperatura de 327&thinsp;&deg;C. <br />
:C&rarr;A Con el émbolo libre, se enfría gradualmente hasta que la temperatura vuelve a ser la inicial.<br />
<br />
Para este proceso:<br />
<br />
# Halle la presión, volumen y temperatura al final de cada fase del proceso. <br />
# Calcule el trabajo en cada fase, así como el trabajo neto total. <br />
# Calcule la variación en la energía interna y el calor en cada paso y su variación neta.<br />
<br />
==Presión, volumen y temperatura==<br />
===Estado inicial===<br />
Inicialmente tenemos que la presión y la temperatura valen<br />
<br />
<center><math>p_A=100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_A=(273+27)\mathrm{K}=300\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
mientras que el volumen es el de un cilindro<br />
<br />
<center><math>V_A = S h = (1001\,\mathrm{cm}^2)(10\mathrm{cm}) = 1000\,\mathrm{cm}^3 = 1.00\,\mathrm{L}</math></center><br />
<br />
===Tras el primer paso===<br />
El primer paso ocurre a volumen constante, por estar el pistón atornillado, con lo que el volumen final es el mismo que el inicial<br />
<br />
<center><math>V_B = V_A = 1.00\,\mathrm{L}</math></center><br />
<br />
La temperatura ha aumentado en 300&thinsp;K,<br />
<br />
<center><math>T_B = 600\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
y la presión aumenta en la misma proporción que la temperatura<br />
<br />
<center><math>\frac{p_B}{T_B}=\frac{p_A}{T_A}\qquad\Rightarrow\qquad p_B = \frac{600\,\mathrm{K}}{300\,\mathrm{K}}100\,\mathrm{kPa} = 200\,\mathrm{kPa}</math></center><br />
<br />
===Tras el segundo paso===<br />
En el segundo paso tenemos una expansión isoterma, siendo la temperatura final igual a la que había al final del paso anterior<br />
<br />
<center><math>T_C = T_C = 600\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
mientras que la presión final vuelve a ser la que había al principio<br />
<br />
<center><math>p_C = p_A = 100\,\mathrm{kPa}</math></center><br />
<br />
El volumen final lo podemos obtener particularizando la ley de los gases ideales para temperatura constante, es decir, aplicando la ley de Boyle<br />
<br />
<center><math>p_CV_C=p_BV_B\qquad\Rightarrow\qquad V_C = \frac{200\,\mathrm{kPa}}{100\,\mathrm{kPa}}1.00\,\mathrm{L} = 2.00\,\mathrm{L}</math></center><br />
<br />
===Estado final===<br />
Por último, dejando el émbolo libre, la temperatura vuelve a ser la inicial, manteniéndose constante la presión<br />
<br />
<center><math>p_D = p_C=p_A = 100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_D = T_A = 300\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
La ley de los gases ideales se reduce en este caso a la ley de Charles<br />
<br />
<center><math>\frac{V_D}{T_D}=\frac{V_C}{T_C} \qquad\Rightarrow\qquad V_D = \frac{300\,\mathrm{K}}{600\,\mathrm{K}}2.00\,\mathrm{L} = 1.00\,\mathrm{L}</math></center><br />
<br />
Al ser la presión y la temperatura finales iguales a las de partida también lo es el volumen. El estado D es el mismo que el estado A y el proceso es por tanto un ciclo.<br />
<br />
===Representación gráfica===<br />
[[Archivo:ciclo-tres-pasos.png|500px|center]]<br />
<br />
Gráficamente este proceso se compone de tres tramos:<br />
<br />
* Un calentamiento a volumen constante, que corresponde a una recta vertical.<br />
* Una expansión isoterma, que se representa por un arco de hipérbola.<br />
* Una compresión a presión constante, que en la gráfica queda como una recta horizontal.<br />
<br />
==Trabajo==<br />
Podemos hallar el trabajo sobre el gas en cada paso a partir de la evolución de sus variables de estado, si suponemos que todos los procesos son cuasiestáticos.<br />
<br />
===Calentamiento a volumen constante===<br />
Al permanecer constante el volumen, no se realiza trabajo sobre el gas<br />
<br />
<center><math>W^{A\to B} = 0\,</math></center><br />
<br />
===Expansión isoterma===<br />
Cuando la temperatura permanece constante, podemos calcular el trabajo con ayuda de la ley de Boyle. En cualquier punto del camino<br />
<br />
<center><math>pV = p_BV_B\qquad\Rightarrow\qquad p = \frac{p_BV_B}{V}</math></center><br />
<br />
lo que nos da el trabajo<br />
<br />
<center><math>W^{B\to C}=-\int_B^C p\,\mathrm{d}V = -p_BV_B\int_{V_B}^{V_C}\frac{\mathrm{d}V}{V}=-p_BV_B\ln\left(\frac{V_C}{V_B}\right)</math></center><br />
<br />
En nuestro caso<br />
<br />
<center><math>W^{B\to C} = -(200\,\mathrm{kPa})(1.00\,\mathrm{L})\ln(2) = -139\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
===Compresión isóbara===<br />
En el tercer paso, el volumen se reduce a presión constante, lo que da un trabajo equivalente gráficamente al área de un rectángulo<br />
<br />
<center><math>W^{C\to A} = -\int_C^A p\,\mathrm{d} V = -p_A\int_{V_C}^{V_A} = p_A(V_A-V_C) = 100(2.00 - 1.00)\,\mathrm{J} = +100\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
===Trabajo neto===<br />
El trabajo neto sobre el gas en el ciclo será la suma de los trabajos individuales<br />
<br />
<center><math>W = -\oint p\,\mathrm{d}V = W^{A\to B}+W^{B\to C}+W^{C\to A}=\left(0 -139+100\right)\mathrm{J}= -39\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
El signo del trabajo nos dice que en realidad es el gas el que realiza el trabajo sobre el ambiente.<br />
<br />
==Energía y calor==<br />
La energía interna de un gas ideal depende solamente de su temperatura<br />
<br />
<center><math>U = U_0 + n c_v T\,</math></center><br />
<br />
siendo la capacidad calorífica molar para el aire aproximadamente igual a la de un gas diatómico<br />
<br />
<center><math>c_v =\frac{R}{\gamma-1} = 20.8\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}}</math></center><br />
<br />
con <math>\gamma = 1.4</math>.<br />
<br />
La variación de la energía interna en cualquier proceso es proporcional a la diferencia de temperaturas<br />
<br />
<center><math>\Delta U = nc_v\,\Delta T</math></center><br />
<br />
independientemente de si el proceso es a presión constante, a volumen constante o como sea, por tratarse de una función de estado. También se puede calcular a partir de las presiones y volúmenes como<br />
<br />
<center><math>\Delta U = \frac{p_fV_f-p_iV_i}{\gamma-1}</math></center><br />
<br />
Una vez que calculemos la variación en la energía, podemos hallar el calor que entra en el gas por el primer principio de la termodinámica<br />
<br />
<center><math>Q = \Delta U - W\,</math></center><br />
<br />
===Proceso A&rarr;B===<br />
Al calentarse el gas aumenta su energía interna<br />
<br />
<center><math>\Delta U^{A\to B} = \frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1} = \frac{5}{2}(p_B-p_A)V_A = \frac{5}{2}(200- 100)(1.00)\,\mathrm{J}=+250\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Puesto que en este proceso el trabajo es nulo, este aumento en la energía procede exclusivamente del calor<br />
<br />
<center><math>Q^{A\to B} = \Delta U^{A\to B} - \overbrace{W^{A\to B}}^{=0} = +250\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Este calor se podía haber hallado directamente observando que en un proceso a volumen constante<br />
<br />
<center><math>Q = nc_v\,\Delta T</math></center><br />
<br />
===Proceso B&rarr;C===<br />
En la expansión isoterma la temperatura permanece constante, y por tanto, también lo es la energía interna<br />
<br />
<center><math>\Delta U = nc_v\,\Delta T = 0</math></center><br />
<br />
Esto quiere decir que el trabajo que realiza el gas se obtiene a base de absorber calor<br />
<br />
<center><math>Q^{B\to C} = \overbrace{\Delta U^{B\to C}}^{=0}-W^{B\to C} = p_BV_B\ln\left(\frac{V_C}{V_B}\right) = +139\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
===Proceso C&rarr;A===<br />
Por último, en la compresión a presión constante, la temperatura vuelve a su valor inicial, y lo mismo hace la energía interna<br />
<br />
<center><math>\Delta U^{C\to A} = nc_v\,\Delta T = nc_v(T_A-T_B) = -250\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Obsérvese que aunque el proceso sea a presión constante, en la expresión de la energía aparece <math>c_v</math>.<br />
<br />
El calor en este caso vale<br />
<br />
<center><math>Q^{C\to A} = \Delta U - W^{C\to A}= -250\,\mathrm{J}-100\,\mathrm{J} = -350\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Al tratarse de un proceso a presión constante, el calor puede también hallarse directamente como<br />
<br />
<center><math>Q = nc_p\,\Delta T</math></center><br />
<br />
siendo<br />
<br />
<center><math>c_p = \frac{\gamma R}{\gamma-1} = 29.1\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}}</math></center><br />
<br />
Este método nos daría<br />
<br />
<center><math>Q^{C\to A} = \frac{7}{2}\left(nRT_A-nRT_C\right) = \frac{\gamma(p_AV_A-p_CV_C)}{\gamma-1} = \frac{\gamma p_A(V_A-V_C)}{\gamma-1} = \frac{1.4\cdot 100(1.00-2.00)}{0.4}\,\mathrm{J} = -350\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Nótese que para el calor sí se cambia <math>c_v</math> por <math>c_p</math>.<br />
<br />
===Balance===<br />
Sumando los tres pasos, obtenemos la variación de energía<br />
<br />
<center><math>\Delta U = \Delta U^{A\to B}+ \Delta U^{B\to C}+\Delta U^{C\to A} = 250\,\mathrm{J}+0\,\mathrm{J}-250\,\mathrm{J} = 0\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
que es nula, como corresponde a que el proceso es cíclico y la energía es una función de estado.<br />
<br />
Para el calor, en cambio<br />
<br />
<center><math>Q = Q^{A\to B}+ Q^{B\to C}+Q^{C\to A} = +250\,\mathrm{J}+139\,\mathrm{J}-350\,\mathrm{J} = +39\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
El resultado neto es que a lo largo del ciclo entran <math>39\,\mathrm{J}</math> en forma de calor y sale la misma cantidad en forma de trabajo. Este ciclo describiría un modelo muy simple de máquina térmica.</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Comparaci%C3%B3n_de_tres_procesosComparación de tres procesos2024-02-21T12:41:35Z<p>Antonio: /* Proceso 3 */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Considere los tres procesos de la figura, con <math>p_A=100\,\mathrm{kPa}</math>, <math>V_A=4\,\mathrm{L}</math> y <math>p_B=300\,\mathrm{kPa}</math>, <math>V_A=1\,\mathrm{L}</math>. <br />
# Para los procesos 1 y 2 calcule independientemente el trabajo y el calor que entran en el sistema en cada uno. ¿Cuánto vale la suma del calor y el trabajo en cada uno de los dos procesos?<br />
# Para el proceso 3, calcule el trabajo en este proceso y, a partir de este, el calor que entra en el sistema.<br />
<br />
[[Archivo:Procesos-rectangulo.png|400px|center]]<br />
<br />
==Proceso 1==<br />
Este proceso se compone de un proceso isobárico entre el estado A y uno que llamaremos D, y uno isocórico entre D y B. Veremos cada uno por separado.<br />
<br />
===Proceso A&rarr;D===<br />
;Trabajo: Al ser un proceso a presión constante<br />
<br />
<center><math>W_{A\to D} = -p_D(V_D-V_A) = -p_A(V_B-V_A) = -100\,\mathrm{kPa}(1 - 4)\,\mathrm{L}=+300\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
;Calor: Por ser a presión constante<br />
<br />
<center><math>Q_{A\to D}=nc_p(T_D-T_A) = \frac{\gamma(p_DV_D-p_AV_A)}{\gamma-1} = \frac{\gamma p_A(V_D-V_A)}{\gamma-1}=\frac{1.4}{0.4}100\,\mathrm{kPa}(1 - 4)\,\mathrm{L}= -1050\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
===Proceso D&rarr;B===<br />
;Trabajo: Al ser un proceso a volumen constante<br />
<br />
<center><math>W_{D\to B} = 0\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
;Calor: Por ser a volumen constante<br />
<br />
<center><math>Q_{D\to B}=nc_v(T_B-T_D) = \frac{p_BV_B-p_DV_D}{\gamma-1} = \frac{ V_B(p_B-p_A)}{\gamma-1}=\frac{1\,\mathrm{L}(300-100)\,\mathrm{kPa}}{0.4}= +500\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
===Proceso completo===<br />
Sumando los dos resultados anteriores<br />
<br />
<center><math>W_{A\to B}=W_{A\to D}+W_{D\to B}=+300\,\mathrm{J}+0\,\mathrm{J}=+300\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
<center><math>Q_{A\to B}=Q_{A\to D}+Q_{D\to B}=-1050\,\mathrm{J}+500\,\mathrm{J}=-550\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
y la suma del calor y el trabajo en este proceso es<br />
<br />
<center><math>W_{A\to B}+Q_{A\to B}=+300\,\mathrm{J}-550\,\mathrm{J}=-250\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
==Proceso 2==<br />
Este proceso tiene dos pasos en orden inverso al anterior. Se compone de un proceso isocórico entre el estado A y uno que llamaremos C, y uno isobárico entre D y B. Veremos cada uno por separado.<br />
<br />
===Proceso A&rarr;C===<br />
;Trabajo: Al ser un proceso a volumen constante<br />
<br />
<center><math>W_{A\to C} = 0\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
;Calor: Por ser a volumen constante<br />
<br />
<center><math>Q_{A\to C}=nc_v(T_C-T_A) = \frac{p_CV_C-p_AV_A}{\gamma-1} = \frac{ V_A(p_B-p_A)}{\gamma-1}=\frac{4\,\mathrm{L}(300-100)\,\mathrm{kPa}}{0.4}= +2000\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
===Proceso C&rarr;B===<br />
;Trabajo: Al ser un proceso a presión constante<br />
<br />
<center><math>W_{C\to B} = -p_B(V_B-V_C) = -p_A(V_B-V_A) = -300\,\mathrm{kPa}(1 - 4)\,\mathrm{L}=+900\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
;Calor: Por ser a presión constante<br />
<br />
<center><math>Q_{C\to B}=nc_p(T_B-T_C) = \frac{\gamma(p_BV_B-p_CV_C)}{\gamma-1} = \frac{\gamma p_B(V_B-V_A)}{\gamma-1}=\frac{1.4}{0.4}300\,\mathrm{kPa}(1 - 4)\,\mathrm{L}= -3150\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
===Proceso completo===<br />
Sumando los dos resultados anteriores<br />
<br />
<center><math>W_{A\to B}=W_{A\to C}+W_{C\to B}=+0\,\mathrm{J}+900\,\mathrm{J}=+900\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
<center><math>Q_{A\to B}=Q_{A\to D}+Q_{D\to B}=+2000\,\mathrm{J}-3150\,\mathrm{J}=-1150\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
y la suma del calor y el trabajo en este proceso es<br />
<br />
<center><math>W_{A\to B}+Q_{A\to B}=+900\,\mathrm{J}-1150\,\mathrm{J}=-250\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Vemos que el trabajo depende del camino, el calor depende del camino, pero su suma no lo hace, al menos en este ejemplo. Esta es una ley general, conocida como primer principio de la termodinámica. <br />
<br />
Esta suma es igual a la diferencia en la energía interna<br />
<br />
<center><math>Q + W = \Delta U = -250\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
==Proceso 3==<br />
El proceso 3 no es ni a presión constante ni a volumen constante, por lo que no podemos emplear ninguna de las dos fórmulas anteriores. No obstante, podemos calcular el trabajo empleando el primer principio de la termodinámica<br />
<br />
<center><math>Q = \Delta U - W\,</math></center><br />
<br />
La variación en la energía interna ya la hemos calculado. <br />
<br />
<center><math>\Delta U = -250\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
El trabajo lo podemos hallar a partir de la integral, igual al área bajo la curva. Este área es la de un trapecio<br />
<br />
<center><math>W = \frac{p_A+p_B}{2}(V_A-V_B) = 200\,\mathrm{kPa}(4-1)\mathrm{L}=+600\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Por tanto<br />
<br />
<center><math>Q = \Delta U - W=-250\,\mathrm{J}-600\,\mathrm{J} = -850\,\mathrm{J}</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Compresi%C3%B3n_adiab%C3%A1tica_de_un_gasCompresión adiabática de un gas2024-02-21T10:34:02Z<p>Antonio: </p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Suponga el sistema del problema &ldquo;[[Trabajo en una compresión por un peso]]&rdquo;, pero admitiendo que las paredes del tubo son adiabáticas. ¿Cómo quedan en ese caso el trabajo, el calor y la variación de la energía interna para los procesos considerados?<br />
==Solución==<br />
Al cambiar de paredes diatermas a adiabáticas, parece que solo cambia una palabra y que tendrá poca influencia en el resultado. Sin embargo, esa palabra afecta radicalmente a los resultados. Si el calor puede fluir a través de las paredes, puede alcanzarse el equilibrio térmico con el exterior, la temperatura final en este sistema es la misma que la inicial, la variación de la energía interna es nula, pero no lo es el calor. En el caso de los granos de arena es un proceso isotermo pero no adiabático.<br />
<br />
En el problema que estamos considerando ahora, en cambio, no puede haber calor atravesando las paredes. Esto impide que se llegue al equilibrio térmico con el exterior; la temperatura final no será la misma que la final, la energía interna cambia durante el proceso, mientras que el calor es nulo. Es un proceso adiabático pero no isotermo.<br />
<br />
La ecuación básica para determinar el estado final es el primer principio de la termodinámica<br />
<br />
<center><math>W + \overbrace{Q}^{=0} = \Delta U</math></center><br />
<br />
Se trata de calcular por separado el trabajo realizado y la variación en la energía interna para llegar una ecuación que nos permita calcular la temperatura y el volumen final.<br />
<br />
Físicamente, lo que ocurre en este caso es que la compresión del gas mete una cantidad energía en el sistema que no puede escapar por ningún sitio, resultando en el calentamiento del hidrógeno.<br />
<br />
===Compresión por una pesa===<br />
Al tratarse de una cantidad fija de un gas ideal, se verifica la ecuación de estado<br />
<br />
<center><math>\frac{p_AV_A}{T_A}=\frac{p_BV_B}{T_B}</math></center><br />
<br />
donde, como en el caso isotermo<br />
<br />
<center><math>p_A = p_0=100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad p_B = p_0+\frac{mg}{S}=125\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad V_A = Sh_A=160\,\mathrm{cm}^3</math></center><br />
<br />
pero ahora<br />
<br />
<center><math>T_B \neq T_A\,</math></center><br />
<br />
por lo que no puede eliminarse de la ecuación.<br />
<br />
Por ser la presión externa constante durante la compresión, el trabajo realizado sobre el gas vale<br />
<br />
<center><math>W = -\int_{A}^{B} p_\mathrm{ext}\,\mathrm{d}V = -p_B(V_B-V_A)</math></center><br />
<br />
La variación de la energía interna se debe al cambio en la temperatura<br />
<br />
<center><math>\Delta U = nc_v(T_B-T_A)\,</math></center><br />
<br />
siendo <math>n</math> el número de moles del gas y <math>c_v</math> la capacidad calorífica molar a volumen constante. La capacidad calorífica a volumen constante se escribe<br />
<br />
<center><math>c_v = \frac{R}{\gamma-1}\qquad\qquad \gamma = \frac{c_p}{c_v} </math></center><br />
<br />
siendo <math>\gamma \simeq 1.4</math> para el aire (al igual que para los gases diatómicos). Esta relación da el incremento en la energía<br />
<br />
<center><math>\Delta U = \frac{nR(T_B-T_A)}{\gamma-1} = \frac{nRT_B-nRT_A}{\gamma-1} = \frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}</math></center><br />
<br />
Al ser el proceso adiabático igualamos el trabajo a la variación de la energía interna<br />
<br />
<center><math>W=\Delta U \qquad\Rightarrow\qquad -p_B(V_B-V_A)=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}</math></center><br />
<br />
con los valores numéricos (p en kPa, V en L)<br />
<br />
<center><math>-125(V_B - 0.160) = \frac{125 V_B - 16}{0.4}\qquad \Rightarrow\qquad -50V_B + 8 = 125V_B - 16</math></center><br />
<br />
esta ecuación nos permite hallar el volumen final<br />
<br />
<center><math>V_B = \frac{24}{175}\mathrm{L}= 0.137\,\mathrm{L}</math></center><br />
<br />
siendo la altura final del pistón<br />
<br />
<center><math>h_B=\frac{V_B}{S}=8.6\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
Más en general<br />
<br />
<center><math>V_A\left(p_B+\frac{p_A}{\gamma-1}\right)=p_BV_B\left(\frac{1}{\gamma-1}+1\right)\qquad\Rightarrow\qquad V_B=V_A\left(1-\frac{p_B-p_A}{\gamma p_B}\right)</math></center><br />
<br />
Vemos que se comprime menos que con paredes diatermas (donde bajaba hasta 8&thinsp;cm). La razón es que al calentarse el gas aumenta más rápidamente la presión y por tanto se alcanza antes el equilibrio mecánico.<br />
<br />
El trabajo realizado en este proceso es<br />
<br />
<center><math>W = -p_B(V_B-V_A) = \frac{V_A(p_B-p_A)}{\gamma} =\frac{mgh_0}{\gamma}=2.86\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Este trabajo es igual a la variación de la energía interna. La temperatura final de gas vale<br />
<br />
<center><math>T_B = \frac{p_BV_B}{p_AV_A} T_A = 321\,\mathrm{K} = 48\,^\circ\mathrm{C}</math></center><br />
<br />
El calor transferido en el proceso es nulo, por ser éste adiabático<br />
<br />
<center><math>Q = 0\,</math></center><br />
<br />
===Compresión por un montón de arena===<br />
En el caso de la compresión gradual, el proceso puede considerarse cuasiestático. En este caso se cumple la ley de Poisson<br />
<br />
<center><math>p_BV_B^\gamma = p_AV_A^\gamma</math></center><br />
<br />
lo que nos da el nuevo volumen final<br />
<br />
<center><math>V_B = V_A \left(\frac{p_A}{p_B}\right)^{1/\gamma}=136\,\mathrm{cm}^3</math></center><br />
<br />
Una forma de llegar a este resultado es observar que en el caso de una pesa de masa finita se cumple<br />
<br />
<center><math>V_B = V_A\left(1-\frac{p_B-p_A}{\gamma p_B}\right)V_A\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\Delta V}{V_A} = \frac{V_B -V_A}{V_A} = -\frac{\Delta p}{\gamma p_B}</math></center><br />
<br />
donde<br />
<br />
<center><math>\Delta V = V_B - V_A\qquad\qquad \Delta p = p_B-p_A</math></center><br />
<br />
Si en vez de una pesa consideramos granos de arena, la expresión es análoga, cambiando los incrementos por diferenciales<br />
<br />
<center><math>\frac{\mathrm{d}V}{V}=-\frac{\mathrm{d}p}{\gamma p}</math></center><br />
<br />
e integrando aquí se llega a la relación potencial. El volumen resultante es algo más pequeño que en el caso no estacionario. <br />
<br />
La temperatura en el estado final la calculamos aplicando de nuevo la ley de los gases ideales<br />
<br />
<center><math>T_B=\frac{p_BV_B}{p_AV_A}T_A=\frac{125\times 136}{100\times 160}300\,\mathrm{K}=320\,\mathrm{K}=47\,^\circ\mathrm{C}</math></center><br />
<br />
Un proceso adiabático cuasiestático es un caso particular de proceso politrópico, para el cual se cumple<br />
<br />
<center><math>W=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}</math></center><br />
<br />
que en este caso da<br />
<br />
<center><math>W=2.63\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
La variación de la energía será igual al trabajo, por ser nulo el calor<br />
<br />
<center><math>\Delta U = W = 2.63\,\mathrm{J}</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Energ%C3%ADa_en_una_compresi%C3%B3nEnergía en una compresión2024-02-20T12:14:42Z<p>Antonio: Página creada con «==Enunciado== Para los dos casos del &ldquo;Trabajo en una compresión por un peso&rdquo;, halle la variación en la energía interna del gas, en la entalpía y el calor que entra en el sistema durante el proceso. ==Variación en la energía interna== En todos los casos del problema citado la temperatura final es la misma que la inicial, por ser las paredes diatermas. Por ello <center><math>\delta U = n c_v\,\Delta T = 0</math></center> En ambos procesos la ener…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Para los dos casos del &ldquo;[[Trabajo en una compresión por un peso]]&rdquo;, halle la variación en la energía interna del gas, en la entalpía y el calor que entra en el sistema durante el proceso.<br />
==Variación en la energía interna==<br />
En todos los casos del problema citado la temperatura final es la misma que la inicial, por ser las paredes diatermas. Por ello<br />
<br />
<center><math>\delta U = n c_v\,\Delta T = 0</math></center><br />
<br />
En ambos procesos la energía interna final es la misma que la inicial.<br />
<br />
==Variación en la entalpía==<br />
Con la entalpía ocurre lo mismo que con la energía interna<br />
<br />
<center><math>\Delta H = nc_p\,\Delta T = 0</math></center><br />
==Calor==<br />
Una vez que tenemos la variación de la energía interna y el trabajo, podemos hallar el calor a partir del primer principio de la termodinámica<br />
<br />
<center><math>Q = \overbrace{\Delta U}^{=0} - W = -W</math></center><br />
<br />
Así, en el caso de la compresión por la pesa<br />
<br />
<center><math>Q= -W = -4.00\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Obsérvese que en este caso el calor no coincide con la variación de la entalpía ya que aunque la presión externa es constante, la interna no lo es.<br />
<br />
Para la compresión grano a grano<br />
<br />
<center><math>Q= -W = -3.57\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
En ambos casos resulta un valor negativo, lo que quiere decir que el calor va del sistema al ambiente. Al comprimir el gas, este aumenta su temperatura inicialmente, ya que el calor no se desaloja instantáneamente y la energía interna aumenta. Posteriormente el sistema se enfría y para cuando llega al equilibrio el calor que ha salido coincide con el trabajo que ha entrado.</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Problemas_del_primer_principio_de_la_termodin%C3%A1micaProblemas del primer principio de la termodinámica2024-02-19T11:26:41Z<p>Antonio: /* Proceso formado por dos tramos rectos */</p>
<hr />
<div>==Trabajo en una compresión por un peso==<br />
Un tubo vertical de sección cuadrada de 4.0&thinsp;cm de lado contiene hidrógeno a 300&thinsp;K y 100&thinsp;kPa de presión, que también es la temperatura y presión exterior. La tapa del cilindro puede deslizarse sin rozamiento e inicialmente se encuentra a 10.0&thinsp;cm de altura.<br />
<br />
# Suponiendo que las paredes del tubo son diatermas, calcule el trabajo realizado sobre el sistema entre el estado inicial y el estado de equilibrio final sí&hellip;<br />
## Se coloca bruscamente sobre la tapa una pesa de 4.0&thinsp;kg. <br />
## Se colocan sobre el émbolo 4.0&thinsp;kg de arena grano a grano.<br />
# Calcule asimismo el trabajo si tras los procesos anteriores se retira el peso extra (o bien retirando la pesa o bien grano a grano).<br />
# Si consideramos el proceso completo de puesta y retirada del peso (en sus cuatro variantes posibles, según como se combinen), ¿cuál es el trabajo neto en cada uno?<br />
<br />
[[Trabajo en una compresión por un peso|Solución]]<br />
<br />
==Compresión en varios pasos==<br />
Como caso intermedio del problema &ldquo;[[Trabajo en una compresión por un peso]]&rdquo;, considere el caso de que en lugar de una pesa de 40&thinsp;N se coloca primero una de 20&thinsp;N, se deja que se alcance el equilibrio y se coloca luego otra de 20&thinsp;N. ¿Cuál es el trabajo en ese caso?<br />
<br />
Si en vez de dos pesas, se colocan sucesivamente 5 piezas de 8&thinsp;N cada una, ¿cuál sería el trabajo?<br />
<br />
Obtenga la expresión general para el caso de que se coloquen sucesivamente n pesas de peso (40/n)N. Tome el límite n→∞ y compruebe con el caso cuasiestático del problema citado.<br />
<br />
[[Compresión en varios pasos|Solución]]<br />
<br />
==Energía en una compresión==<br />
Para los dos casos del problema &ldquo;[[Trabajo en una compresión por un peso]]&rdquo;, halle la variación en la energía interna del gas, en la entalpía y el calor que entra en el sistema durante el proceso.<br />
<br />
[[Energía en una compresión|Solución]]<br />
<br />
==Compresión adiabática de un gas==<br />
Suponga el sistema del problema &ldquo;[[Trabajo en una compresión por un peso]]&rdquo;, pero admitiendo que las paredes del tubo son adiabáticas. ¿Cómo quedan en ese caso el trabajo, el calor y la variación de la energía interna para los procesos considerados?<br />
<br />
[[Compresión adiabática de un gas|Solución]]<br />
<br />
<br />
==Comparación de tres procesos==<br />
Considere los tres procesos de la figura, con <math>p_A=100\,\mathrm{kPa}</math>, <math>V_A=4\,\mathrm{L}</math> y <math>p_B=300\,\mathrm{kPa}</math>, <math>V_A=1\,\mathrm{L}</math>. <br />
# Para los procesos 1 y 2 calcule independientemente el trabajo y el calor que entran en el sistema en cada uno. ¿Cuánto vale la suma del calor y el trabajo en cada uno de los dos procesos?<br />
# Para el proceso 3, calcule el trabajo en este proceso y, a partir de este, el calor que entra en el sistema.<br />
<br />
[[Archivo:Procesos-rectangulo.png|400px|center]]<br />
<br />
[[Comparación de tres procesos|Solución]]<br />
<br />
==Sucesión de tres procesos cuasiestáticos==<br />
Un cilindro de 100&thinsp;cm&sup2; de sección contiene aire y está cerrado por un émbolo. Inicialmente el aire tiene una temperatura de 27&thinsp;&deg;C y una presión de 100&thinsp;kPa, que también es la presión exterior, estando el émbolo a 10&thinsp;cm del fondo. Entonces se realiza el siguiente proceso cuasiestático<br />
<br />
:A&rarr;B Se atornilla el émbolo y se calienta el aire hasta 327&thinsp;&deg;C, sumergiéndolo en un baño a esta temperatura. <br />
:B&rarr;C Se libera el émbolo lentamente, dejando que se expanda el aire hasta que su presión vuelve a ser la inicial. En este proceso el aire se mantiene a la temperatura de 327&thinsp;&deg;C. <br />
:C&rarr;A Con el émbolo libre, se enfría gradualmente hasta que la temperatura vuelve a ser la inicial.<br />
<br />
Para este proceso:<br />
<br />
# Halle la presión, volumen y temperatura al final de cada fase del proceso. <br />
# Calcule el trabajo en cada fase, así como el trabajo neto total. <br />
# Calcule la variación en la energía interna y el calor en cada paso y su variación neta.<br />
<br />
[[Sucesión de tres procesos cuasiestáticos|Solución]]<br />
<br />
==Mezcla de dos cantidades de agua==<br />
En un recipiente adiabático se ponen en contacto 750&thinsp;cm&sup3; de agua a 20&#8451; con 250&thinsp;cm&sup3; de agua a 80&#8451;, siendo la temperatura exterior de 50&deg;C. ¿Cuál es la temperatura final de la mezcla? ¿Cuánto calor entra en cada subsistema?<br />
<br />
[[Mezcla de dos cantidades de agua|Solución]]<br />
<br />
==Mezcla de dos cantidades de agua (2)==<br />
¿Cómo cambian los resultados del problema &ldquo;[[Mezcla de dos cantidades de agua]]&rdquo; si las paredes son diatermas?<br />
<br />
[[Mezcla de dos cantidades de agua (2)|Solución]]<br />
<br />
==Mezcla de dos cantidades de agua (3)==<br />
¿Cómo cambian los resultados del problema &ldquo;[[Mezcla de dos cantidades de agua]]&rdquo; si las paredes son diatermas?<br />
<br />
[[Mezcla de dos cantidades de agua (3)|Solución]]<br />
<br />
==Mezcla de dos cantidades de agua (4)==<br />
Se pone en contacto 1kg de agua a 80 ℃ con una masa m de agua a 20 ℃. ¿Cuál es la temperatura final de la mezcla, en función de m? ¿Cuánto calor entra en la masa m? ¿A qué tienden los resultados si m→∞?<br />
<br />
[[Mezcla de dos cantidades de agua (4)|Solución]]<br />
<br />
==Trabajo en fusión de hielo==<br />
Tenemos 1&thinsp;kg de hielo (densidad de masa 917&thinsp;kg/m&sup3;) a 0&thinsp;&deg;C, al cual se le cede lentamente calor a una presión de 101.3&thinsp;kPa hasta que convierte por completo en agua (densidad de masa 1000&thinsp;kg/m&sup3;). ¿Qué trabajo se realiza sobre el sistema?<br />
<br />
[[Trabajo en fusión de hielo|Solución]]<br />
<br />
==Mezcla de agua y hielo==<br />
Dentro de un recipiente adiabático se sumerge un bloque de 100&thinsp;g de hielo a 0.0&thinsp;&deg;C en 1.0 litros de agua a 20&thinsp;&deg;C. Determine si se funde todo el hielo y la temperatura final del sistema. ¿Qué ocurre si en lugar de 100&thinsp;g se tiene 1.0&thinsp;kg de hielo?<br />
<br />
[[Mezcla de agua y hielo|Solución]]<br />
<br />
==Mezcla de vapor de agua y hielo==<br />
En un recipiente con paredes adiabáticas y un émbolo móvil de forma que la presión es constante e igual a 101.3&thinsp;kPa, se ponen en contacto 1.0&thinsp;m³ de vapor de agua a 115&thinsp;℃ con 500&thinsp;g de hielo a &minus;10&thinsp;℃. Determine la temperatura final del sistema.<br />
<br />
Dato: La constante específica de los gases ideales para el vapor de agua vale <math>R_m = 461.5\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K} </math>.<br />
<br />
[[Mezcla de vapor de agua y hielo|Solución]]<br />
<br />
==Mezcla de agua y vapor de agua==<br />
Se tiene un recipiente cilíndrico de paredes adiabáticas y con pistón móvil también adiabático, inmerso en un ambiente a 300 K y 101.3 kPa de presión. Dentro del recipiente se ponen en contacto 1 kg de agua a 100 ℃ (“subsistema 1”) con 1 m³ de vapor de agua a 200 ℃ (“subsistema 2”). <br />
El agua puede considerarse un líquido incompresible de densidad 958.4 kg/m³. El vapor de agua puede suponerse un gas ideal tal que a 100 ℃ y 101.3 kPa tiene una densidad de masa de 0.598 kg/m³. En todo el rango 100 ℃-200 ℃ su calor específico promedio vale <math>c_p=1.850\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}</math>. La entalpía específica de vaporización a 100 ℃ y 101.3 kPa vale 2257 kJ/kg.<br />
# Calcule, para una vez que se ha alcanzado el equilibrio térmico, qué cantidad de agua y de vapor de agua tenemos en el sistema. ¿Cuál es la proporción de la masa de vapor de agua respecto a la masa total (calidad del vapor)?<br />
# Calcule la variación de energía interna y de entalpía del sistema completo y de cada subsistema en este proceso, así como el trabajo realizado sobre el sistema completo y sobre cada subsistema. <br />
<br />
[[Mezcla de agua y vapor de agua|Solución]]<br />
<br />
==Calentamiento de agua con una resistencia==<br />
En una cámara con un émbolo móvil se coloca 500&thinsp;cm&sup3; de agua a 300&thinsp;K. El exterior se encuentra a una presión de 100&thinsp;kPa. Se le comunica lentamente calor al agua hasta que se evapora por completo.<br />
<br />
# Calcule el calor necesario para que se realice este proceso. <br />
# Halle el trabajo que se realiza sobre el agua. <br />
# Calcule la variación en la entalpía y en la energía interna del agua. <br />
# Suponga que el calentamiento se produce mediante una resistencia eléctrica a una tensión de 220&thinsp;V por la que pasa una corriente de 2&thinsp;A. ¿Cuánto tiempo tarda en realizarse el proceso? En este caso, la energía entra en el sistema en forma de calor o de trabajo?<br />
<br />
[[Calentamiento de agua con una resistencia|Solución]]<br />
<br />
==Calor y trabajo en un proceso lineal==<br />
Considere el caso del problema &ldquo;[[Compresión lineal de un gas]]&rdquo;, en el que se comprime cuasiestáticamente un gas ideal diatómico que inicialmente se encuentra a presión <math>p_A=100\,\mathrm{kPa}</math>, temperatura <math>T_A=300\,\mathrm{K}</math> y ocupa un volumen <math>V_A=0.01\,\mathrm{m}^3</math>, según la ley <br />
<center><math>p=3p_A-\frac{2p_A}{V_A} V</math></center><br />
La compresión continúa hasta que la presión vale <math>p_B = 2p_A</math>.<br />
# Calcule el trabajo neto realizado sobre el gas, la variación de su energía interna y el calor que entra en el gas durante el proceso.<br />
# Separando el proceso en dos: uno hasta que alcanza la temperatura máxima y otro de ahí hasta el final, halle W, ΔU y Q en cada uno de los dos subprocesos.<br />
[[Calor y trabajo en un proceso lineal|Solución]]<br />
<br />
==Equilibrio de dos cámaras de aire==<br />
Se tiene un sistema formado por dos cámaras de aire seco (γ=1.4). La cámara izquierda (subsistema 1) es rígida. La derecha (subsistema 2) está limitada en su lado derecho por un pistón móvil, siendo la presión externa de 100 kPa. Las paredes exteriores y el pistón son adiabáticos. En el estado inicial, las dos cámaras ocupan 1 litro cada una y la presión de ambas es de 100 kPa, siendo la temperatura de la de la derecha 600 K y la de la izquierda 300 K, que también es la temperatura exterior. La pared entre las dos cámaras no es un aislante perfecto, sino que lentamente el calor va pasando de la cámara caliente a la fría.<br />
# Calcule la temperatura final de cada una de las dos cámaras.<br />
# Calcule el trabajo neto que entra, el calor neto que entra, la variación de energía interna y de entalpía para cada uno de los dos subsistemas y para el sistema completo.<br />
<br />
[[Archivo:Equilibrio-camaras-aire.png|center]]<br />
<br />
[[Equilibrio de dos cámaras de aire|Solución]]<br />
<br />
==Cuatro procesos no cuasiestáticos==<br />
Se tiene un cilindro horizontal cerrado por un pistón, en cuyo interior hay aire seco (considerado un gas ideal diatómico). Inicialmente, el aire interior se encuentra a 450&thinsp;kPa y 333&thinsp;K, ocupando un volumen de 1000&thinsp;cm&sup3;. El ambiente se encuentra a 100&thinsp;kPa y 296&thinsp;K, valores que no cambian en ningún momento.<br />
<br />
Las paredes del cilindro son adiabáticas. El pistón está inicialmente limitado por un tope y forrado de forma que está aislado térmicamente.<br />
<br />
Se realiza entonces el siguiente proceso compuesto:<br />
<br />
* '''A&rarr;B''' Se libera bruscamente el tope, dejando que el gas se expanda sin quitarle el aislante térmico.<br />
* '''B&rarr;C''' Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio y sin volver a fijar la tapa, se quita bruscamente el aislante térmico, dejando que el sistema evolucione.<br />
<br />
Ninguno de los dos pasos es cuasiestático.<br />
<br />
Para este proceso<br />
<br />
:'''a.1''' Calcule la presión, volumen y temperatura del gas en los estados B y C.<br />
:'''a.2''' Halle el trabajo y el calor netos que entran en el sistema, así como la variación de energía interna, en los pasos A&rarr;B y B&rarr;C.<br />
<br />
Suponga ahora que, partiendo del mismo estado inicial se realizan los dos desbloqueos en orden inverso, es decir,<br />
<br />
* A&rarr;D Se quita bruscamente el aislante térmico, sin quitar el tope<br />
* D&rarr;E Sin volver a poner el aislante, se libera bruscamente el tope.<br />
Ninguno de los dos pasos es cuasiestático.<br />
<br />
Para este nuevo proceso, calcule las mismas magnitudes que en el caso anterior, es decir:<br />
<br />
:'''b.1''' Calcule la presión, volumen y temperatura del gas en los estados D y E.<br />
:'''b.2''' Halle el trabajo y el calor netos que entran en el sistema, así como la variación de energía interna, en los pasos A&rarr;D y D&rarr;E.<br />
<br />
[[Cuatro procesos no cuasiestáticos|Solución]]<br />
<br />
==Descenso en un proceso cíclico==<br />
Se construye un sistema de cilindro con pistón, para el cual se sigue el siguiente proceso cíclico. Se parte de un estado A en el que tenemos un cilindro de paredes aisladas térmicamente (aunque el aislante no es perfecto), con pistón. El cilindro tiene 100 cm² de sección y el pistón se halla inicialmente a 70 cm del fondo. El interior del cilindro contiene inicialmente aire seco a 7 ℃ y 100 kPa, que coinciden con la temperatura y la presión del ambiente, las cuales son constantes.<br />
<br />
<center> <br />
{|<br />
|-<br />
| [[Archivo:Ascensor-termico-01.png]] || [[Archivo:Ascensor-termico-02.png]]<br />
|-<br />
! A !! B<br />
|-<br />
| [[Archivo:Ascensor-termico-03.png]] || [[Archivo:Ascensor-termico-04.png]]<br />
|-<br />
! D !! C<br />
|}<br />
</center><br />
<br />
;A→B: Sobre el pistón se coloca bruscamente una pesa de 250 N, que hace que el pistón descienda una cierta distancia. Este proceso puede suponerse adiabático, pero no cuasiestático.<br />
;B→C: Sin quitar la pesa se deja que el gas cambie lentamente su temperatura hasta que se iguala a la temperatura exterior.<br />
;C→D: Se quita bruscamente la pesa a la nueva altura, lo que hace que el pistón suba bruscamente, en otro proceso adiabático no cuasiestático.<br />
;D→A: Se deja que el aire ceda o absorba calor lentamente hasta que vuelve a estar a la temperatura inicial y en la posición de partida.<br />
<br />
Para este ciclo:<br />
# Calcule la presión, temperatura y volumen del aire en cada estado. ¿Cuántos cm desciende la pesa entre los estados A y C?<br />
# Indique gráficamente en un diagrama pV, de manera aproximada, cómo es el ciclo localizando los cuatro estados y trazando aquellos procesos que se puedan representar.<br />
# Calcule el trabajo y el calor que entra en el sistema en cada paso, así como el trabajo neto de entrada y el calor neto de salida en el ciclo.<br />
<br />
[[Descenso en un proceso cíclico|Solución]]<br />
<br />
==Compresión lineal con calor nulo==<br />
Una cierta cantidad de aire seco experimenta una compresión cuasiestática A→B que se describe en un diagrama pV con un segmento rectilíneo como el de la figura. Sean <math>V_A=1200\,\mathrm{cm}^3</math>, <math>p_A=102\,\mathrm{kPa}</math> y <math>T_A=297\,\mathrm{K}</math> las condiciones iniciales y<math> V_A/V_B=r=3</math> la relación de compresión.<br />
<br />
<center>[[Archivo:compresion-lineal.png]]</center><br />
<br />
# Calcule el trabajo realizado sobre el sistema en el proceso A→B como función de la presión final <math>p_B</math> y del resto de datos del problema.<br />
# Halle el valor de la presión final <math>p_B</math> si en el proceso descrito el calor neto que entra en el sistema es nulo, <math>Q_{A\to B}=0</math>, es decir, el proceso no es adiabático, sino que el calor que entra iguala al que sale. <br />
# Halle la temperatura final <math>T_B</math> en el proceso anterior.<br />
<br />
[[Compresión lineal con calor nulo|Solución]]<br />
<br />
<br />
==Expansión lineal de un gas ideal diatómico==<br />
Se tiene una cantidad fija de un gas ideal diatómico situada a una presión <math>p_0</math>, volumen <math>V_0</math> y temperatura <math>T_0</math>. Experimenta un proceso tal que la presión final es <math>2p_0</math> y el volumen <math>2V_0</math>. <br />
# ¿Cuánto vale el incremento de la energía interna en este proceso?<br />
# Supongamos que el proceso anterior ocurre de manera cuasiestática según la ley <math>p(V)=(p_0/V_0 )V</math> ¿Cuánto trabajo se realiza sobre el gas en esta expansión cuasiestática? ¿Cuánto calor entra en el gas en la expansión cuasiestática?<br />
<br />
[[Expansión lineal de un gas ideal diatómico|Solución]]<br />
<br />
==Tubo con dos cámaras rígidas==<br />
Un tubo de sección S está dividido en dos cámaras de longitud L. Las paredes son adiabáticas y la pared central es inamovible y está forrada de aislante térmico. Inicialmente, en la cámara de la izquierda (“1”) hay aire a temperatura <math>T_1=T_0</math> y presión <math>p_0</math> y en la de la derecha (”2”) aire a <math>T_2=3T_0</math> y la misma presión. Se retira el aislante del tabique central (sin eliminar el tabique). <br />
<br />
<center>[[Archivo:tubo-dos-camaras-rigidas.png|800px]]</center><br />
<br />
# ¿Cuál es la proporción entre las masas de aire de las dos cámaras?<br />
# ¿Cuál es la temperatura final del aire en cada cámara?<br />
# ¿Cuánto vale la fuerza sobre la pared central en el estado final?<br />
<br />
[[Tubo con dos cámaras rígidas|Solución]]<br />
<br />
==Proceso formado por dos tramos rectos==<br />
Un gas ideal diatómico experimenta un proceso cuasiestático desde un estado A a un estado B, según la gráfica de la figura<br />
<br />
[[Archivo:proceso-dos-segmentos.png|center]]<br />
<br />
# ¿Cuánto es la variación de la energía interna del gas?<br />
# ¿Cuánto calor entra en el gas en este proceso?<br />
<br />
[[Proceso formado por dos tramos rectos|Solución]]</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Compresi%C3%B3n_en_varios_pasosCompresión en varios pasos2024-02-19T11:25:11Z<p>Antonio: </p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Como caso intermedio del problema &ldquo;[[Trabajo en una compresión por un peso]]&rdquo;, considere el caso de que en lugar de una pesa de 40&thinsp;N se coloca primero una de 20&thinsp;N, se deja que se alcance el equilibrio y se coloca luego otra de 20&thinsp;N. ¿Cuál es el trabajo en ese caso?<br />
<br />
Si en vez de dos pesas, se colocan sucesivamente 5 piezas de 8&thinsp;N cada una, ¿cuál sería el trabajo?<br />
<br />
Obtenga la expresión general para el caso de que se coloquen sucesivamente n pesas de peso (40/n)N. Tome el límite n→∞ y compruebe con el caso cuasiestático del problema citado.<br />
<br />
==En dos pasos==<br />
Para la compresión en dos pasos podemos hacer los mismos cálculos que en el problema citado.<br />
<br />
Para el primer paso, primero calculamos la presión externa tras la primera pesa. Esta presión coincide con la del gas cuando se vuelve a alcanzar el equilibrio.<br />
<br />
<center><math>p_B=p_A+\frac{mg}{S}=100\,\mathrm{kPa}+\frac{20\,\mathrm{N}}{16\,\mathrm{cm}^2}=112.5\,\mathrm{kPa}</math></center><br />
<br />
Ahora calculamos el volumen al final del paso mediante la ley de Boyle<br />
<br />
<center><math>V_B = V_A\,\frac{p_A}{p_B}= 0.160\,\mathrm{L}\frac{100}{112.5}=0.142\,\mathrm{L}</math></center><br />
<br />
y hallamos el trabajo en este paso como<br />
<br />
<center><math>W_{A\to B}=-p_B(V_B-V_A) = -112.5(0.142-0.160)\,\mathrm{J}=+2.00\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
E el segundo paso el estado final es<br />
<br />
<center><math>p_C = p_A + \frac{(2m)g}{S}=125\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad V_C = V_A\frac{p_A}{p_C}=0.128\,\mathrm{L}</math></center><br />
<br />
y obtenemos el trabajo<br />
<br />
<center><math>W_{B\to C}=-125(0.128-0.142)\,\mathrm{J} = +1.78\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
y por tanto el trabajo total en este proceso es de<br />
<br />
<center><math>W = W_{A\to B}+W_{B\to C}= (+2.00 + 1.78)\,\mathrm{J}=+3.78\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
que es menor que el de 4J que resulta cuando se coloca solo una pesa.<br />
<br />
==Caso general==<br />
Para 5 pasos el procedimiento sería el mismo, pero la repetición de cálculos aconseja un procedimiento que no requiera tantas operaciones.<br />
<br />
Observamos que la ley de Boyle se puede aplicar en la expresión del trabajo en un paso<br />
<br />
<center><math>W_{C\to D}=-p_D(V_D-V_C)= -p_DV_D + p_D V_C = -p_CV_C + p_DV_C = V_C(p_D-p_C)\,</math></center><br />
<br />
Con esto calculamos el trabajo empleando el incremento en las presiones, que es conocido, en lugar del incremento de volúmenes, que hay que calcular.<br />
<br />
A su vez, el volumen en cada paso se puede relacionar con el volumen al principio del todo usando de nuevo la ley de Boyle<br />
<br />
<center><math>W_{C\to D}=\frac{p_A V_A}{p_C}(p_D - p_C)</math></center><br />
<br />
Si ahora conocemos la presión al principio del todo, <math>p_A</math>, al final del todo, <math>p_B</math>, y el número de pasos, <math>n</math>, el incremento de rpesiones en cada paso es el mismo e igual a<br />
<br />
<center><math>\Delta p = \frac{p_B-p_A}{n}</math></center><br />
<br />
y la presión al principio de cada paso es<br />
<br />
<center><math>p(k) = p_A + k\,\Delta p = p_A + \frac{k}{n}(p_B-p_A)</math></center><br />
<br />
con lo que el trabajo total en el proceso es<br />
<br />
<center><math>W=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_A V_A\,\Delta p}{p_A + k\Delta p}=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_A V_A\,(p_B-p_A)}{n p_A + k(p_B-p_A)}</math></center><br />
<br />
En nuestro caso los valores numéricos dan<br />
<br />
<center><math>W = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{400\,\mathrm{J}}{100n+ 25k}=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{16\,\mathrm{J}}{4n+k}</math></center><br />
<br />
Para 1 paso, <math>n = 1</math> y k vale solo 0, así que<br />
<br />
<center><math>W = \frac{16\,\mathrm{J}}{4}=4\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Para 2 pasos, <math>n = 2</math> y vale 0 y 1<br />
<br />
<center><math>W = \frac{16\,\mathrm{J}}{8}+\frac{16\,\mathrm{J}}{9}=\left(4+\frac{16}{9}\right)\,\mathrm{J}= 3.78\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Vemos que recuperamos los dos casos ya conocidos.<br />
<br />
Para <math>n = 5</math><br />
<br />
<center><math>W = \sum_{k=0}^{4} \frac{16\,\mathrm{J}}{20+k}= +3.65\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Con ayuda del ordenador podemos calcular esta suma para más pasos, así tenemos<br />
bordeado"<br />
|+ Trabajo en una compresión por varias pesas<br />
|-<br />
! Número de pesas !! <math>W (\mathrm{J})</math><br />
|-<br />
| 1 || 4.0000<br />
|-<br />
| 2 || 3.7778<br />
|-<br />
| 5 || 3.6515<br />
|-<br />
| 10 || 3.6106<br />
|-<br />
| 20 || 3.5904<br />
|-<br />
| 50 || 3.5783<br />
|-<br />
| 100 || 3.5743<br />
|-<br />
| 200 || 3.5723<br />
|-<br />
| 500 || 3.5711<br />
|-<br />
| 1000 || 3.5707<br />
|}<br />
<br />
Vemos que los valores convergen a unos 3.57J, que era el valor que se obtenía considerando la integral para un montón de granos de arena.<br />
<br />
Podemos demostrar rigurosamente que esta suma converge a esa integral con un poco de cálculo avanzado. El pasar de una suma a una integral es lo que se denomina el ''paso al continuo''.<br />
<br />
Partimos del sumatorio<br />
<br />
<center><math>W = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{16\,\mathrm{J}}{4n+k}</math></center><br />
<br />
Dividimos numerador y denominador por n<br />
<br />
<center><math>W = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{16\,\mathrm{J}}{4+(k/n)}\,\frac{1}{n}</math></center><br />
<br />
Ahora, si en lugar de sumar variando k, definimos la variable<br />
<br />
<center><math>x = \frac{k}{n}</math></center><br />
<br />
cuando k varía de 0 a n, esta cantidad varía de 0 a 1. Cuando k pasa de un valor k a k+1, x varía en<br />
<br />
<center><math>\Delta x = \frac{\Delta k}{n}=\frac{1}{n}</math></center><br />
<br />
Por tanto el sumatorio se puede escribir como<br />
<br />
<center><math>W = \sum_{x=0}^{1} \frac{16\,\mathrm{J}}{4+x}\,\Delta x</math></center><br />
<br />
Cuando <math>n\to\infty</math> el incremento se convierte en un diferencial y la suma en una integral<br />
<br />
<center><math>W = \int_0^1 \frac{16\,\mathrm{J}}{4+x}\,\mathrm{d}x</math></center><br />
<br />
con el resultado<br />
<br />
<center><math>W = 16\,\mathrm{J}\ln\left(\frac{5}{4}\right)=3.5703\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
este es el límite en el que tenmos infinitas pesas microscópicas y el proceso se convierte en cuasiestático.</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Trabajo_en_una_compresi%C3%B3n_por_un_pesoTrabajo en una compresión por un peso2024-02-18T15:56:24Z<p>Antonio: </p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Un tubo vertical de sección cuadrada de 4.0&thinsp;cm de lado contiene hidrógeno a 300&thinsp;K y 100&thinsp;kPa de presión, que también es la temperatura y presión exterior. La tapa del cilindro puede deslizarse sin rozamiento e inicialmente se encuentra a 10.0&thinsp;cm de altura.<br />
<br />
# Suponiendo que las paredes del tubo son diatermas, calcule el trabajo realizado sobre el sistema entre el estado inicial y el estado de equilibrio final sí&hellip;<br />
## Se coloca bruscamente sobre la tapa una pesa de 40&thinsp;N. <br />
## Se colocan sobre el émbolo 4.0&thinsp;kg de arena grano a grano.<br />
# Calcule asimismo el trabajo si tras los procesos anteriores se retira el peso extra (o bien retirando la pesa o bien grano a grano).<br />
# Si consideramos el proceso completo de puesta y retirada del peso (en sus cuatro variantes posibles, según como se combinen), ¿cuál es el trabajo neto en cada uno?<br />
<br />
==Estado final del sistema==<br />
Si las paredes no están aisladas térmicamente, el sistema es capaz de alcanzar el equilibrio térmico con el ambiente. Esto quiere decir que la temperatura inicial y la final son iguales a la del entorno<br />
<br />
<center><math>T_A=T_B = T_0=300\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
Por otro lado, al ser un gas ideal, en un proceso en el que la temperatura en los estados A y B es la mismase cumple la ley de Boyle (caso particular de la de los gases ideales)<br />
<br />
<center><math>p_AV_A = p_BV_B\,</math></center><br />
<br />
siendo la presión y el volumen iniciales<br />
<br />
<center><math>p_A=p_0=100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad V_A = Sh_0 = 160\,\mathrm{cm}^3 = 0.160\,\mathrm{L}</math></center><br />
<br />
La presión final es la debida a la atmósfera más lo que aporta el peso. <br />
<br />
<center><math>p_B = p_0+\frac{mg}{S}=100\,\mathrm{kPa}+\frac{40}{16\times 10^{-4}}\,\mathrm{Pa}=125\,\mathrm{kPa}</math></center><br />
<br />
De aquí obtenemos el volumen final<br />
<br />
<center><math>V_B = V_A\,\frac{p_A}{p_B}=V_A\frac{p_0}{p_0+mg/S}=0.160\,\mathrm{L}\frac{100}{125}=0.128\,\mathrm{L}</math></center><br />
<br />
siendo la nueva altura del pistón<br />
<br />
<center><math>h_B = \frac{V_B}{S}=8\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
Este resultado es el mismo tanto si el peso se coloca de una vez como si se coloca gradualmente en forma de granos de arena.<br />
<br />
El valor del trabajo, en cambio, es diferente en cada caso.<br />
===Descenso con una pesa===<br />
Cuando se coloca un peso unitario de <math>40\,\mathrm{N}</math> la presión externa aumenta bruscamente de <math>p_A</math> a <math>p_B</math> y a partir de ahí permanece constante. La presión interior, en cambio, no sabemos cuanto vale, pues en el descenso brusco del pistón el gas no se encuentra en equilibrio y la presión variará de un punto a otro de la cámara. <br />
Esto no es problema, ya que el trabajo sobre el gas se calcula empleando la presión externa<br />
<br />
<center><math>W = -\int_{A}^{B}p_\mathrm{ext}\,\mathrm{d}V</math></center><br />
<br />
Como la presión externa es constante, se puede sustituir y sacar de la integral<br />
<br />
<center><math>W = -p_B\int_{A}^{B}\mathrm{d}V = -p_B(V_B-V_A)</math></center><br />
<br />
Podemos calcular este valor numéricamente<br />
<br />
<center><math>W = -125\,\mathrm{kPa}(0.128-0.160)\mathrm{L}=+4.00\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Resulta un valor positivo, ya que la compresión del gas supone un trabajo realizado sobre este, es decir, es un <math>W_\mathrm{in}</math>.<br />
<br />
Este resultado puede expresarse de otra forma con ayuda de la ley de Boyle<br />
<br />
<center><math>W = -p_B(V_B-V_A) = -p_BV_B+p_BV_A = -p_AV_A+p_BV_A = V_A(p_B-p_A) = Sh_0\frac{mg}{S}=mgh_0</math></center><br />
<br />
Siendo el valor numérico calculado de esta forma<br />
<br />
<center><math>W = 40\times 0.1\,\mathrm{J} = 4.00\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Este resultado se presta a una falsa interpretación, basada en razonar que si la pesa desciende, el trabajo realizado es igual a lo que disminuye su energía potencial. Esto es falso. La energía potencial de la pesa disminuye en <math>mg(h_B-h_A) = 0.8\,\mathrm{J}</math>. Hay una contribución también del trabajo realizado por la presión atmosférica.<br />
<br />
===Descenso acumulando arena===<br />
En el segundo caso, la presión exterior no es constante, sino que va variando a medida que se va añadiendo arena. Una forma de resolver este apartado sería suponer que para una presión dada, se añade un grano de arena de masa <math>\mathrm{d}m</math>, lo que reduce el volumen una cantidad diferencial, según la fórmula del apartado anterior. Sumando (integrando) todas las contribuciones se llega al trabajo total.<br />
<br />
Sin embargo, es más fácil observar que si la presión se aumenta muy lentamente al gas le da tiempo a alcanzar el equilibrio térmico con el exterior, por lo que se trata de un proceso cuasiestático a temperatura constante. En este caso la presión interna del gas es igual a la exterior y el trabajo se puede hallar empleando la presión interior<br />
<br />
<center><math>W = -\int_{A}^{B}p_\mathrm{ext}\,\mathrm{d}V = -\int_{A}^{B}p\,\mathrm{d}V</math></center><br />
<br />
y puesto que la temperatura permanece constante se cumple en todo momento<br />
<br />
<center><math>pV=p_AV_A \qquad\Rightarrow\qquad p=\frac{p_AV_A}{V}</math></center><br />
<br />
Llevando esto a la integral<br />
<br />
<center><math>W = -p_AV_A\int_{A}^{B}\frac{\mathrm{d}V}{V}=-p_AV_A\ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)</math></center><br />
<br />
Sustituyendo los valores numéricos<br />
<br />
<center><math>W = 100\,\mathrm{kPa}\cdot 0.160\mathrm{L}\ln\left(\frac{0.128}{0.160}\right)=+3.57\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Vemos que el trabajo en ambos casos es positivo, como corresponde a una compresión, pero en el segundo caso es un poco menor que en el primero<br />
<br />
==Retirada del peso extra==<br />
===Retirada de la pesa===<br />
El cálculo es análogo al de la compresión. El estado final C es el mismo que el que había al principio, A. El trabajo es ahora<br />
<br />
<center><math>W=-p_C(V_C-V_B) = -p_A(V_A-V_B) = -100\,\mathrm{kPa}(0.160-0.128)\mathrm{L}=-3.20\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Vemos que resulta un valor negativo pero no de la misma magnitud que en la compresión. Ésta se realizó con una presión de 125&thinsp;kPa mientras que la expansión ha sido con una presión de 100&thinsp;kPa.<br />
===Retirada grano a grano===<br />
Se calcula también como en el caso de la compresión<br />
<br />
<center><math>W = -p_BV_B\ln\left(\frac{V_C}{V_B}\right)=-p_BV_B\ln\left(\frac{V_A}{V_B}\right)=-125\cdot 0.128\ln\left(\frac{0.160}{0.128}\right)\mathrm{J}=-3.57\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Aquí sí resulta un trabajo de signo opuesto pero la misma magnitud que en el caso de compresión. La razón es que este sí es un proceso cuasiestático y el área bajo la curva es el mismo, salvo el signo, en la compresión y en la expansión.<br />
<br />
==Compresión y expansión==<br />
===Ambas con la pesa===<br />
Sumando los resultados de la compresión y expansión, ambas con la pesa, obtenemos<br />
<br />
<center><math>W = +4.00-3.20 = 0.80\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Este trabajo coincide con la energía potencial que pierde la pesa al descender de 10&thinsp;cm a 8&thinsp;cm<br />
<br />
<center><math>mgh = 40\,\mathrm{N}\cdot(0.02\,\mathrm{m}) = 0.80\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
Lo que ocurre en este caso es que comprimimos con la atmósfera y la pesa. Al retirar la pesa lo hace en una posición inferior a la inicial, con lo que esa pérdida de energía no se recupera. la correspondiente a la presión atmosférica sí.<br />
<br />
===Compresión con la pesa y expansión grano a grano===<br />
Para imaginarnos este proceso, pensemos que en lugar de la pesa colocamos encima del pistón un saco de arena de golpe, y que el saco tiene un pequeño orificio por el que va escapando la arena progresivamente.<br />
<br />
El trabajo total en este caso es<br />
<br />
<center><math>W = (+4.00-3.57)\,\mathrm{J}=+0.43\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
En este caso, hay un trabajo neto positivo, pero menor que en el caso anterior. En este caso se recupera parte de la energía potencial gravitatoria, porque a medida que el saco se va vaciando el pistón va subiendo y la arena que abandona el saco lo hace cada vez desde un punto más alto.<br />
<br />
===Compresión grano a grano y expansión con la pesa===<br />
Este sería el complementario del anterior. Para imaginarnos este proceso, pensemos que en lugar de la pesa colocamos encima del pistón un recipiente, en el que vamos echando lentamente la arena, y cuando está completo lo retiramos de golpe.<br />
<br />
El trabajo total en este caso es<br />
<br />
<center><math>W = (+3.57-3.20)\,\mathrm{J}=+0.37\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
En este caso, hay un trabajo neto positivo, también menor que en el caso anterior. En este caso se pierde toda la energía potencial gravitatoria, pero esta es menor que en el primer caso, porque al llenar gradualmente el recipiente, la arena va a entrando a alturas progresivamente más bajas, con lo que se pierde menos energía.<br />
<br />
===Compresión y expansión grano a grano===<br />
En este caso el trabajo es<br />
<br />
<center><math>W = (+3.47 - 3.5)\,\mathrm{J}= 0.00\,\mathrm{J}</math></center><br />
<br />
En este caso no se pierde nada de energía. Toda la energía potencial que se invierte en la compresión se recupera en la expansión y tanto el sistema como el ambiente vuelven al estado inicial. En este caso se dice que el proceso es reversible.</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Problemas_del_primer_principio_de_la_termodin%C3%A1mica_(GIE)Problemas del primer principio de la termodinámica (GIE)2024-02-18T15:10:23Z<p>Antonio: /* Compresión en varios pasos */</p>
<hr />
<div>==Trabajo en una compresión por un peso==<br />
Un tubo vertical de sección cuadrada de 4.0&thinsp;cm de lado contiene hidrógeno a 300&thinsp;K y 100&thinsp;kPa de presión, que también es la temperatura y presión exterior. La tapa del cilindro puede deslizarse sin rozamiento e inicialmente se encuentra a 10.0&thinsp;cm de altura.<br />
<br />
# Suponiendo que las paredes del tubo son diatermas, calcule el trabajo realizado sobre el sistema entre el estado inicial y el estado de equilibrio final sí&hellip;<br />
## Se coloca bruscamente sobre la tapa una pesa de 4.0&thinsp;kg. <br />
## Se colocan sobre el émbolo 4.0&thinsp;kg de arena grano a grano.<br />
# Calcule asimismo el trabajo si tras los procesos anteriores se retira el peso extra (o bien retirando la pesa o bien grano a grano).<br />
# Si consideramos el proceso completo de puesta y retirada del peso (en sus cuatro variantes posibles, según como se combinen), ¿cuál es el trabajo neto en cada uno?<br />
<br />
[[Trabajo en una compresión por un peso|Solución]]<br />
<br />
==Compresión en varios pasos==<br />
Como caso intermedio del problema &ldquo;[[Trabajo en una compresión por un peso]]&rdquo;, considere el caso de que en lugar de una pesa de 40&thinsp;N se coloca primero una de 20&thinsp;N, se deja que se alcance el equilibrio y se coloca luego otra de 20&thinsp;N. ¿Cuál es el trabajo en ese caso?<br />
<br />
Si en vez de dos pesas, se colocan sucesivamente 5 piezas de 8&thinsp;N cada una, ¿cuál sería el trabajo?<br />
<br />
Obtenga la expresión general para el caso de que se coloquen sucesivamente n pesas de peso (40/n)N. Tome el límite n→∞ y compruebe con el caso cuasiestático del problema citado.<br />
<br />
[[Compresión en varios pasos|Solución]]</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Coeficientes_de_un_gas_idealCoeficientes de un gas ideal2024-02-18T13:05:27Z<p>Antonio: /* Compresibilidad */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Calcule el coeficiente de dilatación y el coeficiente de compresibilidad isoterma de un gas ideal a 300&thinsp;K y 100&thinsp;kPa. <br />
<br />
==Coeficiente de dilatación==<br />
En el caso de un gas ideal es sencillo calcular el coeficiente de dilatación volumétrico. Para una presión dada el volumen es proporcional a la temperatura según la ley de Charles<br />
<br />
<center><math>V = \frac{nR}{p}T</math></center><br />
<br />
Derivando respecto a la temperatura y dividiendo por el propio volumen<br />
<br />
<center><math>\beta = \frac{1}{V}\,\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p = \frac{1}{V}\,\frac{nR}{p}=\frac{1}{T}</math></center><br />
<br />
Para una temperatura de 300&thinsp;K, este coeficiente de dilatación será igual<br />
<br />
<center><math>\beta(300\,\mathrm{K}) = \frac{1}{300}\mathrm{K}^{-1}=3.33\times 10^{-3}\mathrm{K}^{-1}</math></center><br />
<br />
Esto quiere decir que si tenemos 1&thinsp;L de gas a 300&thinsp;K y subimos su temperatura o 1&thinsp;K manteniendo constante su presión, el volumen aumenta en 3.3&thinsp;cm&sup3;.<br />
<br />
==Compresibilidad==<br />
Para un gas ideal puede calcularse de manera similar el coeficiente de compresibilidad<br />
<br />
<center><math>\kappa_T = \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_T = \frac{R_m T}{p}\,\frac{1}{R_m T} =\frac{1}{p}</math></center><br />
<br />
para 100&thinsp;kPa, vale 10<sup>&minus;5</sup>Pa<sup>&minus;1</sup>, que es un número pequeño, pero muy superior al del agua. Un gas ideal es unas 2000 veces más compresible que el agua.</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Calidad_de_una_mezclaCalidad de una mezcla2024-02-18T12:32:02Z<p>Antonio: /* Solución */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
La densidad del agua a 101.3&thinsp;kPa y 100&thinsp;&#8451; es de 958&thinsp;kg/m³ y la del vapor de agua a la misma temperatura y presión es de 0.59&thinsp;kg/m³. Se tiene 1000&thinsp;cm³ de agua a 100&#8451; en un cilindro con pistón móvil. Se suministra calor al agua de forma que se vaporiza parcialmente. Halle la calidad (o título) de la mezcla de agua y vapor de agua en el estado final, si el volumen final es <br />
# 2&thinsp;L <br />
# 1&thinsp;m³.<br />
==Solución==<br />
Inicialmente tenemos 1000&thinsp;cm&sup3; de agua, que tienen una masa<br />
<br />
<center><math>m_T=\rho_a V_0= 0.958\,\mathrm{kg}</math></center><br />
<br />
Cuando una parte del agua se vaporiza, la masa total no cambia, por lo que en todo momento se cumplirá<br />
<br />
<center><math>m_a + m_v = m_T\,</math></center><br />
<br />
con <math>m_a</math> y <math>m_v</math> las masas de agua y de vapor, respectivamente.<br />
<br />
Conocemos también el volumen total para cada uno de los apartados<br />
<br />
<center><math>V_a + V_v = V_T\,</math></center><br />
<br />
y, en función de las masas<br />
<br />
<center><math>\frac{m_a}{\rho_a}+\frac{m_v}{\rho_v}=V_T</math></center><br />
<br />
esto es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas con solución:<br />
<br />
<center><math>m_a = \frac{\rho_a(m_T-\rho_v V_T)}{\rho_a-\rho_v}\qquad \qquad m_v= \frac{\rho_v(\rho_aV_T-m_T)}{\rho_a-\rho_v}</math></center><br />
<br />
La calidad de la mezcla es<br />
<br />
<center><math>x = \frac{m_v}{m_a+m_v}=\frac{m_v}{m_T}=\frac{\rho_v}{\rho_a-\rho_v}\left(\frac{\rho_aV_T}{m_T}-1\right)=\frac{\rho_v}{\rho_a-\rho_v}\left(\frac{V_T}{V_0}-1\right)</math></center><br />
<br />
Numéricamente, con el volumen en litros:<br />
<br />
<center><math>x = \frac{0.59}{958-0.59}\left(\frac{V_T}{1}-1\right) = 0.000616246 (V_T-1)</math></center><br />
<br />
para un volumen de 2&thinsp;L<br />
<br />
<center><math>x = 0.000616246 = 0.0616\%</math></center><br />
<br />
y para 1000&thinsp;L<br />
<br />
<center><math>x = 0.000616246\times 999 = 0.615 = 61.5\%</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Modelo_de_atm%C3%B3sfera_isotermaModelo de atmósfera isoterma2024-02-18T10:31:00Z<p>Antonio: /* Presión en el Everest */</p>
<hr />
<div>==Modelo de atmósfera isoterma==<br />
En el modelo de la atmósfera isoterma (en el que se supone que toda la troposfera está a la misma temperatura), la presión disminuye con la altura como<br />
<center><math>p=p_0 \mathrm{e}^{-\alpha z}</math></center><br />
donde <math>z</math> es la altura sobre el nivel del mar y <math>p_0=101325\,\mathrm{Pa}</math>. Se sabe que, en el aeropuerto de El Alto, en La Paz (Bolivia), que se encuentra a 4061&thinsp;m de altitud, la presión atmosférica vale 62611&thinsp;Pa. También se sabe que la densidad del aire a nivel del mar vale <math>\rho_0=1.225\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3</math>.<br />
# ¿Cuánto vale la densidad del aire en el aeropuerto de El Alto?<br />
# ¿Cuánto vale la presión atmosférica en lo alto del Everest (8848&thinsp;m)?<br />
# La tabla adjunta da la temperatura de saturación del agua a diferentes presiones. <br />
&nbsp;<br />
<br />
{| class="bordeado"<br />
|-<br />
| <math>p (\mathrm{kPa})</math> <br />
| 15 || 20 || 25 || 30 || 35 || 40<br />
|-<br />
| <math>T_\mathrm{sat} (\mathrm{K})</math><br />
| 327.12 || 333.21 || 338.11 || 342.25 || 345.83 || 349.01<br />
|-<br />
| <math>p (\mathrm{kPa})</math> <br />
| 45 || 50 || 55 || 60 || 65 || 70<br />
|-<br />
| <math>T_\mathrm{sat} (\mathrm{K})</math><br />
| 351.86 || 354.47 || 356.86 || 359.08 || 361.14 || 363.08<br />
|-<br />
| <math>p (\mathrm{kPa})</math> <br />
| 75 || 80 || 85 || 90 || 95 || 100<br />
|-<br />
| <math>T_\mathrm{sat} (\mathrm{K})</math><br />
| 364.91 || 366.64 || 368.28 || 369.84 || 371.33 || 372.76<br />
|}<br />
&nbsp;<br />
: ¿A qué temperatura hierve el agua en el aeropuerto de El Alto? ¿Y en el Everest?<br />
<br />
==Densidad del aire==<br />
Por la ley de los gases ideales<br />
<br />
<center><math>\rho = \frac{p}{R_m T}</math></center><br />
<br />
y, si la temperatura es constante obtenemos la relación de proporcionalidad<br />
<br />
<center><math>\frac{\rho(z)}{\rho_0}=\frac{p}{p_0}</math></center><br />
<br />
que no es otra que la ley de Boyle.<br />
<br />
De aquí obtenemos la densidad en el aeropuerto de El Alto<br />
<br />
<center><math>\rho(4016\,\mathrm{m})=\rho(0\,\mathrm{m})\,\frac{p(4016\,\mathrm{m})}{p(0\,\mathrm{m})}= 1.225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\,\frac{62611}{101325}=0.757\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}</math></center><br />
<br />
==Presión en el Everest==<br />
Para hallar la presión a otra altura necesitamos hallar el valor de &alpha;. eso lo conseguimos usando los dos valores que conocemos<br />
<br />
<center><math>p(4016\,\mathrm{m}) = p(0\,\mathrm{m})\mathrm{e}^{-4016\,\alpha}</math></center><br />
<br />
y nos da<br />
<br />
<center><math>62611 = 101325 \mathrm{e}^{-4016\,\alpha} \qquad\Rightarrow\qquad \alpha=\frac{1}{4016\,\mathrm{m}}\ln\left(\frac{101325}{62611}\right) = 1.20\times 10^{-4}\mathrm{m}^{-1}</math></center><br />
<br />
Con esto podemos hallar la presión en el Everest<br />
<br />
<center><math>p(8848\,\mathrm{m}) = p_0 \mathrm{e}^{-8848\alpha} = 101325 \mathrm{e}^{-1.20\times 10^{-4}\cdot 8848} = 35084\,\mathrm{Pa}</math></center><br />
<br />
==Temperatura de ebullición==<br />
La ebullición se produce cuando la presión de saturación iguala a la atmosférica. Al nivel del mar es a 100&#8451;.<br />
<br />
En El Alto la presión es 62611&thinsp; que es un punto intermedio entre 60&thinsp;kPa y 65&thinsp;kPa, por lo que la temperatura de ebullición es un valor entre 359.08&thinsp;K y 361.14&thinsp;. Con una precisión de tres cifras, podemos aproximar la temperatura de ebullición por 360&thinsp;K = 87&#8451;<br />
<br />
En el everest la presión atmosférica es de 35&thinsp;kPa, para la cual la temperatura de saturación (y de ebullición) es 345.83&thinsp;K o aproximadamente 73&#8451;</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Expansi%C3%B3n_lineal_de_un_gasExpansión lineal de un gas2024-02-18T08:54:34Z<p>Antonio: Página creada con «==Enunciado== Se tiene un volumen de 1&thinsp;m³ de un gas ideal diatómico, a 100&thinsp;kPa y 300&thinsp;K. Sobre este gas se realiza un proceso cuasiestático en el que se aumenta gradualmente su presión y volumen de forma que en todo momento su presión es proporcional al volumen ocupado. Al final del proceso, el volumen del gas es de 3&thinsp;m³. ¿Cuál es la temperatura final del gas? ==Solución== Usamos la ley de los gases ideales <center><math>T_B = T_A…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Se tiene un volumen de 1&thinsp;m³ de un gas ideal diatómico, a 100&thinsp;kPa y 300&thinsp;K. Sobre este gas se realiza un proceso cuasiestático en el que se aumenta gradualmente su presión y volumen de forma que en todo momento su presión es proporcional al volumen ocupado. Al final del proceso, el volumen del gas es de 3&thinsp;m³. ¿Cuál es la temperatura final del gas?<br />
==Solución==<br />
Usamos la ley de los gases ideales<br />
<br />
<center><math>T_B = T_A \frac{p_B}{p_A}\,\frac{V_B}{V_A}</math></center><br />
<br />
si la presión es proporcional al volumen, <math>p = kV</math>, esto implica que cuando el volumen se multiplica por 3 la presión también se multiplica por 3 y por tanto<br />
<br />
<center><math>T_B = 300\cdot 3\cdot 3\,\mathrm{K}=2700\,\mathrm{K}</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Compresi%C3%B3n_lineal_de_un_gasCompresión lineal de un gas2024-02-17T08:39:25Z<p>Antonio: /* Representación gráfica */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Se comprime cuasiestáticamente un gas ideal que inicialmente se encuentra a presión <math>p_A = 100\,\mathrm{kPa}</math>, temperatura <math>T_A = 300\,\mathrm{K}</math> y<br />
ocupa un volumen <math>V_A = 0.01\,\mathrm{m}^3</math>, según la ley<br />
<br />
<center><math>p = 3p_A-\frac{2p_AV}{V_A}</math></center><br />
<br />
La compresión continúa hasta que la presión vale <math>p_B = 2p_A</math>.<br />
<br />
# Calcule la temperatura final del gas. ¿Es este un proceso isotermo?<br />
# Trace la curva que describe el proceso en un diagrama pV.<br />
# ¿Cuál es la temperatura máxima que alcanza el gas? ¿En qué estado la alcanza?<br />
<br />
==Temperatura final==<br />
Si escribimos la ecuación con valores numéricos, con la presión en kPa, la temperatura en K y el volumen en litros tenemos<br />
<br />
<center><math>p_A=100\qquad V_A = 10\qquad T_A = 300\qquad\qquad p_B = 2p_A = 200</math></center><br />
<br />
lo que llevado a la ecuación del proceso da <br />
<br />
<center><math>p = 300 - \frac{200}{10}V = 300 - 20V</math></center><br />
<br />
El volumen final corresponde al estado en el que la presión vale 200&thinsp;kPa<br />
<br />
<center><math>200 = 300 - 20V_B \qquad\Rightarrow\qquad V_B = 5\,\mathrm{L}</math></center><br />
<br />
Obtenemos la temperatura final a partir de la ecuación de los gases ideales.<br />
<br />
<center><math>\frac{p_AV_A}{T_A} = \frac{p_BV_B}{T_B}\qquad\Rightarrow\qquad T_B=T_A\,\frac{p_B}{p_A}\,\frac{V_B}{V_A}=300\,\frac{200}{100}\,\frac{5}{10}=300\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
Vemos que la temperatura final es la misma que la inicial.<br />
<br />
Podríamos pensar que se trata de un proceso isotermo, pero no lo es, ya que la temperatura cambia a lo largo del proceso. No basta con que la temperatura en los extremos sea la misma. Debe ser constante en todo el camino.<br />
<br />
Analíticamente tenemos para la temperatura en los estados intermedios<br />
<br />
<center><math>T = 300\,\frac{p}{100}\,\frac{V}{10}= 300\,\frac{300-20V}{100}\,\frac{V}{10} = 90V-6V^2</math></center><br />
<br />
que no es una constante.<br />
<br />
==Representación gráfica==<br />
Dado que la presión depende del volumen en la forma<br />
<br />
<center><math>p = 300-20V = a + b V\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>a = 300\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>b = -20</math></center><br />
<br />
es claro que la gráfica del proceso es un segmento rectilíneo. El punto inicial del segmento es <math>(10,300)</math> y el punto final corresponde a <math>(5,200)</math> <br />
<br />
<center>[[Archivo:calentamiento-lineal.png|600px]]</center><br />
<br />
Si fuera un proceso isotermo, la curva debería ser una hipérbola. Si trazamos la gráfica del proceso y de las isotermas, vemos que la temperatura inicialmente aumenta y luego disminuye.<br />
<br />
==Temperatura máxima==<br />
Antes hemos calculado la temperatura para cada volumen<br />
<br />
<center><math>T = 90V-6V^2\,</math></center><br />
<br />
La gráfica de esta función tiene una forma parabólica, con un máximo en algún punto intermedio entre el estado inicial y el final. Hallamos la posición del máximo igualando la derivada a cero.<br />
<br />
<center><math>0 = \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}=90-12V\qquad\Rightarrow\qquad V = \frac{90}{12}=7.5\,\mathrm{L}</math></center><br />
<br />
Este volumen corresponde al punto medio entre el estado inicial y el final. La temperatura en este punto es<br />
<br />
<center><math>T_\mathrm{max}=90\cdot 7.5-6\cdot(7.5)^2 = 337.5\,\mathrm{K}</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Dos_c%C3%A1maras_inicialmente_aisladasDos cámaras inicialmente aisladas2024-02-16T13:29:19Z<p>Antonio: Página creada con «==Enunciado== Dos cámaras A y B con el mismo volumen de aire están separadas por un émbolo que puede moverse libremente. Las paredes y el émbolo están aislados térmicamente. Inicialmente las dos cámaras están en equilibrio. Se retira el aislante del émbolo. Una vez que se vuelve a alcanzar el equilibrio, el volumen de A es el doble que el de B. center # Antes de que se retirara el aislante, ¿qué proporción había ent…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Dos cámaras A y B con el mismo volumen de aire están separadas por un émbolo que puede moverse libremente. Las paredes y el émbolo están aislados térmicamente. Inicialmente las dos cámaras están en equilibrio. Se retira el aislante del émbolo. Una vez que se vuelve a alcanzar el equilibrio, el volumen de A es el doble que el de B. <br />
[[Archivo:Dos-camaras-aisladas.png|center]]<br />
<br />
# Antes de que se retirara el aislante, ¿qué proporción había entre las temperaturas de A y B?<br />
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio, ¿qué proporción hay entre las densidades de masa del aire de ambas cámaras?<br />
<br />
==Proporción entre temperaturas==<br />
En el estado inicial las dos cámaras están a la misma presión <math>p_i</math>, pues el émbolo puede moverse. Los dos gases ocupan el mismo volumen <math>V_T/2</math>, la mitad del total, pero sus temperaturas son diferentes. <br />
<br />
Tras retirar el aislante térmico, los gases están ambos la misma presión <math>p_f</math> (pero no tiene por qué ser la misma que la inicial), las temperaturas son iguales, <math>T_f</math>, pues hay equilibrio térmico y los volúmenes son diferentes (<math>2V_T/3</math> y <math>V_T/3</math>).<br />
<br />
Relacionando el estado inicial y final del gas de la izquierda tenemos<br />
<br />
<center><math>T_{Li} = T_{Lf} \frac{V_{Li}}{V_{Lf}}\,\frac{p_{Li}}{p_{Lf}} = T_f \frac{V_T/2}{2V_T/3}\,\frac{p_i}{p_f} = \frac{3}{4}\,\frac{p_i}{p_f} T_f</math></center><br />
<br />
y para el gas de la derecha<br />
<br />
<center><math>T_{Ri} = T_{Rf} \frac{V_{Ri}}{V_{Rf}}\,\frac{p_{Ri}}{p_{Rf}} = T_f \frac{V_T/2}{V_T/3}\,\frac{p_i}{p_f} = \frac{3}{2}\,\frac{p_i}{p_f} T_f</math></center><br />
<br />
El cociente entre estas dos cantidades nos da<br />
<br />
<center><math>\frac{T_{Ri}}{T_{Rf}}= \frac{(3/2)(p_i/p_f)T_f}{(3/4)(p_i/p_f)T_f} = 2</math></center><br />
<br />
Vemos que inicialmente el gas a la derewcha está al doble de la temperatura del de la izquierda. Al alcanzarse el equilibrio térmico este gas se ha enfriado (y reducido su volumen) mientras el de la izquierda se ha calentado (y aumentado su volumen).<br />
<br />
==Proporción entre densidades==<br />
La densidad de un gas ideal se puede calcular por la ley de los gases ideales en su versión<br />
<br />
<center><math>\rho=\frac{p}{R_m T}</math></center><br />
<br />
Dado que en el estado final ambos gases están a la misma presión y a la misma temperatura, concluimos que ambos gases tienen la misma densidad.<br />
<br />
En el estado inicial, en cambio, el gas de la izquierda estaba a la mitad de temperatura que el de la derecha, pero a la misma presión, por lo que densidad era el doble.</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Tubo_con_c%C3%A1maras_con_hidr%C3%B3geno_y_nitr%C3%B3genoTubo con cámaras con hidrógeno y nitrógeno2024-02-12T23:03:32Z<p>Antonio: Página creada con «==Enunciado== Se tiene una cámara cilíndrica horizontal de 100&thinsp;cm&sup2; de sección y 60&thinsp;cm de longitud de paredes rígidas no aisladas térmicamente. En el punto medio del tubo se encuentra un émbolo (de espesor despreciable) que puede desplazarse, aunque inicialmente está fijado con pernos. En la cámara de la izquierda hay 2.8&thinsp;g de H<sub>2</sub> gaseoso y en la de la derecha 2.8&thinsp;g de N<sub>2</sub>. Los dos gases y el ambiente que lo…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Se tiene una cámara cilíndrica horizontal de 100&thinsp;cm&sup2; de sección y 60&thinsp;cm de longitud de paredes rígidas no aisladas térmicamente. En el punto medio del tubo se encuentra un émbolo (de espesor despreciable) que puede desplazarse, aunque inicialmente está fijado con pernos. En la cámara de la izquierda hay 2.8&thinsp;g de H<sub>2</sub> gaseoso y en la de la derecha 2.8&thinsp;g de N<sub>2</sub>. Los dos gases y el ambiente que los rodea están a 27&deg;C.<br />
# Halle la fuerza que los gases producen sobre el émbolo cuando éste se encuentra en la posición central.<br />
# Determine la posición final del émbolo una vez que se liberan los pernos, suponiendo que todas las superficies son diatermas<br />
<br />
==Fuerza==<br />
Sea <math>\ell = 60\,\mathrm{cm}</math> la longitud del tubo y <math>S = 100\,\mathrm{cm}^2</math> su sección. El volumen cada gas es el mismo, la mitad del del cilindro<br />
<br />
<center><math>V_H = V_N = \frac{S\ell}{2} = 3000\,\mathrm{cm}^3 =3\,\mathrm{L}</math></center><br />
<br />
En lo que sigue mediremos la presión en kPa y el volumen en L, de manera que su producto cumple <math>1\,\mathrm{kPa}\cdot 1\,\mathrm{L}=1\,\mathrm{J}</math>.<br />
<br />
También son iguales sus temperaturas<br />
<br />
<center><math>T_H = T_N = 300\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
Sus presiones, sin embargo, son diferentes. Aunque en las dos cámaras se encuentra la misma masa de gas, el número de moles es diferente. Obtenemos la cantidad de moles dividiendo por el peso molecular. Para el [http://es.wikipedia.org/wiki/Dihidr%C3%B3geno hidrógeno] <math>P_m = 2.016\,{\mathrm{g}}/{\mathrm{mol}}</math>, que podemos aproximar simplemente por 2.0<br />
<br />
<center><math>n_H = \frac{m}{P_m} = 1.4\,\mathrm{mol}</math></center><br />
<br />
y para el [http://es.wikipedia.org/wiki/Dinitr%C3%B3geno nitrógeno] <math>P_m = 28.0134\,{\mathrm{g}}/{\mathrm{mol}}</math>, que podemos aproximar simplemente por 28.0<br />
<br />
<center><math>n_N = \frac{m}{P_m} = 0.1\,\mathrm{mol}</math></center><br />
<br />
Esto nos da la presión del hidrógeno<br />
<br />
<center><math>p_H = \frac{n_H R T_H}{V_H}= \frac{1.4\times 8.314\times 300}{3}\,\mathrm{kPa} = 1164\,\mathrm{kPa}</math></center><br />
<br />
y la del nitrógeno<br />
<br />
<center><math>p_N = \frac{n_N R T_N}{V_N}= \frac{0.1\times 8.314\times 300}{2}\,\mathrm{kPa} = 83.14\,\mathrm{kPa}</math></center><br />
<br />
[[Archivo:dos-camaras-01.png|400px]]<br />
<br />
Vemos que la presión es mucho mayor en el lado del hidrógeno, por haber muchos más moles de este gas.<br />
<br />
La fuerza sobre el émbolo la obtenemos a partir de la diferencia de presiones<br />
<br />
<center><math>F = (p_H-p_N)S = (1164-83.14)\mathrm{kPa}\times 0.01\,\mathrm{m}^2 = 10.81\,\mathrm{kN}</math></center><br />
<br />
Resulta una fuerza gigantesca, debida a la elevada diferencia de presiones entre los dos lados. Esta fuerza va dirigida desde el lado del hidrógeno, que está a mayor presión, hacia el del nitrógeno, donde es más reducida.<br />
<br />
==Posición de equilibrio==<br />
[[Archivo:dos-camaras-02.png|right]]<br />
<br />
Si liberamos el pistón, este saldrá disparado (ya que se trata, en el fondo, de una pistola de aire comprimido), pero &ndash;suponiendo que no se rompa&ndash;, al expandirse el hidrógeno, se comprime el nitrógeno, con lo que la presión de uno disminuye y la del otro aumenta. Cuando se alcanza de nuevo el equilibrio mecánico, las dos presiones son iguales, aunque no sabemos cuanto vale, por ahora,<br />
<br />
<center><math>p_H = p_N\,</math></center><br />
<br />
y, puesto que el sistema tiene paredes diatermas, la temperatura de los dos gases será la misma e igual a la exterior<br />
<br />
<center><math>T_H = T_N = 300\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
Tampoco conocemos el volumen de cada gas, pero sí que juntos nos dan el volumen total. Si <math>\ell_H</math> y <math>\ell_N</math> son las longitudes de cada cámara en la dirección del eje del cilindro<br />
<br />
<center><math>\ell_H + \ell_N = \ell\qquad\qquad V_H = \ell_HS\qquad\qquad V_N = \ell_NS</math></center><br />
<br />
Nos queda entonces el sistema de ecuaciones<br />
<br />
<center><math>\ell_H+\ell_N = \ell\qquad\qquad \frac{n_HRT_H}{S\ell_H}=\frac{n_NRT_N}{S\ell_N}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{n_H}{\ell_H}=\frac{n_N}{\ell_N}</math></center><br />
<br />
con la solución<br />
<br />
<center><math>\ell_H = \frac{n_H\ell}{n_H+n_N}=56.0\,\mathrm{cm}\qquad\qquad \ell_N = \frac{n_N\ell}{n_H+n_N}=4.0\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
Vemos que el hidrógeno se expande hasta ocupar casi todo el cilindro.</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Equivalencia_de_una_atm%C3%B3sfera_t%C3%A9cnicaEquivalencia de una atmósfera técnica2024-02-12T19:27:05Z<p>Antonio: /* Solución */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Una atmósfera técnica (at) es la presión ejercida por el peso de un kilogramo sobre una superficie de 1&thinsp;cm&sup2;. ¿A cuántos pascales equivale 1&thinsp;at? ¿Y cuántas atmósferas estándar, atm? ¿Y cuantos psi?<br />
==Solución==<br />
La presión es pascales la obtenemos de fuerza partido por superficie<br />
<br />
<center><math>p=\frac{mg}{S}</math></center><br />
<br />
lo que nos da, usando el valor estándar de la gravedad, <math>g = 9.80665\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}</math><br />
<br />
<center><math>1\,\mathrm{at}=\frac{1\,\mathrm{kg}\times 9.80665\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}}{10^{-4}\,\mathrm{m}^2}= 98066.5\,\mathrm{Pa}</math></center><br />
<br />
vemos que es algo menos de 1&thinsp;bar (0.1&thinsp;MPa). La presión de los neumáticos, que se suele medir en bares, se expresa a menudo como, por ejemplo, &ldquo;2.5 kilos&rdquo; queriendo decir realmente 2.5&thinsp;bar.<br />
<br />
La atmósfera técnica es muy parecida a la atmósfera estándar<br />
<br />
<center><math>1\,\mathrm{at}=98066.5\,\mathrm{Pa}\times\left(\frac{1\,\mathrm{atm}}{101325\,\mathrm{Pa}}\right) = 0.968\,\mathrm{atm}</math></center><br />
<br />
De manera similar se pasa a psi:<br />
<br />
<center><math>1\,\mathrm{at}=98066.5\,\mathrm{Pa}\times\left(\frac{1\,\mathrm{psi}}{6896.76\,\mathrm{Pa}}\right) = 14.22\,\mathrm{psi}</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Equivalencia_de_un_psiEquivalencia de un psi2024-02-12T19:01:27Z<p>Antonio: Página creada con «==Enunciado== Una atmósfera equivale a 101325&thinsp;Pa. Un psi es la presión ejercida por una libra (4.448&thinsp;N) sobre un cuadrado de lado 1 pulgada (2.54&thinsp;cm). ¿A cuantos psi equivale una atmósfera? ==Solución== La equivalencia de psi en pascales la obtenemos mediante factores de conversión <center><math>1\,\mathrm{psi}=\left(\frac{1\,\mathrm{lb}_f}{1\,\mathrm{in}^2}\right)\times\left(\frac{4.448\,\mathrm{N}}{1\,\mathrm{lb}_f}\right)\times\left(\fr…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Una atmósfera equivale a 101325&thinsp;Pa. Un psi es la presión ejercida por una libra (4.448&thinsp;N) sobre un cuadrado de lado 1 pulgada (2.54&thinsp;cm). ¿A cuantos psi equivale una atmósfera?<br />
<br />
==Solución==<br />
La equivalencia de psi en pascales la obtenemos mediante factores de conversión<br />
<br />
<center><math>1\,\mathrm{psi}=\left(\frac{1\,\mathrm{lb}_f}{1\,\mathrm{in}^2}\right)\times\left(\frac{4.448\,\mathrm{N}}{1\,\mathrm{lb}_f}\right)\times\left(\frac{1\,\mathrm{in}}{0.0254\,\mathrm{m}}\right)=6894\,\mathrm{Pa}</math></center><br />
<br />
Puesto que una atmósfera son 101325 pascales queda<br />
<br />
<center><math>1\,\mathrm{atm}=1\,\mathrm{atm}\times\left(\frac{101325\,\mathrm{Pa}}{1\,\mathrm{atm}}\right)\times\left(\frac{1\,\mathrm{psi}}{6894\,\mathrm{Pa}}\right)=14.7\,\mathrm{psi}</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Term%C3%B3metro_con_dos_c%C3%A1maras_de_gasTermómetro con dos cámaras de gas2024-02-12T14:36:21Z<p>Antonio: /* Enunciado */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Se construye un termómetro de gas ideal según el siguiente principio: un tubo cilíndrico de sección <math>A</math> y longitud <math>2a</math> con paredes adiabáticas y bases diatermas es dividido por un pistón, también adiabático, que puede deslizarse sin rozamiento por el interior del tubo. En el interior de las dos cámaras se encuentra un gas ideal. Una de las dos cámaras se mantiene en contacto térmico con un foco a temperatura <math>T_0</math>, mientras que la otra se pone en contacto con el sistema cuya temperatura se quiere medir. Cuando las dos temperaturas son iguales el pistón se encuentra en la posición central y la presión del gas es <math>p_0</math>.<br />
<br />
# Calcule la temperatura absoluta <math>T</math> a la que se encuentra el sistema cuando el pistón se ha desplazado una cantidad <math>x</math> desde el centro hacia el sistema a <math>T_0</math>. ¿Resulta una escala lineal de temperaturas? ¿A cuánto tiende <math>x</math> si <math>T\to 0</math> o si <math>T\to\infty</math>? <br />
# Supongamos que el tubo mide 20&thinsp;cm, la temperatura de referencia es <math>T_0 = 300\,\mathrm{K}</math> y el pistón se desplaza 1&thinsp;cm. ¿Cuál es la temperatura del sistema exterior? <br />
<br />
<center>[[Archivo:Termometro_con_dos_camaras.png|600px]]</center><br />
<br />
==Escala de temperaturas==<br />
Nuestro sistema es el cilindro con las dos cámaras. Este sistema intercambia calor de dos modos. La cámara derecha cede o absorbe calor del foco a temperatura constante <math>T_0</math>, de modo que la temperatura de esta cámara es siempre <math>T_0</math>. La cámara de la izquierda intercambia calor con el sistema del que se quiere medir la temperatura. Es decir, '''ninguna de las dos cámaras es adiabática'''. Los procesos en la cámara de la derecha son isotermos, mientras que los de la izquierda no mantienen ninguna magnitud termodinámica constante.<br />
<br />
Para medir la temperatura de un sistema ponemos en contacto la cámara izquierda con él. El trasvase de calor que se produce hace que varíe el estado del gas en esta cámara, por lo que se altera el valor de la presión. Entonces, el pistón se desplaza, con lo cual cambia el volumen de los dos gases. El equilibrio se recupera cuando la presión a ambos lados del pistón sea la misma. Los dos gases tendrán en general temperaturas distintas pues el pistón es adiabático y no permite el paso de calor. <br />
<br />
Cuando las temperaturas son iguales en ambas cámaras el pistón está en el centro del cilindro y el volumen ocupado por los dos gases es el mismo<br />
<br />
<center><math>V_{L0}=V_{R0}=Sa\,</math></center><br />
<br />
Si el pistón se desplaza hacia la derecha, el volumen de la cámara izquierda aumenta y el de la derecha disminuye<br />
<br />
<center><math>\begin{array}{l}<br />
V_L=S(a+x)\\ \\ V_R=S(a-x)<br />
\end{array}<br />
</math></center><br />
Cuando el pistón se desplaza hacia la izquierda los valores de <math>x</math> son negativos, con lo que estas expresiones también dan el valor correcto del volumen ocupado por cada gas.<br />
<br />
Al poner en contacto el gas de la izquierda con el sistema a temperatura <math>T </math> el nuevo equilibrio se alcanza cuando las presiones en los dos gases son iguales. En ese instante, para la cámara de la izquierda<br />
<br />
<center><math>\frac{p_0Sa}{T_0}=\frac{p_{L0}V_{L0}}{T_{L0}}=\frac{p_LV_L}{T_L} = \frac{p S(a+x)}{T}</math></center><br />
<br />
y para la de la derecha<br />
<br />
<center><math>\frac{p_0Sa}{T_0}=\frac{p_{R0}V_{R0}}{T_{R0}}=\frac{p_RV_R}{T_R} = \frac{p S(a-x)}{T_0}</math></center><br />
<br />
Igualando ambas cantidades obtenemos<br />
<br />
<center><math>\frac{a+x}{T}=\frac{a-x}{T_0} \qquad\Rightarrow\qquad T = T_0\,\frac{a+x}{a-x}</math></center><br />
<br />
Está función no es lineal, pues su gráfica no corresponde a una línea recta.<br />
<br />
[[Imagen:Termometro_con_dos_camaras_T_x.png|600px|center]]<br />
<br />
Para examinar los límites propuestos en el enunciado despejamos <math>x </math> en función de <math>T</math><br />
<br />
<center><math><br />
\displaystyle x=\frac{T-T_0}{T+T_0}a<br />
</math></center><br />
<br />
Cuando <math>T\to 0</math> obtenemos <math>x\to -a</math>. Si el sistema exterior está muy frío el pistón tiende a situarse en el extremo izquierdo. En el otro límite, si <math>T\to\infty</math> se tiene <math>x\to +a</math>. Si el sistema está muy caliente el pistón se desplaza hacia la derecha.<br />
<br />
La figura muestra como depende la temperatura medida con la posición del émbolo. Pueden apreciarse los dos límites que hemos calculado.<br />
<br />
== Cálculo numérico de la temperatura ==<br />
De los datos del enunciado se deduce <math>a =10\,\mathrm{cm}</math> y <math>x =1\,\mathrm{cm}</math>. Si <math>T_0 = 300\,\mathrm{K}</math><br />
tenemos<br />
<center><br />
<math><br />
T = \frac{10+1}{10-1}\times 300=367\,\mathrm{K}=94\,^\circ\mathrm{C}<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
La presión en el equilibrio es<br />
<br />
<center><math>p_d = p_i = \frac{p_0a}{a-x}= 111\,\mathrm{kPa}</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Compresi%C3%B3n_de_un_gas_por_una_pesaCompresión de un gas por una pesa2024-02-12T12:40:08Z<p>Antonio: Página creada con «==Enunciado== Un cilindro vertical de sección cuadrada (esto es, un prisma) de 4.0&thinsp;cm de lado contiene hidrógeno a 27&deg;C y 100&thinsp;kPa de presión, que también es la temperatura y presión exterior. La tapa del cilindro puede deslizarse sin rozamiento e inicialmente se encuentra a 10.0&thinsp;cm de altura. Se coloca sobre la tapa una pesa de 40&thinsp;N. Halle la altura de la tapa una vez que se alcanza de nuevo el equilibrio térmico con el exterior.…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Un cilindro vertical de sección cuadrada (esto es, un prisma) de 4.0&thinsp;cm de lado contiene hidrógeno a 27&deg;C y 100&thinsp;kPa de presión, que también es la temperatura y presión exterior. La tapa del cilindro puede deslizarse sin rozamiento e inicialmente se encuentra a 10.0&thinsp;cm de altura. Se coloca sobre la tapa una pesa de 40&thinsp;N. Halle la altura de la tapa una vez que se alcanza de nuevo el equilibrio térmico con el exterior. ¿A qué temperatura habrá que calentar el gas para que la tapa vuelva a su posición inicial, con el peso todavía encima? <br />
<br />
==Compresión con temperatura final igual a la inicial==<br />
Cuando se coloca la pesa sobre el émbolo, aumenta la presión sobre el gas, siendo la nueva presión ejercida<br />
<br />
<center><math>p_\mathrm{ext}=p_\mathrm{atm}+\frac{mg}{S}</math></center><br />
<br />
Al ser esta presión superior a la interior, aparece una fuerza sobre el pistón y este desciende. Al hacerlo comprime el gas, aumentando su presión. En un proceso real, la presión interior llega a superar a la exterior, causando una fuerza hacia arriba y un &ldquo;rebote&rdquo; del émbolo. Tras una serie de oscilaciones, el pistón se detiene en una posición de equilibrio, en la que la presión del gas iguala a la exterior. Puesto que en el estado final la temperatura final iguala a la inicial, podemos aplicar la ley de Boyle<br />
<br />
<center><math>p_AV_A = p_BV_B\,</math></center><br />
<br />
siendo<br />
<br />
<center><math>p_A = p_\mathrm{atm}\qquad V_A = Sh_A\qquad\qquad p_B= p_\mathrm{atm}+\frac{mg}{S}\qquad V_B = Sh_B</math></center><br />
<br />
lo que nos da<br />
<br />
<center><math>p_\mathrm{atm}h_A = \left(p_\mathrm{atm}+\frac{mg}{S}\right)h_B \qquad\Rightarrow\qquad h_B = \frac{p_\mathrm{atm}}{p_\mathrm{atm}+mg/S}h_A</math></center><br />
<br />
Sustituyendo los valores numéricos<br />
<br />
<center><math>h_B = \frac{10^5\,\mathrm{Pa}}{\left(10^5+40/(0.04^2)\right)\mathrm{Pa}}10.0\,\mathrm{cm} = 8\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
Vemos que la bajada del pistón es pequeña, ya que el incremento de la presión supone solo<br />
<br />
<center><math>\frac{\Delta p}{p_\mathrm{atm}} = \frac{mg}{p_\mathrm{atm}S}=20\%</math></center><br />
<br />
y esto considerando un peso muy elevado, ya que para conseguir 4kg de mercurio, por ejemplo, en un tubo de 16cm&sup2; de sección hace falta añadir 18cm de mercurio, lo que es muy elevado (la cámara de aire mide solo 10cm).<br />
<br />
Esto muestra lo grande que es realmente la presión atmosférica, ya que la fuerza que ejerce equivale la que crearía una pesa de unos 16&thinsp;kg, por lo que una de solo 4&thinsp;kg no hace mucha mella.<br />
<br />
==Calentamiento isobárico==<br />
En el segundo proceso la presión permanece constante, mientras que el volumen aumenta con la temperatura. En este caso la ley de los gases ideales se reduce a la ley de Charles<br />
<br />
<center><math>\frac{V_B}{T_B}=\frac{V_C}{T_C}</math></center><br />
<br />
donde<br />
<br />
<center><math>V_B = Sh_B\qquad T_B = T_A\qquad\qquad V_C = V_A = Sh_A</math></center><br />
<br />
lo que resulta en<br />
<br />
<center><math>T_C = \frac{h_A}{h_B}T_A = \frac{10.0}{8.0}300\,\mathrm{K} = 375\,\mathrm{K} = 102\,^\circ\mathrm{C}</math></center><br />
<br />
El incremento de temperatura necesario es entonces igual a 75&deg;C.</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/C%C3%A1lculo_de_coeficientesCálculo de coeficientes2024-02-12T12:16:19Z<p>Antonio: /* Coeficiente de compresibilidad */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
La densidad del agua, en kg/m³, para valores próximos a una presión de 15.0&thinsp;MPa y una temperatura de 300℃ (estado del agua en una central nuclear) viene dada por la siguiente tabla:<br />
<br />
{| class="bordeado" style="margin:auto"<br />
|-<br />
| &rho; (kg/m&sup3;) || T = 300 ℃ || T = 301 ℃<br />
|-<br />
| p = 15.0&thinsp;MPa || 725.55 || 723.46<br />
|-<br />
| p = 15.1&thinsp;MPa || 725.75 || 723.66<br />
|}<br />
<br />
# ¿Cuánto vale, aproximadamente, el coeficiente de dilatación volumétrica, β, a 300℃ y 15.0&thinsp;MPa?<br />
# ¿Cuánto vale, aproximadamente, el coeficiente de compresibilidad, <math>\kappa_T</math>, a 300℃ y 15.0&thinsp;MPa?<br />
<br />
==Coeficiente de dilatación==<br />
Para obtener el coeficiente de dilatación analizamos cómo varía la densidad con la temperatura<br />
<br />
<center><math>\beta = -\frac{1}{\rho}\,\left(\frac{\partial\rho}{\partial T}\right)_p\simeq -\frac{1}{\rho}\,\frac{\Delta\rho}{\Delta T}</math></center><br />
<br />
Los incrementos se calculan comparando valores en la misma fila<br />
<br />
<center><math>\Delta T = 301\,^\circ\mathrm{C} - 300\,^\circ\mathrm{C} = 1\,^\circ\mathrm{C}</math></center><br />
<br />
<center><math>\Delta\rho=\rho(301\,^\circ\mathrm{C})-\rho(301\,^\circ\mathrm{C}) = \left(723.46\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}-725.55\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\right) = -2.09\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}</math></center><br />
<br />
y obtenemos<br />
<br />
<center><math>\beta = -\frac{1}{725.55\,{\mathrm{kg}}/{\mathrm{m}^3}}\frac{-2.09\,{\mathrm{kg}}/{\mathrm{m}^3}}{1\,\mathrm{K}}=+2.88\times{10}^{-3}\mathrm{K}^{-1}</math></center><br />
<br />
==Coeficiente de compresibilidad==<br />
Para este coeficiente operamos de manera similar, pero con las columnas en lugar de las filas<br />
<br />
<center><math>\kappa = \frac{1}{\rho}\,\left(\frac{\partial\rho}{\partial p}\right)_T\simeq -\frac{1}{\rho}\,\frac{\Delta\rho}{\Delta p}</math></center><br />
<br />
siendo los incrementos<br />
<br />
<center><math>\Delta p = 15.1\,\mathrm{Mpa} - 15.0\,\mathrm{MPa} = 0.1\,\mathrm{MPa}=10^5\,\mathrm{Pa}</math></center><br />
<br />
<center><math>\Delta\rho=\rho(15.1\,\mathrm{Mpa})-\rho(15.0\,\mathrm{MPa}) = \left(725.75\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}-725.55\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\right) = 0.20\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}</math></center><br />
<br />
lo que nos da<br />
<br />
<center><math><br />
\kappa= \frac{1}{725.55\,{\mathrm{kg}}/{\mathrm{m}^3}}\frac{0.20\,{\mathrm{kg}}/{\mathrm{m}^3}}{10^5 \mathrm{Pa}}=+2.76\times 10^{-9}\mathrm{Pa}^{-1}</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Dilataci%C3%B3n_de_tapaDilatación de tapa2024-02-09T12:29:08Z<p>Antonio: Página creada con «==Enunciado== Una forma de abrir un bote de vidrio cuya tapa metálica está demasiado apretada consiste en sumergirlo en un baño de agua caliente. Si sumergimos en agua a 60&thinsp;&deg;C un bote de 4.0&thinsp;cm de radio con tapa de estaño que a 20&thinsp;&deg;C encaja perfectamente y el coeficiente de dilatación lineal del vidrio es <math>9\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}</math> y el del estaño es <math>23\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}</math>, ¿cuánta holgura que…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Una forma de abrir un bote de vidrio cuya tapa metálica está demasiado apretada consiste en sumergirlo en un baño de agua caliente. Si sumergimos en agua a 60&thinsp;&deg;C un bote de 4.0&thinsp;cm de radio con tapa de estaño que a 20&thinsp;&deg;C encaja perfectamente y el coeficiente de dilatación lineal del vidrio es <math>9\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}</math> y el del estaño es <math>23\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}</math>, ¿cuánta holgura queda al calentarlo?<br />
==Solución==<br />
Aplicamos la ley de dilatación a los radios<br />
<br />
<center><math>\Delta R = R_0\alpha\,\Delta T</math></center><br />
<br />
puesto que inicialmente los dos tienen el mismo radio y el incremento de temperatura es el mismo para vidrio y tapa, podemos hallar la diferencia entre los diámetros como<br />
<br />
<center><math>\Delta R_2-\Delta R_1 = R_0(\alpha_2-\alpha_1)\,\Delta T</math></center><br />
<br />
Sustituimos los valores numéricos<br />
<br />
<center><math>\Delta R_2-\Delta R_1 = 4.0\,\mathrm{cm}\times(23-9)\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}\times 40\,\mathrm{K} = 22.4\times 10^{-6}\mathrm{m}=22\,\mu\mathrm{m}</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Dilataci%C3%B3n_de_ra%C3%ADlesDilatación de raíles2024-02-09T12:27:00Z<p>Antonio: Página creada con «==Enunciado== Los raíles ferroviarios son de acero y tienen 18&thinsp;m de longitud a 20&deg;C. Si deben operar entre -10&deg;C y 60&deg;, ¿qué espacio debe dejarse como mínimo entre un tramo y el siguiente si se tienden a una temperatura de 20&deg;? '''Dato:''' Coeficiente de dilatación lineal del acero: 13&times;10<sup>&minus;6</sup>K<sup>&minus;1</sup> ==Solución== Aplicando la ley de la dilatación lineal <center><math>\Delta L = L\alpha\,\Delta T = 18\ti…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Los raíles ferroviarios son de acero y tienen 18&thinsp;m de longitud a 20&deg;C. Si deben operar entre -10&deg;C y 60&deg;, ¿qué espacio debe dejarse como mínimo entre un tramo y el siguiente si se tienden a una temperatura de 20&deg;?<br />
<br />
'''Dato:''' Coeficiente de dilatación lineal del acero: 13&times;10<sup>&minus;6</sup>K<sup>&minus;1</sup><br />
<br />
==Solución==<br />
Aplicando la ley de la dilatación lineal<br />
<br />
<center><math>\Delta L = L\alpha\,\Delta T = 18\times 13\times 10^{-6}\times(60-20)\,\mathrm{m}=0.00936\,\mathrm{m}\simeq 1\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
Nótese que hay que considerar toda la dilatación lineal de los 18&thinsp;m, y no la mitad (considerando que el raíl se expande en los dos sentidos) ni el doble (considerando que hay dos raíles, uno a continuación del otro). Los dos factores se cancelan. Cada raíl se dilatará 5&thinsp;mm a cada lado, pero al ser dos raíles sucesivos, el espaciado debe ser 5&thinsp;mm&thinsp;+&thinsp;5&thinsp;mm&thinsp;=&thinsp;1&thinsp;cm.</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Dilataci%C3%B3n_de_una_esfera_met%C3%A1licaDilatación de una esfera metálica2024-01-31T14:49:57Z<p>Antonio: /* Dilatación en el volumen */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Se tiene una bola hueca de hierro que a 20&deg;C tiene un radio interior de 12.0&thinsp;mm y un radio exterior de 15.0&thinsp;mm, siendo la densidad del hierro a esta temperatura 7874&thinsp;kg/m&sup3; y su coeficiente de dilatación lineal 11.8&times;10<sup>&minus;6</sup>K<sup>&minus;1</sup>.<br />
<br />
Se eleva la temperatura de la bola a 50&deg;C. Determine:<br />
<br />
# Los nuevos radios interior y exterior de la bola.<br />
# El incremento en el volumen ocupado por el hierro.<br />
# La variación en la densidad del hierro<br />
<br />
==Enunciado==<br />
Se tiene una bola hueca de hierro que a 20&deg;C tiene un radio interior de 12.0&thinsp;mm y un radio exterior de 15.0&thinsp;mm, siendo la densidad del hierro a esta temperatura 7874&thinsp;kg/m&sup3; y su coeficiente de dilatación lineal 11.8&times;10<sup>&minus;6</sup>K<sup>&minus;1</sup>.<br />
<br />
Se eleva la temperatura de la bola a 50&deg;C. Determine:<br />
<br />
# Los nuevos radios interior y exterior de la bola.<br />
# El incremento en el volumen ocupado por el hierro.<br />
# La densidad del hierro a 50&deg;C.<br />
# Si la bola de hierro está llena de aire que inicialmente tiene una presión de 100&thinsp;kPa, ¿cuál será la presión del gas cuando la esfera está a 50&deg;C?<br />
<br />
==Dilatación de los radios==<br />
Si el cambio de temperatura es pequeño, todas las distancias siguen la misma ley de dilatación<br />
<br />
<center><math>L(T) = L_0(1+\alpha (T-T_0))\,</math></center><br />
<br />
o, considerando solo incrementos<br />
<br />
<center><math>\Delta L = \alpha L_0\,\Delta T</math></center><br />
<br />
Puesto que los incrementos son usualmente muy pequeños, es preferible trabajar con esta segunda fórmula, ya que en la primera pueden darse errores de redondeo.<br />
<br />
El incremento en el radio exterior es<br />
<br />
<center><math>\Delta R_\mathrm{ext} = R_\mathrm{ext} \alpha\,\Delta T = (15.0\,\mathrm{mm})\times (11.8\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1})\times(30\,\mathrm{K}) = 0.00531\,\mathrm{mm}= 5.31\,\mu\mathrm{m}</math></center><br />
<br />
Vemos que la dilatación es prácticamente inapreciable, ya que la longitud pasa de 15.0&thinsp;mm a 15.00531&thinsp;mm, con lo cual, si se trabaja con tres cifras significativas, este aumento es despreciable y puede ser ignorado.<br />
<br />
El radio interior también crece en la misma proporción, es decir, el hueco interior se hace más grande,<br />
<br />
<center><math>\Delta R_\mathrm{int} = R_\mathrm{int} \alpha\,\Delta T = (11.0\,\mathrm{mm})\times (11.8\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1})\times(30\,\mathrm{K}) = 0.00425\,\mathrm{mm}= 4.25\,\mu\mathrm{m}</math></center><br />
<br />
==Dilatación en el volumen==<br />
Una vez que tenemos los nuevos radios interior y exterior, podríamos hallar el volumen mediante la fórmula para una corona esférica<br />
<br />
<center><math>V = \frac{4\pi}{3}\left(R_\mathrm{ext}^3-R_\mathrm{int}^3\right)</math></center><br />
<br />
Hallando el volumen posterior a la dilatación y restándole el anterior a ella, tendríamos la dilatación volumétrica. Sin embargo, dada la pequeñez de las dilataciones en los radios (de un 0.03%), al hacer los cálculos nos saldría que el volumen final es prácticamente idéntico al inicial y la dilatación es nula.<br />
<br />
Por ello, es preferible trabajar también con incrementos para el volumen y aplicar la fórmula para la dilatación correspondiente<br />
<br />
<center><math>\Delta V = V_0\beta\,\Delta T</math></center><br />
<br />
donde el coeficiente de dilatación volumétrica es el triple del lineal<br />
<br />
<center><math>\beta = 3\alpha = 3\times 11.8\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}= 35.4\times 10^{-6}\,\mathrm{K}^{-1}</math></center><br />
<br />
El volumen inicial de la bola es<br />
<br />
<center><math>V_0 = \frac{4\pi}{3}\left(15.0^3-12.0^3\right)\mathrm{mm}^3 = 6898.954\,\mathrm{mm}^3\simeq 6.90\,\mathrm{cm}^3</math></center><br />
<br />
lo que nos da un incremento en el volumen<br />
<br />
<center><math>\Delta V = V_0\beta\,\Delta T = (6.90\,\mathrm{cm}^3)\times (35.4\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1})\times (30\,\mathrm{K}) = 7.33\,\mathrm{mm}^3</math></center><br />
<br />
==Cambio en la densidad==<br />
Puesto que la masa permanece constante, un aumento en el volumen implica una disminución en la densidad de masa, siendo su variación<br />
<br />
<center><math>\Delta \rho = -\rho_0\beta\,\Delta T</math></center><br />
<br />
cuyo valor en este caso es<br />
<br />
<center><math>\Delta \rho = -\left(7874\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\right)\times (35.4\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1})\times (30\,\mathrm{K}) = -8.36\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}</math></center><br />
<br />
lo que nos da una densidad tras la dilatación de aproximadamente<br />
<br />
<center><math>\rho' = \rho_0+\Delta \rho = 7866\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Fahrenheit_451Fahrenheit 4512024-01-31T14:24:22Z<p>Antonio: Página creada con «==Enunciado== El título de la novela de Ray Bradbury “Fahrenheit 451” se refiere a la temperatura a la que arde el papel. Si 32°F son 0℃ y 212 °F son 100℃, ¿cómo se titularía esta novela en la escala absoluta? ==Solución== La relación entre la temperatura en grados Celsius y en grados Fahrenheit es lineal <center><math>t_C = a + b t_F\,</math></center> donde los coeficientes los sacamos de que conocemos dos puntos fijos <center><math>0 =a + 32b\q…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
El título de la novela de Ray Bradbury “Fahrenheit 451” se refiere a la temperatura a la que arde el papel. Si 32°F son 0℃ y 212 °F son 100℃, ¿cómo se titularía esta novela en la escala absoluta?<br />
<br />
==Solución==<br />
La relación entre la temperatura en grados Celsius y en grados Fahrenheit es lineal<br />
<br />
<center><math>t_C = a + b t_F\,</math></center><br />
<br />
donde los coeficientes los sacamos de que conocemos dos puntos fijos<br />
<br />
<center><math>0 =a + 32b\qquad\qquad 100 = a + 212b</math></center><br />
<br />
de donde<br />
<br />
<center><math>t_C = \frac{5}{9}(t_F-32)</math></center><br />
<br />
Sustituyendo aquí el valor de la temperatura de combustión del papel<br />
<br />
<center><math>t_C = \frac{5}{9}(451-32)=233^\circ\mathrm{C}</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Nueva_escala_de_temperaturaNueva escala de temperatura2024-01-31T14:22:37Z<p>Antonio: /* Solución */</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Zorg, un habitante de Titán, construye una escala de temperaturas basada en el metano tal que a la fusión (91 K) le corresponden 0 °Z y a la ebullición (116 K) 100 °Z. ¿Cuál es la temperatura del cero absoluto en esta escala?<br />
==Solución==<br />
La relación entre las dos escalas de temperatura es lineal<br />
<br />
<center><math>T = a + b t_Z\,</math></center><br />
<br />
Hallamos a y b de los dos puntos conocidos<br />
<br />
<center><math>91 = a + b\cdot 0\qquad \qquad 116 = a + 100b</math></center><br />
<br />
de donde<br />
<br />
<center><math>a = 91\qquad \qquad b = 0.25</math></center><br />
<br />
por lo que la relación es <br />
<br />
<center><math>T = 91 + 0.25t_Z\,</math></center><br />
<br />
Para <math>T=0</math> queda<br />
<br />
<center><math>t_Z = -\frac{91}{0.25}= -364\,^\circ\mathrm{Z}</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Conversi%C3%B3n_entre_escalas_de_temperaturasConversión entre escalas de temperaturas2024-01-31T13:58:03Z<p>Antonio: Página creada con «==Enunciado== Exprese las siguientes temperaturas en la escala Celsius, absoluta y Fahrenheit: # Cero absoluto # 0&deg;F # 100&deg;F # Punto triple del agua # Punto de fusión del azufre a 1&thinsp;atm # Punto de sublimación del hielo seco a 1&thinsp;atm ==Cero absoluto== El cero absoluto es, por definición <center><math>T = 0\,\mathrm{K}</math></center> Para pasar a la escala Celsius simplemente restamos 273.15 <center><math>t_C = T - 273.15 = -273.15\,^\ci…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Exprese las siguientes temperaturas en la escala Celsius, absoluta y Fahrenheit:<br />
# Cero absoluto <br />
# 0&deg;F <br />
# 100&deg;F<br />
# Punto triple del agua <br />
# Punto de fusión del azufre a 1&thinsp;atm <br />
# Punto de sublimación del hielo seco a 1&thinsp;atm<br />
<br />
==Cero absoluto==<br />
El cero absoluto es, por definición<br />
<br />
<center><math>T = 0\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
Para pasar a la escala Celsius simplemente restamos 273.15<br />
<br />
<center><math>t_C = T - 273.15 = -273.15\,^\circ\mathrm{C}</math></center><br />
<br />
Su valor en la escala Fahrenheit lo obtenemos sustituyendo en la relación correspondiente<br />
<br />
<center><math>t_F = \frac{9}{5}t_C + 32 = \frac{9}{5}\left(-273.15\right)+32 = -459.67\,^\circ\mathrm{F}</math></center><br />
<br />
==0&thinsp;&deg;F==<br />
En la escala Fahrenheit tenemos<br />
<br />
<center><math>t_F = 0\,^\circ\mathrm{F}</math></center><br />
<br />
Pasamos a grados Celsius despejando en la relación entre las dos escalas<br />
<br />
<center><math>0 = \frac{9}{5}t_C+32\qquad\Rightarrow\qquad t_C = -\frac{160}{9}= -17.78\,^\circ\mathrm{C}</math></center><br />
<br />
y una vez que tenemos esto, la temperatura absoluta es inmediata<br />
<br />
<center><math>T = t_C + 273.15 = 255.37\,K</math></center><br />
<br />
==100&thinsp;&deg;F==<br />
En este caso<br />
<br />
<center><math>t_F = 100\,^\circ\mathrm{F}</math></center><br />
<br />
Operando igual que antes<br />
<br />
<center><math>100 = \frac{9}{5}t_C+32\qquad\Rightarrow\qquad t_C = \frac{340}{9}= 37.78\,^\circ\mathrm{C}</math></center><br />
<br />
y la absoluta<br />
<br />
<center><math>T = t_C + 273.15 = 310.93\,K</math></center><br />
<br />
Vemos que el 100&deg;F no corresponde a la &ldquo;temperatura de un hombre sano&rdquo; sino a uno febril. La referencia que eligió Fahrenheit no fue para 100&deg;F, sino para 96&deg;F, que corresponde a 35.56&deg;C, mucho más adecuada para la salud.<br />
==Punto triple==<br />
El punto triple del agua es aquél en que existe equilibrio de fases entre el agua, el hielo y el vapor de agua. Este estado se produce en las mismas condiciones en cualquier lugar del universo. La temperatura absoluta de este punto, por definición, es<br />
<br />
<center><math>T = 273.16\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
Lo de por definición se debe a que es justamente este dato el que usa para definir el kelvin.<br />
<br />
La temperatura en grados Celsius de este punto es muy próxima, pero no igual, al cero de la escala:<br />
<br />
<center><math>t_C = 0.01\,^\circ\mathrm{C}</math></center><br />
<br />
y la correspondiente en la escala Fahrenheit<br />
<br />
<center><math>t_F = \frac{9}{5}(0.01)+32 = 32.02\,^\circ\mathrm{F}</math></center><br />
==Punto de fusión del azufre==<br />
La temperatura a la que el [http://es.wikipedia.org/wiki/Azufre azufre] sólido se funde a la presión de una atmósfera es, en la escala absoluta<br />
<br />
<center><math>T = 388.36\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
que en la escala Celsius vale<br />
<br />
<center><math>t_C = 388.36-273.15 = 115.21\,^\circ\mathrm{C}</math></center><br />
<br />
y en la Fahrenheit<br />
<br />
<center><math>t_F = 239.38\,^\circ\mathrm{F}</math></center><br />
<br />
==Sublimación del hielo seco==<br />
El &ldquo;hielo seco&rdquo; es la denominación que se le da al al [http://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%B3xido_de_carbono dióxido de carbono] congelado. A la presión de 1&thinsp;atm, este sólido no se licúa, sino que pasa directamente a gas (''sublimación''). Esto ocurre a la temperatura<br />
<br />
<center><math>t_C = -78.5\,^\circ\mathrm{C}</math></center><br />
<br />
que se expresa en la escala absoluta<br />
<br />
<center><math>T = 194.6\,\mathrm{K}</math></center><br />
<br />
y en la Fahrenheit<br />
<br />
<center><math>t_F =-109.3\,^\circ\mathrm{F}</math></center></div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Problemas_de_introducci%C3%B3n_a_la_termodin%C3%A1mica_(GIOI)Problemas de introducción a la termodinámica (GIOI)2024-01-31T13:57:38Z<p>Antonio: /* Calidad de una mezcla */</p>
<hr />
<div>==Conversión entre escalas de temperaturas==<br />
Exprese las siguientes temperaturas en la escala Celsius, absoluta y Fahrenheit:<br />
# Cero absoluto <br />
# 0&deg;F <br />
# 100&deg;F<br />
# Punto triple del agua <br />
# Punto de fusión del azufre a 1&thinsp;atm <br />
# Punto de sublimación del hielo seco a 1&thinsp;atm<br />
<br />
[[Conversión entre escalas de temperaturas|Solución]]<br />
<br />
==Nueva escala de temperatura==<br />
Zorg, un habitante de Titán, construye una escala de temperaturas basada en el metano tal que a la fusión (91 K) le corresponden 0 °Z y a la ebullición (116 K) 100 °Z. ¿Cuál es la temperatura del cero absoluto en esta escala?<br />
<br />
[[Nueva escala de temperatura|Solución]]<br />
<br />
==Fahrenheit 451==<br />
El título de la novela de Ray Bradbury “Fahrenheit 451” se refiere a la temperatura a la que arde el papel. Si 32°F son 0℃ y 212 °F son 100℃, ¿cómo se titularía esta novela en la escala absoluta?<br />
<br />
[[Fahrenheit 451|Solución]]<br />
<br />
==Aire en una habitación==<br />
Estime la masa de aire en el aula 310 de la ETSI (a) Un día de enero a las 5 de la madrugada. (b) Un día de julio a las 4 de la tarde. Razone las aproximaciones efectuadas.<br />
<br />
[[Aire en una habitación|Solución]]<br />
<br />
==Dilatación de una esfera metálica==<br />
Se tiene una bola hueca de hierro que a 20&deg;C tiene un radio interior de 12.0&thinsp;mm y un radio exterior de 15.0&thinsp;mm, siendo la densidad del hierro a esta temperatura 7874&thinsp;kg/m&sup3; y su coeficiente de dilatación lineal 11.8&times;10<sup>&minus;6</sup>K<sup>&minus;1</sup>.<br />
<br />
Se eleva la temperatura de la bola a 50&deg;C. Determine:<br />
<br />
# Los nuevos radios interior y exterior de la bola.<br />
# El incremento en el volumen ocupado por el hierro.<br />
# La variación en la densidad del hierro<br />
<br />
[[Dilatación de una esfera metálica|Solución]]<br />
<br />
==Dilatación de raíles==<br />
Los raíles ferroviarios son de acero y tienen 18&thinsp;m de longitud a 20&deg;C. Si deben operar entre -10&deg;C y 60&deg;, ¿qué espacio debe dejarse como mínimo entre un tramo y el siguiente si se tienden a una temperatura de 20&deg;?<br />
<br />
'''Dato:''' Coeficiente de dilatación lineal del acero: 13&times;10<sup>&minus;6</sup>K<sup>&minus;1</sup><br />
<br />
[[Dilatación de raíles|Solución]]<br />
<br />
==Dilatación de tapa==<br />
Una forma de abrir un bote de vidrio cuya tapa metálica está demasiado apretada consiste en sumergirlo en un baño de agua caliente. Si sumergimos en agua a 60&thinsp;&deg;C un bote de 4.0&thinsp;cm de radio con tapa de estaño que a 20&thinsp;&deg;C encaja perfectamente y el coeficiente de dilatación lineal del vidrio es <math>9\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}</math> y el del estaño es <math>23\times 10^{-6}\mathrm{K}^{-1}</math>, ¿cuánta holgura queda al calentarlo?<br />
<br />
[[Dilatación de tapa|Solución]]<br />
<br />
==Cálculo de coeficientes==<br />
La densidad del agua, en kg/m³, para valores próximos a una presión de 15.0&thinsp;MPa y una temperatura de 300℃ (estado del agua en una central nuclear) viene dada por la siguiente tabla:<br />
<br />
{| class="bordeado" style="margin:auto"<br />
|-<br />
| &rho; (kg/m&sup3;) || T = 300 ℃ || T = 301 ℃<br />
|-<br />
| p = 15.0&thinsp;MPa || 725.55 || 723.46<br />
|-<br />
| p = 15.1&thinsp;MPa || 725.75 || 723.66<br />
|}<br />
<br />
# ¿Cuánto vale, aproximadamente, el coeficiente de dilatación volumétrica, β, a 300℃ y 15.0&thinsp;MPa?<br />
# ¿Cuánto vale, aproximadamente, el coeficiente de compresibilidad, <math>\kappa_T</math>, a 300℃ y 15.0&thinsp;MPa?<br />
<br />
[[Cálculo de coeficientes|Solución]]<br />
<br />
==Compresión de un gas por una pesa==<br />
Un cilindro vertical de sección cuadrada (esto es, un prisma) de 4.0&thinsp;cm de lado contiene hidrógeno a 27&deg;C y 100&thinsp;kPa de presión, que también es la temperatura y presión exterior. La tapa del cilindro puede deslizarse sin rozamiento e inicialmente se encuentra a 10.0&thinsp;cm de altura. Se coloca sobre la tapa una pesa de 40&thinsp;N. Halle la altura de la tapa una vez que se alcanza de nuevo el equilibrio térmico con el exterior. ¿A qué temperatura habrá que calentar el gas para que la tapa vuelva a su posición inicial, con el peso todavía encima? <br />
<br />
[[Compresión de un gas por una pesa|Solución]]<br />
<br />
==Termómetro con dos cámaras de gas==<br />
Se construye un termómetro de gas ideal según el siguiente principio: un tubo cilíndrico de sección <math>S</math> y longitud <math>2a</math> con paredes adiabáticas y bases diatermas es dividido por un pistón, también adiabático, que puede deslizarse sin rozamiento por el interior del tubo. En el interior de las dos cámaras se encuentra un gas ideal. Una de las dos cámaras se mantiene en contacto térmico con un foco a temperatura <math>T_0</math>, mientras que la otra se pone en contacto con el sistema cuya temperatura se quiere medir. Cuando las dos temperaturas son iguales el pistón se encuentra en la posición central y la presión del gas es <math>p_0</math>.<br />
<br />
# Calcule la temperatura absoluta <math>T</math> a la que se encuentra el sistema cuando el pistón se ha desplazado una cantidad <math>x</math> desde el centro hacia el sistema a <math>T_0</math>. ¿Resulta una escala lineal de temperaturas? ¿A cuánto tiende <math>x</math> si <math>T\to 0</math> o si <math>T\to\infty</math>? <br />
# Supongamos que el tubo mide 20&thinsp;cm, la temperatura de referencia es <math>T_0 = 300\,\mathrm{K}</math> y el pistón se desplaza 1&thinsp;cm. ¿Cuál es la temperatura del sistema exterior? <br />
<br />
<center>[[Archivo:Termometro_con_dos_camaras.png|600px]]</center><br />
<br />
[[Termómetro con dos cámaras de gas|Solución]]<br />
<br />
==Equivalencia de un psi==<br />
Una atmósfera equivale a 101325 Pa. Un psi es la presión ejercida por una libra (4.448 N) sobre un cuadrado de lado 1 pulgada (2.54 cm). ¿A cuántos psi equivale una atmósfera?<br />
<br />
[[Equivalencia de un psi|Solución]]<br />
<br />
==Equivalencia de una atmósfera técnica==<br />
Una atmósfera técnica (at) es la presión ejercida por el peso de un kilogramo sobre una superficie de 1&thinsp;cm&sup2;. ¿A cuántos pascales equivale 1&thinsp;at? ¿Y cuántas atmósferas estándar, atm? ¿Y cuantos psi?<br />
<br />
[[Equivalencia de una atmósfera técnica|Solución]]<br />
<br />
==Tubo con cámaras con hidrógeno y nitrógeno==<br />
Se tiene una cámara cilíndrica horizontal de 100&thinsp;cm&sup2; de sección y 60&thinsp;cm de longitud de paredes rígidas no aisladas térmicamente. En el punto medio del tubo se encuentra un émbolo (de espesor despreciable) que puede desplazarse, aunque inicialmente está fijado con pernos. En la cámara de la izquierda hay 2.8&thinsp;g de H<sub>2</sub> gaseoso y en la de la derecha 2.8&thinsp;g de N<sub>2</sub>. Los dos gases y el ambiente que los rodea están a 27&deg;C.<br />
# Halle la fuerza que los gases producen sobre el émbolo cuando éste se encuentra en la posición central.<br />
# Determine la posición final del émbolo una vez que se liberan los pernos, suponiendo que todas las superficies son diatermas<br />
<br />
[[Tubo con cámaras con hidrógeno y nitrógeno|Solución]]<br />
<br />
==Dos cámaras inicialmente aisladas==<br />
Dos cámaras A y B con el mismo volumen de aire están separadas por un émbolo que puede moverse libremente. Las paredes y el émbolo están aislados térmicamente. Inicialmente las dos cámaras están en equilibrio. Se retira el aislante del émbolo. Una vez que se vuelve a alcanzar el equilibrio, el volumen de A es el doble que el de B. <br />
[[Archivo:Dos-camaras-aisladas.png|center]]<br />
<br />
# Antes de que se retirara el aislante, ¿qué proporción había entre las temperaturas de A y B?<br />
# Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio, ¿qué proporción hay entre las densidades de masa del aire de ambas cámaras?<br />
<br />
[[Dos cámaras inicialmente aisladas|Solución]]<br />
<br />
==Compresión lineal de un gas==<br />
Se comprime cuasiestáticamente un gas ideal que inicialmente se encuentra a presión <math>p_A = 100\,\mathrm{kPa}</math>, temperatura <math>T_A = 300\,\mathrm{K}</math> y<br />
ocupa un volumen <math>V_A = 0.01\,\mathrm{m}^3</math>, según la ley<br />
<br />
<center><math>p=3p_A-\frac{2p_A}{V_A}V</math></center><br />
<br />
La compresión continúa hasta que la presión vale <math>p_B = 2p_A</math>.<br />
<br />
# Calcule la temperatura final del gas. ¿Es este un proceso isotermo?<br />
# Trace la curva que describe el proceso en un diagrama pV. <br />
# ¿Cuál es la temperatura máxima que alcanza el gas? ¿En qué estado la alcanza?<br />
<br />
[[Compresión lineal de un gas|Solución]]<br />
<br />
==Expansión lineal de un gas==<br />
Se tiene un volumen de 1&thinsp;m³ de un gas ideal diatómico, a 100&thinsp;kPa y 300&thinsp;K. Sobre este gas se realiza un proceso cuasiestático en el que se aumenta gradualmente su presión y volumen de forma que en todo momento su presión es proporcional al volumen ocupado. Al final del proceso, el volumen del gas es de 3&thinsp;m³. ¿Cuál es la temperatura final del gas?<br />
<br />
[[Expansión lineal de un gas|Solución]]<br />
<br />
==Modelo de atmósfera isoterma==<br />
En el modelo de la atmósfera isoterma (en el que se supone que toda la troposfera está a la misma temperatura), la presión disminuye con la altura como<br />
<center><math>p=p_0 \mathrm{e}^{-\alpha z}</math></center><br />
donde <math>z</math> es la altura sobre el nivel del mar y <math>p_0=101325\,\mathrm{Pa}</math>. Se sabe que, en el aeropuerto de El Alto, en La Paz (Bolivia), que se encuentra a 4061&thinsp;m de altitud, la presión atmosférica vale 62611&thinsp;Pa. También se sabe que la densidad del aire a nivel del mar vale <math>\rho_0=1.225\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3</math>.<br />
# ¿Cuánto vale la densidad del aire en el aeropuerto de El Alto?<br />
# ¿Cuánto vale la presión atmosférica en lo alto del Everest (8848&thinsp;m)?<br />
# La tabla adjunta da la temperatura de saturación del agua a diferentes presiones. <br />
&nbsp;<br />
<br />
{| class="bordeado"<br />
|-<br />
| <math>p (\mathrm{kPa})</math> <br />
| 15 || 20 || 25 || 30 || 35 || 40<br />
|-<br />
| <math>T_\mathrm{sat} (\mathrm{K})</math><br />
| 327.12 || 333.21 || 338.11 || 342.25 || 345.83 || 349.01<br />
|-<br />
| <math>p (\mathrm{kPa})</math> <br />
| 45 || 50 || 55 || 60 || 65 || 70<br />
|-<br />
| <math>T_\mathrm{sat} (\mathrm{K})</math><br />
| 351.86 || 354.47 || 356.86 || 359.08 || 361.14 || 363.08<br />
|-<br />
| <math>p (\mathrm{kPa})</math> <br />
| 75 || 80 || 85 || 90 || 95 || 100<br />
|-<br />
| <math>T_\mathrm{sat} (\mathrm{K})</math><br />
| 364.91 || 366.64 || 368.28 || 369.84 || 371.33 || 372.76<br />
|}<br />
&nbsp;<br />
: ¿A qué temperatura hierve el agua en el aeropuerto de El Alto? ¿Y en el Everest?<br />
<br />
[[Modelo de atmósfera isoterma|Solución]]<br />
<br />
==Calidad de una mezcla==<br />
La densidad del agua a 101.3&thinsp;kPa y 100&thinsp;&#8451; es de 958&thinsp;kg/m³ y la del vapor de agua a la misma temperatura y presión es de 0.59&thinsp;kg/m³. Se tiene 1000&thinsp;cm³ de agua a 100&#8451; en un cilindro con pistón móvil. Se suministra calor al agua de forma que se vaporiza parcialmente. Halle la calidad (o título) de la mezcla de agua y vapor de agua en el estado final, si el volumen final es <br />
# 2&thinsp;L <br />
# 1&thinsp;m³.<br />
<br />
[[Calidad de una mezcla|Solución]]<br />
<br />
==Coeficientes de un gas ideal==<br />
Calcule el coeficiente de dilatación y el coeficiente de compresibilidad isoterma de un gas ideal a 300&thinsp;K y 100&thinsp;kPa. <br />
<br />
[[Coeficientes de un gas ideal|Solución]]</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/F%C3%ADsica_II_(GIOI)Física II (GIOI)2024-01-31T13:39:02Z<p>Antonio: /* Bloque I: Termodinámica */</p>
<hr />
<div>__TOC__<br />
Ya a la venta:<br />
<br />
[[Archivo:portada-02.jpg|266px]]<br />
<br />
''[https://editorial.us.es/es/detalle-libro/720224/electricidad-y-magnetismo-300-problemas-tipo-test-resueltos Electricidad y magnetismo: 300 problemas tipo test resueltos]'', de Joaquín Bernal Méndez, editado por la Universidad de Sevilla (2020), que reúne preguntas tipo test de exámenes de electricidad y magnetismo de Física II. Disponible en, por ejemplo, la copistería de la ETSI de Sevilla.<br />
<br />
==Programa==<br />
==='''Bloque I:''' Termodinámica===<br />
# Introducción a la termodinámica<br />
<!--<br />
## [[Sistemas termodinámicos (GIOI)|Sistemas termodinámicos]]<br />
## [[Equilibrio_t%C3%A9rmico._Temperatura_%28GIOI%29|Presión y temperatura]]<br />
## [[Los gases ideales (GIOI)|Introducción al gas ideal]]<br />
## [[Dilatación y compresibilidad (GIOI)|Dilatación y compresibilidad]]<br />
## [[Propiedades del agua (GIOI)|Propiedades del agua]]<br />
--><br />
## [[Problemas de introducción a la termodinámica (GIOI)|Problemas]]<br />
# Primer principio de la termodinámica<br />
<!--<br />
## [[Trabajo en termodinámica (GIE)|Trabajo]]<br />
## [[Calor y calorimetría]]<br />
## [[Transmisión del calor]]<br />
## [[Primer principio de la termodinámica (GIE)|Primer principio de la termodinámica]]<br />
--><br />
## [[Problemas del primer principio de la termodinámica|Problemas]]<br />
# Máquinas y dispositivos térmicos<br />
<!--<br />
## [[Máquinas térmicas (GIE)|Máquinas térmicas y ciclos termodinámicos]]<br />
## [[Refrigeradores y bombas de calor (GIE)|Refrigeradores y bombas de calor]]<br />
--><br />
## [[Problemas de máquinas y dispositivos térmicos (GIOI)|Problemas]]<br />
# Segundo principio de la termodinámica<br />
## [[Segundo principio de la termodinámica (GIE)|Enunciados y aplicaciones]]<br />
## [[Desigualdad de Clausius (GIE)|Desigualdad de Clausius]]<br />
## [[Entropía (GIE)|Entropía]]<br />
## [[Cálculos de entropía (GIE)|Cálculos de entropía]]<br />
## [[Introducción a la exergía]]<br />
## [[Problemas del segundo principio de la termodinámica (GIE)|Problemas]]<br />
:'''Tema transversal:''' [[El gas ideal (GIE)|El gas ideal]]<br />
<br />
==='''Bloque II:''' Electricidad y magnetismo===<br />
# [[Introducción al electromagnetismo (GIOI)|Introducción al electromagnetismo]]<br />
# Electrostática en el vacío <br />
## [[Principios de la electrostática (GIOI)|Principios de la electrostática]]<br />
## [[Ley de Gauss (GIOI)|Ley de Gauss]]<br />
## [[Potencial y energía electrostática (GIOI)|Potencial y energía electrostática]]<br />
## [[Dipolo eléctrico (GIOI)|Dipolo eléctrico]]<br />
## [[Problemas de electrostática en el vacío (GIOI)|Problemas]]<br />
# [[Electrostática en presencia de materiales (GIOI)|Electrostática en presencia de materiales]]<br />
## [[Electrostática en presencia de conductores (GIOI)|Conductores]]<br />
## [[Condensadores (GIOI)|Condensadores]]<br />
## [[Electrostática en presencia de dieléctricos (GIOI)|Dieléctricos]]<br />
## [[Problemas de electrostática en medios materiales (GIOI)|Problemas]]<br />
# [[Corriente eléctrica (GIOI)|Corriente eléctrica]]<br />
## [[Densidad e intensidad de corriente (GIOI)|Densidad e intensidad de corriente]]<br />
## [[Ley de Ohm (GIOI)|Ley de Ohm]]<br />
## [[Potencia eléctrica (GIOI)|Potencia eléctrica. Ley de Joule]]<br />
## [[Generadores (GIOI)|Generadores]]<br />
## [[Corrientes de intensidad variable (GIOI)|Corrientes de intensidad variable]]<br />
## [[Problemas de corriente eléctrica (GIOI)|Problemas]]<br />
# [[Campo magnético (GIOI)|Campo magnético]]<br />
## [[Fuerzas magnéticas (GIOI)|Fuerzas magnéticas]]<br />
## [[Campo magnético creado por corrientes (GIOI)|Campo magnético creado por corrientes]]<br />
## [[Materiales magnéticos (GIOI)|Materiales magnéticos]]<br />
## [[Problemas de campos magnéticos (GIOI)|Problemas]]<br />
# Inducción electromagnética<br />
## [[Ley de Faraday (GIOI)|Ley de Faraday]]<br />
## [[Coeficientes de inducción mutua y autoinducción (GIOI)|Coeficientes de inducción mutua y autoinducción]]<br />
## [[Energía magnética (GIOI)|Energía magnética]]<br />
## [[Problemas de inducción electromagnética (GIOI)|Problemas]]<br />
:'''Tema transversal:''' Circuitos eléctricos<br />
<br />
==Exámenes y otros documentos==<br />
# [[Exámenes de Física II (GIOI)|Exámenes]]<br />
[[Categoría:Fisica II (GIOI)|0]]<br />
[[Categoría:Termodinámica (GIOI)]]<br />
[[Categoría:Electricidad y magnetismo (GIOI)]]</div>Antoniohttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Dos_discos_rodando_en_aroDos discos rodando en aro2024-01-28T17:55:35Z<p>Drake: </p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Se tiene el sistema de la figura, formado por dos discos &ldquo;1&rdquo; y &ldquo;2&rdquo; de radios <math>R_1=40\,\mathrm{cm}</math> y <math>R_2=20\,\mathrm{cm}</math> cuyos centros, C y D, están unidos por una barra rígida &ldquo;3&rdquo; de longitud <math>L=100\,\mathrm{cm}</math>. Las dos ruedas del artilugio ruedan sin deslizar por la superficie interior de un aro &ldquo;0&rdquo; de radio <math>R_0=100\,\mathrm{cm}</math>, siendo A y B los respectivos puntos de contacto. El centro del disco &ldquo;1&rdquo; gira con velocidad angular constante <math>\omega_{30}=1.50\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}</math> en sentido antihorario respecto al aro exterior &ldquo;0&rdquo;.<br />
<br />
# Determine las cinco velocidades angulares relativas restantes.<br />
# Localice los seis centros instantáneos de rotación.<br />
<br />
'''Sugerencia:''' Emplee el sistema de ejes ligado al sólido &ldquo;3&rdquo; de la figura, tal que el eje <math>OX_3</math> pasa por el centro del disco &ldquo;1&rdquo;.<br />
<br />
<center>[[Archivo:dos-discos-aro.png]]</center><br />
<br />
==Velocidad angulares==<br />
===Movimiento {30}===<br />
El enunciado nos da la velocidad angular con la que gira el punto C, centro del disco <math>1</math> alrededor del centro del aro &ldquo;0&rdquo;. Este punto pertenece tanto al sólido &ldquo;1&rdquo; como al &ldquo;3&rdquo; por tratarse de la articulación de la barra con el disco. Esta velocidad angular es la que posee toda la barra &ldquo;3&rdquo; en su rotación alrededor de O. Por eso, los subíndices del dato se refieren al movimiento {30} (y no al {10} ya que como veremos, el disco 1 posee una velocidad angular diferente):<br />
<br />
<center><math>\omega_{30}=1.50\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
===Movimiento {10}===<br />
Para hallar la velocidad angular observamos que este movimiento es una rotación alrededor del punto de contacto, A, y por tanto la velocidad del centro del disco &ldquo;1&rdquo; en este movimiento es<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^C_{10}=\omega_{10}\vec{k}\times\overrightarrow{AC}</math></center><br />
<br />
Por otro lado tenemos que la velocidad de C, considerado como parte de &ldquo;3&rdquo;, es una rotación alrededor de O<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^C_{10}=\vec{v}^C_{13}+\vec{v}^C_{30}=\vec{0}+\omega_{30}\vec{k}\times\overrightarrow{OC}</math></center><br />
<br />
Igualando ambas velocidades llegamos a la relación<br />
<br />
<center><math>\omega_{10}\overrightarrow{AC}=\omega_{30}\overrightarrow{OC}</math></center><br />
<br />
Los vectores de posición relativos valen, en el sistema de referencia indicado:<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{OC}=(R_0-R_1)\vec{\imath}_3=60\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{AC}=-R_1\vec{\imath}_3=-40\,\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
De aquí obtenemos la velocidad angular<br />
<br />
<center><math>\omega_{10}=-\frac{60}{40}1.50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-2.25\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
===Movimiento {31}===<br />
La velocidad angular del movimiento {31} es inmediata por aplicación de la ley de composición correspondiente<br />
<br />
<center><math>\omega_{31}=\omega_{30}+\omega_{01}=\omega_{30}-\omega_{10}=1.50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}-\left(-2.25\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right)=3.75\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
===Movimiento {20}===<br />
El punto D, centro del disco &ldquo;2&rdquo; también gira alrededor de O con la misma velocidad angular que C. Considerado como parte del sólido &ldquo;3&rdquo; su velocidad lineal es<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^D_{30}=\omega_{30}\vec{k}\times\overrightarrow{OD}</math></center><br />
<br />
mientras que, considerado como parte del disco &ldquo;2&rdquo; realiza una rotación instantánea alrededor del punto B, de contacto del disco con el aro.<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^D_{20}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{BD}</math></center><br />
<br />
Estas dos velocidades deben ser iguales, ya que<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^D_{30}=\overbrace{\vec{v}^D_{32}}^{=\vec{0}} + \vec{v}^D_{20}</math></center><br />
<br />
Sustituyendo, llegamos a la relación<br />
<br />
<center><math>\omega_{30}\overrightarrow{OD}=\omega_{20}\overrightarrow{BD}</math></center><br />
<br />
Aunque para determinar la velocidad angular nos basta con saber que los vectores de posición son proporcionales y de sentido opuesto, vamos a determinar su expresión en el sistema de referencia indicado, ya que ésta puede ser útil más adelante.<br />
<br />
La figura sugiere que los puntos B y D se encuentran sobre el eje <math>OY_3</math>. Sin embargo, no tenemos certeza de tal afirmación. De hecho, para valores arbitrarios de <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>L</math> no será cierto en general. Vamos a demostrar que sí ocurre para los datos del enunciado. Para ello, hemos de probar que el ángulo COD es recto. <br />
<br />
En el triángulo OCD los lados valen<br />
<br />
<center><math>|\overrightarrow{OC}|=R_0-R_1=60\,\mathrm{cm}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>|\overrightarrow{OD}|=R_0-R_2=80\,\mathrm{cm}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>|\overrightarrow{CD}|=L=100\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
Aplicando el teorema del coseno tenemos que si <math>\gamma</math> es el ángulo en O<br />
<br />
<center><math>\cos(\gamma)=\frac{|\overrightarrow{OC}|^2+|\overrightarrow{OD}|^2-|\overrightarrow{CD}|^2}{2|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{OD}|}=\frac{60^2+80^2-100^2}{2\cdot 60\cdot 80}=0</math></center><br />
<br />
Por tanto el ángulo es efectivamente recto y los vectores de posición relativos son<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{OD}=80\,\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{BD}=-20\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
y la velocidad angular del movimiento {20} valen<br />
<br />
<center><math>\omega_{20}=-\frac{80}{20}1.50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-6.00\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
===Movimiento {32}===<br />
De nuevo empleamos la ley de composición de velocidades angulares para hallar la del movimiento {32}<br />
<br />
<center><math>\omega_{32}=\omega_{30}+\omega_{02}=\omega_{30}-\omega_{20}=7.50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
===Movimiento {21}===<br />
Por último, para hallar la velocidad angular con la que gira un disco respecto al otro empleamos de nuevo la ley de composición de velocidades empleando el aro &ldquo;0&rdquo; como sólido intermedio<br />
<br />
<center><math>\omega_{21}=\omega_{20}+\omega_{01}=\omega_{20}-\omega_{10}=\left(-6.00+2.25\right)\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-3.75\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
Alternativamente, podemos emplear la barra &ldquo;3&rdquo; como sólido intermedio<br />
<br />
<center><math>\omega_{21}=\omega_{23}+\omega_{31}=-\omega_{32}+\omega_{31}=\left(-7.50+3.75\right)\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-3.75\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
==Centros instantáneos de rotación==<br />
La mayoría de los centros instantáneos de rotación son inmediatos. De hecho, todos menos uno.<br />
<br />
;Movimiento {30}: El movimiento de la barra &ldquo;3&rdquo; respecto al aro &ldquo;0&rdquo; es una rotación alrededor del centro de éste. Por tanto<br />
<br />
<center><math>I_{30}=O\,</math></center><br />
<br />
:En forma vectorial<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{OI}_{30}=\vec{0}</math></center><br />
<br />
;Movimiento {13}: Respecto de la barra &ldquo;3&rdquo;, el disco &ldquo;1&rdquo; realiza una rotación alrededor de su centro, por lo que<br />
<br />
<center><math>I_{31}=C\,</math></center><br />
<br />
:En forma vectorial<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{OI}_{31}=60\,\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
;Movimiento {23}: Análogamente, el disco &ldquo;2&rdquo; ejecuta, respecto de la barra &ldquo;3&rdquo;, una rotación alrededor de su centro:<br />
<br />
<center><math>I_{32}=D\,</math></center><br />
<br />
:En forma vectorial<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{OI}_{32}=80\,\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
;Movimiento {10}: Dado que el contacto entre el disco 1 y el aro 0 implica rodadura sin deslizamiento, el CIR del movimiento es el punto de contacto<br />
<br />
<center><math>I_{10}=A\,</math></center><br />
<br />
:En forma vectorial<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{OI}_{10}=100\,\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
;Movimiento {20}: El disco &ldquo;2&rdquo; también realiza, respecto del aro &ldquo;0&rdquo;, una rotación instantánea alrededor del punto de contacto, por lo que<br />
<br />
<center><math>I_{20}=B\,</math></center><br />
<br />
:En forma vectorial<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{OI}_{20}=100\,\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
;Movimiento {21}: Este es el único que no es evidente. Podemos hallar este punto analítica y gráficamente. Para calcularlo de manera analítica precisamos la velocidad de un punto. Si queremos la posición respecto al punto O, la fórmula correspondiente es<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^O_{21}}{\omega_{21}}</math></center><br />
<br />
:Necesitamos la velocidad del punto O en el movimiento {21}. La obtenemos aplicando la fórmula de composición de velocidades. Los movimientos {20} y {10} son rotaciones instantáneas alrededor de los puntos B y A por lo que<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^O_{21}=\vec{v}^O_{20}-\vec{v}^O_{10}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{BO}-\omega_{10}\vec{k}\times\overrightarrow{AO}</math></center><br />
<br />
:Sustituyendo los valores numéricos<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^O_{21}=\left(-6.00\vec{k}\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right)\times(-100\,\vec{\jmath}_3\,\mathrm{cm})-\left(-2.25\vec{k}\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right)\times(-100\,\vec{\imath}_3\,\mathrm{cm})=\left(-600\,\vec{\imath}_3-225\,\vec{\jmath}_3\right)\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
:Llevando esto a la expresión analítica del CIR nos queda<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\frac{\vec{k}\times\left(-600\,\vec{\imath}_3-225\,\vec{\jmath}_3\right)}{-3.75}\,\mathrm{cm}=\left(-60\vec{\imath}_3+160\vec{\jmath}_3\right)\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
También podemos hallar este CIr empleando la fórmula<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\frac{\omega_{20}\overrightarrow{OI}_{20}+\omega_{01}\overrightarrow{OI}_{01}}{\omega_{20}+\omega_{01}}</math></center><br />
<br />
que para este caso nos da<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\frac{-6.00(100\vec{\jmath}_3)+2.25(100\vec{\imath}_3)}{-6.00+2.25}\,\mathrm{cm}=\left(-60\vec{\imath}_3+160\vec{\jmath}_3\right)\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
Alternativamente, este CIR puede obtenerse gráficamente. Por el teorema de los tres centros, el CIR <math>I_{21}</math> se encuentra alineado con los dos centros <math>I_{20}</math> e <math>I_{10}</math>. Por tanto, se encuentra sobre una recta que pasa por A y B. Asimismo, se encuentra alineado con los centros <math>I_{32}</math> e <math>I_{31}</math>. Por ello, pertenece también a la recta que pasa por C y D. El CIR buscado se encuentra entonces en la intersección de estas dos rectas, la que pasa por AB y la que pasa por C y D.<br />
<br />
Algebraicamente, esto se expresa observando que el vector <math>\overrightarrow{CI}</math> debe ser proporcional al <math>\overrightarrow{CD}</math><br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{CI}_{21}=\lambda\overrightarrow{CD}=\lambda\left(-60\vec{\imath}_3+80\vec{\jmath}_3\right)\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
y el <math>\overrightarrow{AI}_{21}</math> al <math>\overrightarrow{AB}</math><br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{AI}_{21}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}</math></center><br />
<br />
Sustituyendo tenemos<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{AI}_{21}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}_{21}=\left((-40-60\lambda)\vec{\imath}_3+80\lambda\vec{\jmath}_3\right)\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
Hallamos el producto vectorial y lo igualamos a cero<br />
<br />
<center><math>\vec{0}=\overrightarrow{AI}_{21}\times\overrightarrow{AB}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_3 & \vec{\jmath}_3 & \vec{k} \\<br />
-40-60\lambda & 80\lambda & 0 \\ -100 & 100 & 0\end{matrix}\right|\,\mathrm{cm}^2 = 100(-40+20\lambda)\vec{k}\,\mathrm{cm}^2</math></center><br />
<br />
de donde<br />
<br />
<center><math>\lambda = 2\,</math>{{tose}}<math>\overrightarrow{CI}_{21}=\left(-120\vec{\imath}_3+160\vec{\jmath}_3\right)\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
y respecto al centro del aro<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CI}_{21}=\left(-60\vec{\imath}_3+160\vec{\jmath}_3\right)\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
<br />
<center>[[Archivo:dos-discos-aro-reticula.png]]</center><br />
<br />
Igualmente, puede verificarse que se encuentran alineados los centros <math>I_{30}</math>, <math>I_{31}</math> e <math>I_{10}</math>, por un lado (los tres están en el eje <math>OX_3</math>) y los centros <math>I_{30}</math>, <math>I_{32}</math> e <math>I_{20}</math> por otro (sobre el eje <math>OY_3</math>).<br />
<br />
Cuando las discos van avanzando sobre el aro, los seis centros van girando respecto al aro, manteniendo una posición fija respecto al sólido &ldquo;3&rdquo;.<br />
<!--<br />
[[Categoría:Problemas de Movimiento Plano (GITI)]]<br />
--></div>Drakehttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Deslizamiento_de_dos_s%C3%B3lidos_c%C3%B3nicosDeslizamiento de dos sólidos cónicos2024-01-28T17:45:19Z<p>Drake: Página creada con «==Enunciado== Dos conos rectos &ldquo;1&rdquo; y &ldquo;2&rdquo; de la misma altura <math>H</math> y mismo radio en la base <math>R_0</math> se encuentran en contacto a lo largo de una generatriz. Ambos conos se encuentran montados sobre un armazón &ldquo;0&rdquo;, de forma que se encuentran rotando con velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{10}=\omega_1\vec{k}</math> y <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_2\vec{k}</math> alrededor de sus respectivos ejes. Determine la…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Dos conos rectos &ldquo;1&rdquo; y &ldquo;2&rdquo; de la misma altura <math>H</math> y mismo radio en la base <math>R_0</math><br />
se encuentran en contacto a lo largo de una generatriz. Ambos conos se encuentran montados sobre un armazón &ldquo;0&rdquo;, de forma que se encuentran rotando con velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{10}=\omega_1\vec{k}</math> y <math>\vec{\omega}_{20}=\omega_2\vec{k}</math> alrededor de sus respectivos ejes. Determine la velocidad de deslizamiento en los puntos de contacto de los conos, como función de la altura <math>z</math> medida en la dirección de los ejes desde la base del cono &ldquo;1&rdquo;.<br />
<br />
<center>[[Archivo:deslizamiento-dos-conos-01.png]]</center><br />
<br />
==Solución==<br />
Este es un problema en el que a diferencia del resto, parece la tercera dimensión en el movimiento plano.<br />
<br />
En este sistema, tanto en un cono como en el otro, la velocidad de todos los puntos se encuentra contenida en un plano perpendicular al eje OZ y por tanto se trata de un movimiento plano. Sin embargo, la velocidad de deslizamiento depende de la altura porque la sección transversal del movimiento plano depende de por donde hagamos el corte.<br />
<br />
Cuando consideramos una sección transversal a una altura <math>z</math>, lo que obtenemos son dos círculos en contacto, cuyos radios dependen de la altura.<br />
<br />
El radio del círculo 1 disminuye linealmente con la altura. Para <math>z=0</math> vale <math>R</math> y para <math>z=H</math> vale <math>0</math>. La ecuación de esta recta es<br />
<br />
<center><math>R_1(z) = \left(1-\frac{z}{H}\right)R_0</math></center><br />
<br />
El radio del círculo &ldquo;2&rdquo; aumenta con <math>z</math> de manera también lineal:<br />
<br />
<center><math>R_2(z) = \frac{z}{H}R_0</math></center><br />
<br />
La velocidad de deslizamiento es la velocidad relativa en el punto de contacto, D<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^D_{21}=\vec{v}^D_{20}-\vec{v}^D_{10}</math></center><br />
<br />
Cada una de estas velocidades corresponde a una rotación respecto a su respectivo eje de rotación, por lo que<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^D_{21}=\omega_2\vec{k}\times\overrightarrow{I_{20}D}-\omega_1\vec{k}\times\overrightarrow{I_{10}D}</math></center><br />
<br />
Los vectores de posición relativos valen<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{I_{20}D}=-R_2\vec{\imath}_0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{I_{10}D}=R_1\vec{\imath}_0</math></center><br />
<br />
Llegamos a la velocidad de deslizamiento<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^D_{21}=-(\omega_1R_1+\omega_2R_2)\vec{\jmath}_0</math></center><br />
<br />
Sustituyendo ahora la dependencia en <math>z</math><br />
<br />
<center><math>\vec{v}^D_{21}=-\left(\omega_1R_0\left(1-\frac{z}{H}\right)+\omega_2R_0\frac{z}{H}\right)\vec{\jmath}_0=<br />
\left(-\omega_1R_0+(\omega_1-\omega_2)R\frac{z}{H}\right)\vec{\jmath}_0</math></center><br />
<br />
Vemos entonces que la velocidad de deslizamiento depende de la altura, pudiendo ser en un sentido, en otro, o nula, según sean las velocidades angulares.<br />
<br />
En el caso particular <math>\omega_1=\omega_2</math> no hay dependencia en <math>z</math> y la velocidad de deslizamiento es la misma a todos las alturas. Esto corresponde a que para estas velocidades angulares, uno de los conos se está trasladando respecto al otro.<br />
<!--<br />
[[Categoría:Problemas de Movimiento Plano (GITI)]]<br />
--></div>Drakehttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Dos_rodillos_con_deslizamientoDos rodillos con deslizamiento2024-01-28T17:27:47Z<p>Drake: </p>
<hr />
<div><!--<br />
==Enunciado del primer problema==<br />
--><br />
==Enunciado==<br />
Un rodillo de radio <math>R=60\,\mathrm{cm}</math> (sólido &ldquo;0&rdquo;) rueda sin deslizar sobre un suelo horizontal &ldquo;1&rdquo; de forma que su centro C avanza con una celeridad constante <math>v_0=30\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}</math> respecto al suelo. En su marcha, este rodillo empuja a un segundo rodillo de radio <math>r=15\,\mathrm{cm}</math> (sólido &ldquo;2&rdquo;), que se ve obligado a rodar sin deslizar sobre el mismo suelo, manteniéndose tangente al primer rodillo (ver figura).<br />
<br />
# Calcule las velocidades angulares <math>\vec{\omega}_{21}</math>, <math>\vec{\omega}_{01}</math> y <math>\vec{\omega}_{20}</math>.<br />
# Halle la velocidad relativa de deslizamiento en el punto A de contacto entre los dos sólidos <math>\vec{v}^A_{20}</math>. ¿Cuál es la rapidez de este deslizamiento?<br />
# Determine la posición del centro instantáneo de rotación <math>I_{20}</math> por los procedimientos siguientes: (i) analíticamente (con ayuda del resultado del apartado anterior); (ii) gráficamente.<br />
<!--<br />
(sugerencia: introduzca previamente un cuarto sólido consistente en una varilla BC articulada a los centros de ambos rodillos).<br />
--><br />
<br />
<center>[[Archivo:dos-rodillos-01.png]]</center><br />
<br />
<!--<br />
==Enunciado del segundo problema==<br />
Suponga que en la configuración del problema anterior de dos rodillos el rozamiento del cilindro &ldquo;2&rdquo; con el &ldquo;0&rdquo; es mayor que con el suelo, de manera que el rodillo &ldquo;2&rdquo; debe rodar sin deslizar sobre el cilindro &ldquo;0&rdquo; (y rodar y deslizar sobre el suelo). Halle, para ese caso, la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{21}</math>, la velocidad de deslizamiento del rodillo &ldquo;2&rdquo; sobre el suelo <math>\vec{v}^D_{21}</math> y la posición del CIR <math>I_{21}</math>.<br />
<br />
==Introducción==<br />
Se incluyen aquí las soluciones de dos problemas diferentes pero que comparten geometría y algunas propiedades cinemáticas. Dado que la solución del segundo requiere algunos valores ya calculados en el primero, se pone su solución a continuación de la del primero, para aprovechar esos resultados comunes. Conviene, no obstante, tener clara la diferencia:<br />
<br />
* En el primer problema tenemos dos rodillos que ruedan, sin deslizar, por el suelo, produciéndose un deslizamiento de uno sobre el otro.<br />
* En el segundo, el primer rodillo se mueve de la misma manera, pero el segundo rueda sobre éste, y desliza sobre el suelo.<br />
<br />
==Solución del primer problema==<br />
--><br />
==Solución==<br />
===Velocidades angulares===<br />
====Movimiento {01}====<br />
El movimiento {01} es uno de rodadura sin deslizamiento alrededor del punto O de contacto<br />
del rodillo 0 con el suelo 1. La velocidad del punto C en este movimiento es igual a<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^C_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}</math></center><br />
<br />
donde<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^C_{01}=v_0\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OC}=R\vec{\jmath}</math></center><br />
<br />
Sustituyendo en la expresión anterior<br />
<br />
<center><math>v_0\vec{\imath}=(\omega_{01}\vec{k})\times(R\vec{\jmath})=-\omega_{01}R\vec{\imath}</math></center><br />
<br />
de donde<br />
<br />
<center><math>\omega_{01}=-\frac{v_0}{R}=-\frac{30\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}}{60\,\mathrm{cm}}=<br />
-0.5\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
====Movimiento {21}====<br />
Al ser empujado por el rodillo 0, el centro del rodillo 2 se ve forzado a avanzar con la<br />
misma rapidez, de forma que<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^B_{21}=v_0\vec{\imath}</math></center><br />
<br />
Al rodar sin deslizar sobre la superficie horizontal, el rodillo 2 efectúa un movimiento<br />
{21} de rotación en torno al punto D de contacto del rodillo con el suelo. Operando del<br />
mismo modo que en el caso anterior obtenemos<br />
<br />
<center><math>\omega_{21}=-\frac{v_0}{r} = -2.0\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
====Movimiento {20}====<br />
La velocidad angular con la que un rodillo gira respecto al otro la obtenemos aplicando<br />
la ley de composición de las velocidades angulares<br />
<br />
<center><math>\omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=\omega_{21}-\omega_{01}=-1.5\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
===Velocidad de deslizamiento===<br />
El contacto entre los dos rodillos no es solo de rodadura, sino también de deslizamiento. En el punto en que son tangentes, el punto A del rodillo 0 se está moviendo hacia abajo, mientras que el punto A del rodillo 2 lo hace hacia arriba, con lo que existe una cierta velocidad relativa. El valor de esta velocidad es<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^A_{20} =\vec{v}^A_{21}-\vec{v}^A_{01}</math></center><br />
<br />
La velocidad del punto A en el movimiento {21} es igual a<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^A_{21}=\vec{v}^B_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BA}</math></center><br />
<br />
[[Archivo:dos-rodillos-triangulo.png|right]]<br />
<br />
El vector de posición relativo cumple la relación de proporcionalidad<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{BA}=-\frac{r}{R+r}\overrightarrow{CB}= -\frac{\overrightarrow{CB}}{5.0}</math></center><br />
<br />
siendo el vector de posición relativo entre los ejes de la forma<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{CB}=d\vec{\imath}-(R-r)\vec{\jmath}</math></center><br />
<br />
La distancia <math>d</math> entre los puntos de contacto la obtenemos por aplicación del<br />
teorema de Pitágoras<br />
<br />
<center><math>d^2+(R-r)^2 = (R+r)^2\,</math>{{tose}}<math>d=2\sqrt{Rr}=60\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
lo que nos da<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{BA}=(-12\vec{\imath}+9\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
y la velocidad<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^A_{21}=\left(30\vec{\imath}+<br />
(-2.0\vec{k})\times(-12\vec{\imath}+9\vec{\jmath})\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=<br />
\left(48\vec{\imath}+24\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}<br />
</math></center><br />
<br />
Esta velocidad puede también hallarse reduciendo en el punto D, que es el CIR<br />
<math>I_{21}</math><br />
<br />
<center><math>\vec{v}^A_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{DA}</math></center><br />
<br />
donde<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}=<br />
(-12\vec{\imath}+24\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}<br />
</math></center><br />
<br />
La velocidad en el movimiento {01} se calcula de manera similar. Reduciendo en el centro<br />
del rodillo 0<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^A_{01}=\vec{v}^C_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CA}</math></center><br />
<br />
siendo ahora el vector de posición relativo<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{CA}=\frac{R}{R+r}\overrightarrow{CB}=<br />
(48\vec{\imath}-36\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
lo que resulta en la velocidad<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^A_{01}=\left(30\vec{\imath}+<br />
(-0.5\vec{k})\times(48\vec{\imath}-36\vec{\jmath})\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=<br />
\left(12\vec{\imath}-24\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}<br />
</math></center><br />
<br />
Esta velocidad también puede calcularse como<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^A_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}</math></center><br />
<br />
La velocidad de deslizamiento es la diferencia entre estas dos velocidades<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^A_{20}=\vec{v}^A_{21}-\vec{v}^A_{01} =<br />
\left(36\vec{\imath}+48\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}<br />
</math></center><br />
<br />
Esta velocidad relativa es tangente a la superficie de contacto y tiene por módulo<br />
<br />
<center><math>v^A_{20}=\sqrt{36^2+48^2}\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=60\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}<br />
</math></center><br />
<br />
[[Archivo:dos-rodillos-solido3.png|right]]<br />
<br />
El que resulte el doble de la velocidad de avance de los rodillos no es casual ni dependiente de las dimensiones concretas de estos. Podemos demostrarlo de forma sencilla:<br />
<br />
Observemos que los centros C y B se encuentran en todo momento a la misma distancia entre ellos, <math>R+r</math>. Por tanto, podemos imaginarnos un cuarto sólido, &ldquo;3&rdquo;, formado por una barra que une los dos centros. ¿Cómo son los diferentes movimientos respecto a esta barra?<br />
<br />
* El sólido &ldquo;1&rdquo; el suelo se mueve hacia atrás con rapidez <math>v_0</math>.<br />
* El disco &ldquo;0&rdquo; gira alrededor de su centro C con una velocidad angular tal que el punto O se mueve hacia atrás con celeridad <math>v_0</math>.<br />
* El disco &ldquo;2&rdquo; gira alrededor de su centro B con una velocidad angular tal que el punto D se mueve hacia atrás con celeridad <math>v_0</math>.<br />
<br />
La velocidad de deslizamiento en A será la diferencia <br />
<br />
<center><math>\vec{v}^A_{20}=\vec{v}^A_{23} -\vec{v}^A_{03}</math></center><br />
<br />
Ahora bien, en estos dos movimientos de rotación las velocidades de A son tangentes a la línea de contacto entre discos, las dos tienen módulo <math>v_0</math> y poseen sentidos opuestos. Por tanto, su diferencia será un vector también tangente y de módulo <math>v_0-(-v_0) = 2v_0</math>. Este resultado es independiente de los radios de los discos.<br />
<br />
===Centro instantáneo de rotación===<br />
====Método analítico====<br />
La posición del CIR <math>I_{20}</math> puede obtenerse analíticamente conocida la<br />
velocidad de un punto y la velocidad angular. La posición del CIR respecto al punto A es<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{AI}_{20}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}}{\omega_{20}}=<br />
\frac{\vec{k}\times\left(36\vec{\imath}+48\vec{\jmath}\right)}{-1.5}\,\mathrm{cm}=<br />
\left(32\vec{\imath}-24\vec{\jmath}\right)\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
y respecto al punto O<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{OI}_{20}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}_{20}<br />
=80\vec{\imath}\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
====Métodos geométricos====<br />
[[Archivo:dos-rodillos-cir.png|right]]<br />
<br />
Geométricamente, podemos determinar la posición del CIR {20} de diferentes formas.<br />
<br />
Una posibilidad consiste en hallar en primer lugar la velocidad de un segundo punto, en<br />
adición del que ya conocemos. Si consideramos la velocidad del punto O en el movimiento<br />
{20} obtenemos<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\overbrace{\vec{v}^O_{10}}^{=\vec{0}}=<br />
\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{DO}</math></center><br />
<br />
La velocidad de arrastre se anula por ser O el CIR del movimiento {10}. La segunda<br />
expresión nos dice que la velocidad de O en el movimiento {20} es perpendicular a la<br />
recta que pasa por D y O.<br />
<br />
El CIR <math>I_{20}</math> se encuentra entonces en la intersección de la recta<br />
horizontal, que pasa por D y O, con la recta que une los centros C y B (perpendicular a<br />
la velocidad de deslizamiento en A).<br />
<br />
Alternativamente, podemos observar que la distancia entre B y C permanece constante en<br />
todo momento, por lo que podemos imaginar un cuarto sólido 3, que une estos dos centros<br />
(una barra, por ejemplo). Los movimientos de los dos rodillos respecto al sólido 3 son<br />
rotaciones alrededor de los respectivos ejes B y C.<br />
<br />
Aplicando ahora el teorema de los tres centros tenemos que el CIR <math>I_{20}</math> debe estar en la<br />
intersección de la recta que pasa por <math>I_{01} (O)</math> e <math>I_{21}</math> (D), con la recta que pasa por<br />
<math>I_{03}</math> (C) e <math>I_{23}</math> (B), llegándose al resultado ya conocido.<br />
<br />
Otra forma consiste en, si no se ha calculado la velocidad de deslizamiento en A, buscar<br />
otro punto cuya velocidad {20} sea fácil de calcular. El más simple es D, para el que<br />
tenemos<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^D_{20}=\overbrace{\vec{v}^D_{21}}^{=\vec{0}}-\vec{v}^D_{01}=<br />
-\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OD}</math></center><br />
<br />
Sustituyendo los valores numéricos queda<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^D_{20}= \frac{v_0d}{R}\vec{\jmath}=30\vec{\jmath}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
Que junto con el resultado anterior<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^O_{20}=<br />
\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{DO}=<br />
\frac{v_0d}{r}\vec{\jmath}=120\vec{\jmath}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
permite aplicar el método geométrico de determinación del CIR para el caso de que<br />
tengamos dos velocidades paralelas.<br />
<br />
También puede hallarse gráficamente con ayuda del sólido &ldquo;3&rdquo; introducido en el apartado anterior. Según hemos dicho, por el teorema de los tres centros, el CIR <math>I_{20}</math> debe estar en la intersección de la recta que pasa por <math>I_{01} (O)</math> e <math>I_{21}</math> (D). Además debe estar sobre la recta que pasa por el CIR <math>I_{03}</math> (que es el centro del rodillo &ldquo;0&rdquo;, C) y con el CIR <math>I_{23}</math> (que es el centro B del rodillo &ldquo;2&rdquo;). De nuevo llegamos a que debe estar en la intersección de la recta que pasa por O y D con la que pasa por B y C.<br />
<!--<br />
==Solución del segundo problema==<br />
===Velocidad angular===<br />
Para hallar la velocidad angular aplicamos la expresión del campo velocidades de un sólido, reduciendo en el punto de contacto A <br />
<br />
<center><math>\vec{v}^B_{21}=\vec{v}^A_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}</math></center><br />
<br />
El primer miembro es conocido por la geometría del problema, ya que el centro del rodillo &ldquo;2&rdquo; se mueve con la misma velocidad que el del rodillo &ldquo;0&rdquo;<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^B_{21}=v_0\vec{\imath}=30\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
La velocidad de A en el movimiento {21} la obtenemos aplicando la ley de composición de velocidades correspondiente<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^A_{21}=\overbrace{\vec{v}^A_{20}}^{=\vec{0}} + \vec{v}^A_{01}</math></center><br />
<br />
donde la primera velocidad se anula, por ser el contacto entre los dos sólidos &ldquo;2&rdquo; y &ldquo;0&rdquo; una rodadura sin deslizamiento. La velocidad de A en el movimiento {01} es la misma que en el problema anterior de dos rodillos ya que el movimiento {01} es el mismo en ambos casos<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^A_{21}=\left(12\vec{\imath}-24\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
El vector de posición relativo también se determina en ese problema<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{AB}=(12\vec{\imath}-9\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
[[Archivo:dos-rodillos-solido3b.png|right]]<br />
<br />
Llevando esto a la fórmula para la velocidad de B obtenemos<br />
<br />
<center><math>30\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=\left(12\vec{\imath}-24\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}+<br />
\omega_{21}\vec{k}\times(12\vec{\imath}-9\vec{\jmath})\,\mathrm{cm}=\left(12\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}+9\omega_{21}\,\mathrm{cm}\right)\vec{\imath}+<br />
\left(-24\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}+12\omega_{21}\,\mathrm{cm}\right)\vec{\jmath}</math></center><br />
<br />
Igualando cualquiera de estas dos componentes obtenemos<br />
<br />
<center><math>\omega_{21}=2\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
Esta velocidad angular es la misma que se obtiene en el otro problema, pero con sentido contrario. <br />
<br />
Para interpretar geométricamente este resultado, recurrimos como en él a un cuarto sólido &ldquo;3&rdquo;, en forma de barra que une los centros. Visto desde este sólido, en la situación anterior, resultaba que en el punto de contacto ambos rodillos tenían velocidades iguales en magnitud y dirección, pero de sentido opuesto. En este problema la condición de rodadura impone que la velocidad de los dos rodillos en el punto de contacto debe tener el mismo módulo, dirección y sentido. Esto se consigue invirtiendo el sentido de giro de uno de los rodillos. Por ello, ahora nos resulta la misma velocidad angular que antes, pero con el signo opuesto.<br />
<br />
===Velocidad de deslizamiento===<br />
La figura anterior ya nos da la clave de cuál va a ser la velocidad de deslizamiento con el suelo: <math>2v_0</math> en la dirección de avance de los rodillos.<br />
<br />
Veámoslo. La velocidad de deslizamiento equivale a<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^D_{21} = \vec{v}^B_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BD}</math></center><br />
<br />
donde las diferentes cantidades valen<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^B_{21} = 30\,\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{\omega}_{21}=2\vec{k}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{BD}=-r\,\vec{\jmath}=-15\vec{\jmath}\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
Sustituyendo obtenemos<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^D_{21}=30\,\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}+\left(2\vec{k}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right)\times\left(-15\vec{\jmath}\,\mathrm{cm}\right)=60\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
La interpretación de este resultado es inmediata empleando un sistema ligado al sólido &ldquo;3&rdquo;: Desde la barra se ve al suelo moverse hacia atrás con velocidad <math>-v_0</math>. El punto O en que el rodillo 0 toca al suelo tendrá la misma velocidad. El punto A de ambos rodillos se moverá con la misma rapidez, aunque en dirección oblicua. Por tanto, el rodillo &ldquo;2&rdquo;, en su punto de contacto con el suelo, se mueve hacia adelante con la misma rapidez <math>v_0</math>. La velocidad de deslizamiento será entonces <math>v_0-(-v_0) = 2v_0</math>.<br />
<br />
===Centro instantáneo de rotación===<br />
====Método analítico====<br />
Una vez que tenemos la velocidad de un punto, por ejemplo el D, y la velocidad angular del sólido, podemos hallar analíticamente la posición del CIR según la fórmula<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{DI}_{21}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^D_{21}}{\omega_{21}}=\frac{\vec{k}\times(60\,\vec{\imath}\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}}{2\mathrm{rad}/\mathrm{s}}=30\vec{\jmath}\,\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
dado que el radio del rodillo &ldquo;2&rdquo; es de 15&thinsp;cm, este resultado quiere decir que el CIR <math>I_{21}</math> se encuentra en la posición diametralmente opuesta a D, esto es, en el punto más alto del disco. Respecto al origen O, su posición se expresa<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{OI}_{21}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DI}_{21} = \left(60\vec{\imath}+30\vec{\jmath}\right)\mathrm{cm}</math></center><br />
<br />
====Método gráfico====<br />
[[Archivo:dos-rodillos-cir2.png|right]]<br />
<br />
Podemos hallar este CIR por varios procedimientos gráficos.<br />
<br />
Conocemos la velocidad de dos puntos en el movimiento {21}<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^B_{21}=30\,\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^D_{21}=60\,\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center><br />
<br />
Estas dos velocidades son paralelas. Por ello, el CIR se encuentra sobre la recta que pasa por estos dos puntos. Para hallar la posición sobre esta recta trazamos las dos velocidades a escala y unimos sus extremos, llegando al resultado de que el CIR se encuentra en el punto diametralmente opuesto a D.<br />
<br />
Si no conocemos la velocidad de D, pero sí la de B (que es inmediata de la geometría del enunciado), sabemos que el CIR <math>I_{21}</math> se va a encontrar sobre la recta perpendicular a la velocidad de B y que pasa por B. Para hallar la posición sobre esta recta, aplicamos el teorema de los tres centros. El CIR <math>I_{21}</math> debe estar alineado con el <math>I_{01}</math> (que es el punto O de contacto del rodillo &ldquo;0&rdquo; con el suelo &ldquo;1&rdquo;) y con el <math>I_{20}</math>, que es el punto A de contacto de ambos rodillos. Trazando estas dos rectas llegamos al resultado que ya conocemos.<br />
--><br />
<!--<br />
[[Categoría:Problemas de Movimiento Plano (GITI)]]<br />
--></div>Drakehttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Ejemplo_param%C3%A9trico_de_movimiento_planoEjemplo paramétrico de movimiento plano2024-01-28T13:05:25Z<p>Drake: Página creada con «==Enunciado== La escuadra <math>O_2X_2Y_2</math> (sólido &ldquo;2&rdquo;) se mueve respecto a la escuadra <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido &ldquo;1&rdquo;) de forma que su origen de coordenadas, <math>O_2</math>, verifica la ecuación paramétrica <center><math>\overrightarrow{O_1O_2} =A(\cos(\theta)+\theta \,\mathrm{sen}(\theta))\vec{\imath}_1 + A(\mathrm{sen}(\theta)-\theta \cos(\theta))\vec{\jmath}_1</math></center> siendo <math>\theta=\theta(t)</math> el ángul…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
La escuadra <math>O_2X_2Y_2</math> (sólido &ldquo;2&rdquo;) se mueve respecto a la escuadra <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido &ldquo;1&rdquo;) de forma que su origen de coordenadas, <math>O_2</math>, verifica la ecuación paramétrica<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{O_1O_2} =A(\cos(\theta)+\theta \,\mathrm{sen}(\theta))\vec{\imath}_1 + A(\mathrm{sen}(\theta)-\theta \cos(\theta))\vec{\jmath}_1</math></center><br />
<br />
siendo <math>\theta=\theta(t)</math> el ángulo que el eje <math>O_2X_2</math> forma con el <math>O_1X_1</math>.<br />
<br />
# Calcule la velocidad instantánea del punto <math>O_1</math> en el movimiento {21}: <math>\vec{v}^{O_1}_{21}</math>.<br />
# Determine la posición del CIR <math>I_{21}</math> y exprésela empleando el sistema de referencia ligado al sólido &ldquo;1&rdquo;.<br />
# Exprese la posición del mismo punto <math>I_{21}</math> en el sistema de referencia ligado al sólido &ldquo;2&rdquo;.<br />
<br />
==Velocidad==<br />
La velocidad del punto <math>O_1</math>, como parte del sólido &ldquo;2&rdquo; respecto al &ldquo;1&rdquo;, <math>\vec{v}^{O_1}_{21}</math>, puede calcularse de diferentes formas.<br />
<br />
===Empleando el sistema de referencia &ldquo;1&rdquo;===<br />
Debemos hallar la velocidad de un punto cuya posición no conocemos en todo instante. El punto cuya posición sí conocemos y podemos derivar es <math>O_2</math>. Por ello, debemos usar la expresión del campo de velocidades<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^{O_1}_{21}=\vec{v}^{O_2}_{21} + \omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{O_2O_1}</math></center><br />
<br />
Veamos cada término por separado.<br />
<br />
La velocidad de <math>O_2</math> en el movimiento {21} sí puede hallarse derivando respecto al tiempo, por aplicación de la regla de la cadena.<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^{O_2}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\overrightarrow{O_1O_2}\right|_1=A\dot{\theta}\theta\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)</math></center><br />
<br />
La velocidad angular es inmediata, puesto que conocemos el ángulo que forman los ejes <math>OX_1</math> y <math>OX_2</math><br />
<br />
<center><math>\vec{\omega}_{21}=\dot{\theta}\vec{k}</math></center><br />
<br />
El vector de posición relativo es el opuesto al que aparece en el enunciado<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{O_2O_1}=-\overrightarrow{O_1O_2} =-A(\cos(\theta)+\theta \,\mathrm{sen}(\theta))\vec{\imath}_1 - A(\mathrm{sen}(\theta)-\theta \cos(\theta))\vec{\jmath}_1</math></center><br />
<br />
Reuniendo todo esto obtenemos la velocidad del punto <math>O_1</math><br />
<br />
<center><math>\vec{v}^{O_1}_{21}=\vec{v}^{O_2}_{21} + \omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{O_2O_1}=A\dot{\theta}\left(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1-\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\right)</math></center><br />
<br />
===Empleando el sistema de referencia &ldquo;2&rdquo;===<br />
Puesto que el punto <math>O_1</math> es el origen de coordenadas del sistema de referencia &ldquo;1&rdquo;, puede parecer más intuitivo considerar el movimiento inverso, del sólido &ldquo;1&rdquo; respecto al &ldquo;2&rdquo;. Las velocidades de los movimientos inversos se relacionan por la igualdad<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^{O_1}_{21}=-\vec{v}^{O_1}_{12}</math></center><br />
<br />
Para hallar el segundo miembro, expresaremos la posición del punto <math>O_1</math> en el sistema de referencia ligado al sólido &ldquo;2&rdquo;. El vector de posición relativo es, según dijimos,<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{O_2O_1}=-\overrightarrow{O_1O_2} =-A(\cos(\theta)+\theta \,\mathrm{sen}(\theta))\vec{\imath}_1 - A(\mathrm{sen}(\theta)-\theta \cos(\theta))\vec{\jmath}_1</math></center><br />
<br />
Esta vector aun está expresado en el sistema de referencia &ldquo;1&rdquo;. Para pasar al &ldquo;2&rdquo; debemos relacionar las bases respectivas. Las relaciones son<br />
<br />
<center><math>\left\{\begin{array}{lcr}<br />
\vec{\imath}_2 & = & \cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1 \\<br />
\vec{\jmath}_2 & = & -\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1 + \cos(\theta)\vec{\jmath}_1<br />
\end{array}\right.</math></center><br />
<br />
Podemos obtener el vector de expresión en la base &ldquo;2&rdquo; simplemente observando que<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{O_2O_1}=-A(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta))\vec{\jmath}_1-A\theta(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1 - \cos(\theta))\vec{\jmath}_1</math></center><br />
<br />
donde podemos reconocer los vectores de la base, por lo que<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{O_2O_1}=-A\vec{\imath}_2+A\theta\vec{\jmath}_2</math></center><br />
<br />
La obtención de la velocidad inversa es entonces trivial<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^{O_1}_{12}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\overrightarrow{O_2O_1}\right|_2 = A\dot{\theta}\vec{\jmath}_2</math></center><br />
<br />
y la velocidad que pide el enunciado es<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^{O_1}_{21}=-\vec{v}^{O_1}_{21}=- A\dot{\theta}\vec{\jmath}_2</math></center><br />
<br />
==CIR en el sistema &ldquo;1&rdquo;==<br />
Para hallar la posición del centro instantáneo de rotación disponemos de la fórmula analítica<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{O_1I}_{21}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^{O_1}_{21}}{\omega_{21}}</math></center><br />
<br />
siendo ya conocidas cada una de las cantidades. Sustituyendo<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{O_1I}_{21}=\frac{\vec{k}\times\left(A\dot{\theta}\left(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1-\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\right)\right)}{\dot{\theta}} = A\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)</math></center><br />
<br />
A la vista de este resultado tenemos que<br />
<br />
* La posición del CIR no depende de la rapidez con la que varía el ángulo, <math>\dot{\theta}</math>.<br />
* En este caso concreto, a medida que va variando <math>\theta</math>, la posición de los sucesivos CCIIR se encuentra sobre una circunferencia de radio <math>A</math> en torno a <math>O_1</math>.<br />
<br />
==CIR en el sistema &ldquo;2&rdquo;==<br />
De la misma manera puede calcularse la posición en el sistema &ldquo;2&rdquo;. Para expresar este resultado, debemos hallar el vector de posición relativo a <math>O_2</math> y expresarla en el sistema de ejes ligado al sólido &ldquo;2&rdquo;.<br />
<br />
Esto lo podemos conseguir de varias formas:<br />
<br />
;A partir de la velocidad de <math>O_2</math>: Puesto que hemos calculado previamente la velocidad de <math>O_2</math> podemos volver a aplicar la fórmula analítica para la posición del CIR<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{O_2I}_{21}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^{O_2}_{21}}{\omega_{21}}</math></center><br />
<br />
:donde ahora<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^{O_2}_{21}= A\dot{\theta}\theta\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)=A\dot{\theta}\theta\vec{\imath}_2</math></center><br />
<br />
:Sustituyendo<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{O_2I}_{21}=\frac{\vec{k}\times(A\dot{\theta}\theta\vec{\imath}_2)}{\dot{\theta}}=A\theta\vec{\jmath}_2</math></center><br />
<br />
;A partir de la posición relativa a <math>O_1</math>: Puesto que ya hemos determinado la posición del CIR relativa a <math>O_1</math>, para hallar la posición relativo a <math>O_2</math> nos basta con sumar vectores<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{O_2I}_{21}=\overrightarrow{O_2O_1}+\overrightarrow{O_1I}_{21}</math></center><br />
<br />
:donde, como hemos visto<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{O_2O_1}=-A\vec{\imath}_2+A\theta\vec{\jmath}_2</math></center><br />
<br />
:y<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{O_1I}_{21}= A\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)=A\vec{\imath}_2</math></center><br />
<br />
:Sumando estas dos expresiones<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{O_2I}_{21}=-A\vec{\imath}_2+A\theta\vec{\jmath}_2+A\vec{\imath}_2=A\theta\vec{\jmath}_2</math></center><br />
<br />
Vemos que este CIR se mueve a lo largo de la recta correspondiente al eje <math>O_2Y_2</math><br />
<br />
==Interpretación de los resultados==<br />
De acuerdo con los resultados anteriores, hemos obtenido que, a medida que aumenta el valor del ángulo <math>\theta</math>, la posición del CIR <math>I_{21}</math> va desplazándose a lo largo de una circunferencia, según el sistema del sólido &ldquo;1&rdquo; y a lo largo de una recta, según el sólido &ldquo;2&rdquo;. Este resultado posee una interpretación geométrica sencilla.<br />
<br />
Cuando varía <math>\theta</math> el punto <math>O_2</math> va describiendo la [[evolvente de una circunferencia]]. Este curva puede describirse como la posición que ocupa el extremo de un hilo tenso, pero también es la que curva que corresponde al extremo de una barra recta que rueda sin deslizar sobre un disco circular.<br />
<br />
Empleando esta interpretación vemos que es natural que las sucesivas posiciones del CIR se encuentren sobre una circunferencia, en el sistema ligado a ésta, y sobre una recta, en el sistema ligado a la barra. <br />
<br />
<center>[[Archivo:base-ruleta-01.png|400px]]{{qquad}}[[Archivo:base-ruleta-02.gif]]</center><br />
<br />
<center>[[Archivo:base-ruleta-02.png|400px]]{{qquad}}[[Archivo:base-ruleta-03.gif]]</center><br />
<br />
Este movimiento puede también verse de manera inversa. Considerando como sistema fijo el &ldquo;2&rdquo; y como móvil el &ldquo;1&rdquo;, el sistema equivalente pasa a ser el de un disco que rueda sobre una superficie horizontal. Con esta reinterpretación, es inmediato que el vector de posición relativa <math>\overrightarrow{O_1I}_{12}</math> en el sistema &ldquo;2&rdquo; se exprese como un vector constante, <math>\overrightarrow{O_1I}_{21}=A\vec{\imath}_2</math>, ya que se trata del vector que une el centro del disco con el punto de apoyo, y esta posición relativa es constante.<br />
<!--<br />
[[Categoría:Problemas de Movimiento Plano (GITI)]]<br />
--></div>Drakehttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Rotaci%C3%B3n_de_un_disco_inclinadoRotación de un disco inclinado2024-01-28T12:44:59Z<p>Drake: Página creada con «==Enunciado== Un disco de radio <math>a=60\,\mathrm{mm}</math> en cuyo eje está ensartada una barra de longitud <math>L=80\,\mathrm{mm}</math> se halla apoyado en el extremo de la barra y en el borde del disco. El disco rueda sobre una superficie horizontal, manteniendo fija la posición del extremo de la barra. El giro es uniforme, de forma que el centro del disco completa una revolución cada <math>T=4\,\mathrm{s}</math>. Se consideran como sólido 1 la superficie…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Un disco de radio <math>a=60\,\mathrm{mm}</math> en cuyo eje está ensartada una barra de longitud <math>L=80\,\mathrm{mm}</math> se halla apoyado en el extremo de la barra y en el borde del disco. El disco rueda sobre una superficie horizontal, manteniendo fija la posición del extremo de la barra. El giro es uniforme, de forma que el centro del disco completa una revolución cada <math>T=4\,\mathrm{s}</math>.<br />
<br />
Se consideran como sólido 1 la superficie horizontal, como sólido intermedio 0 uno que gira alrededor del eje Z, de forma que la barra se encuentra permanentemente en el plano XZ y como sólido 2 el disco. En un instante dado se toman los ejes del sistema 0 y 1 coincidentes y tales que OZ es la normal al plano horizontal que pasa por O, el extremo de la barra, OX es la recta horizontal que pasa por O y por A, el punto de contacto del disco con la mesa, y OY es la normal a los otros dos ejes.<br />
<br />
# Determine la posición de los ejes instantáneos de rotación en los movimientos absoluto {21}, relativo {20} y de arrastre {01}.<br />
# Halle las velocidades de los puntos A (de contacto del disco con la mesa), B (diametralmente opuesto a A) y C (centro del disco), en los tres movimientos.<br />
# Calcule la aceleración de los mismos puntos.<br />
# Suponga que se marca un punto en el borde del disco y se analiza su movimiento a lo largo del tiempo. ¿Es éste periódico? Si es así, ¿cuál es su periodo?<br />
<br />
==Ejes instantáneos de rotación==<br />
Puesto que tenemos un punto fijo en los tres movimientos, que es el punto O de contacto de la barra con la mesa, los movimientos absoluto, relativo y de arrastre son sendas rotaciones puras, cuyos ejes instantáneos de rotación pasan por el punto O.<br />
<br />
La orientación de cada eje la da la velocidad angular de cada movimiento.<br />
<br />
;Movimiento absoluto {21}: En el movimiento del disco respecto a la mesa tenemos dos puntos instantáneamente en reposo, el ya mencionado punto O y el punto A de contacto del disco con la mesa, por estar rodando el disco sobre la mesa. Por tanto el eje instantáneo de rotación es la recta horizontal que pasa por estos dos puntos (que hemos tomado como eje OX tanto en el sólido 0 como en el 1) y la velocidad angular de este movimiento es de la forma<br />
<br />
<center><math>\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\vec{\imath}</math></center><br />
<br />
;Movimiento relativo {20}: Respecto a la barra el disco efectúa un movimiento de rotación en torno a su eje (la propia barra), por lo que el eje instantáneo de rotación es la recta que pasa por O y por C y la velocidad angular es de la forma<br />
<br />
==Velocidades==<br />
Comenzamos anotando lo que sabemos.<br />
<br />
Por la condición de rodadura, la velocidad absoluta del punto A es nula<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^A_{21}=\vec{0}</math></center><br />
<br />
El punto C donde se unen solidariamente la barra y el disco, posee velocidad relativa nula<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^C_{20}=\vec{0}</math></center><br />
<br />
También conocemos la velocidad angular del movimiento de arrastre, ya que conocemos el periodo de revolución del disco alrededor del eje vertical<br />
<br />
<center><math>\vec{\omega}_{01}=\frac{2\pi}{T}\vec{k} </math></center><br />
<br />
Asimismo, es conocida la posición instantánea de A, B y C. Aplicando semejanza de triángulos tenemos<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{OA}=\sqrt{L^2+a^2}\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OC}=\frac{L^2}{\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\imath}+\frac{La}{\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OB}=\frac{L^2-a^2}{\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\imath}+\frac{2La}{\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\imath}</math></center><br />
<br />
que, para los datos del problema valen, en milímetros:<br />
<br />
<center><math>\overrightarrow{OA}=100\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OC}=64\vec{\imath}+48\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overrightarrow{OC}=28\vec{\imath}+96\vec{\imath}</math></center><br />
<br />
por lo que la velocidad de arrastre de C es<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^C_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}=\frac{2\pi}{T}\,\frac{L^2}{\sqrt{L^2-a^2}}\vec{\jmath}</math></center><br />
<br />
Su velocidad absoluta será la misma por ser nula la velocidad relativa<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^C_{21}=\vec{v}^C_{20}+\vec{v}^C_{01}=\frac{2\pi}{T}\,\frac{L^2}{\sqrt{L^2-a^2}}\vec{\jmath}</math></center><br />
<br />
Por otro lado, esta velocidad es igual a <br />
<br />
<center><math>\vec{v}^C_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OC} = \left(\omega_{21}\vec{\imath}\right)\times\overrightarrow{OC}=-\frac{aL\omega_{21}}{\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\jmath}</math></center><br />
<br />
y de aquí identificamos la velocidad angular absoluta<br />
<br />
<center><math>\vec{\omega}_{21}=-\frac{L}{a}\,\frac{2\pi}{T}\vec{\imath}</math></center><br />
<br />
Restando obtenemos la velocidad angular relativa<br />
<br />
<center><math>\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=-\frac{2\pi}{aT}\left(L\vec{\imath}+a\vec{k}\right)</math></center><br />
<br />
Tal como habíamos dicho, esta velocidad angular apunta en la dirección de la barra.<br />
<br />
Por otro lado, la velocidad de arrastre del punto A es<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^A_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\frac{2\pi}{T}\sqrt{L^2+a^2}\vec{\jmath}</math></center><br />
<br />
y la relativa será igual y opuesta a esta<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^A_{20}=\vec{v}^A_{21}-\vec{v}^A_{01}=-\frac{2\pi}{T}\sqrt{L^2+a^2}\vec{\jmath}</math></center><br />
<br />
Las velocidades de arrastre, relativa y absoluta de B se obtienen del mismo modo<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^B_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OB}=\frac{2\pi(L^2-a^2)}{T\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\jmath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OB}=\frac{4\pi L^2}{T\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\jmath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B_{20}=\vec{v}^B_{21}-\vec{v}^B_{01} = \frac{2\pi\sqrt{L^2-a^2}}{T}\vec{\jmath}</math></center><br />
<br />
Sustituyendo los valores numéricos obtenemos los siguientes resultados, <br />
<br />
{| class="bordeado"<br />
|-<br />
! Movimiento<br />
! Arrastre {01}<br />
! Relativo {20}<br />
! Absoluto {21}<br />
|-<br />
| <math>\vec{\omega}</math> (1/s)<br />
| <math>(\pi/2)\vec{k}</math><br />
| <math>-(2\pi/3)\vec{\imath}-(\pi/2)\vec{k}</math><br />
| <math>-(2\pi/3)\vec{\imath}</math><br />
|-<br />
| <math>\vec{v}^A</math> (mm/s)<br />
| <math>50\pi\vec{\jmath}</math><br />
| <math>-50\pi\vec{\jmath}</math><br />
| <math>\vec{0}</math><br />
|-<br />
| <math>\vec{v}^B</math> (mm/s)<br />
| <math>14\pi\vec{\jmath}</math><br />
| <math>50\pi\vec{\jmath}</math><br />
| <math>64\pi\vec{\jmath}</math><br />
|-<br />
| <math>\vec{v}^C</math> (mm/s)<br />
| <math>32\pi\vec{\jmath}</math><br />
| <math>\vec{0}</math><br />
| <math>32\pi\vec{\jmath}</math><br />
|}<br />
<br />
==Aceleraciones==<br />
En el caso de las aceleraciones sabemos que, por girar uniformemente el disco en torno al eje OZ<br />
<br />
<center><math>\vec{\alpha}_{01}=\vec{0}</math></center><br />
<br />
También es nula la aceleración angular relativa <br />
<br />
<center><math>\vec{\alpha}_{20}=\vec{0}</math></center><br />
<br />
ya que el disco gira uniformemente en el sistema intermedio.<br />
<br />
La aceleración angular absoluta, en cambio, no es nula<br />
<br />
<center><math>\vec{\alpha}_{21}=\vec{\alpha}_{20}+\vec{\alpha}_{01}+\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=-\frac{4\pi^2 L}{a T^2}\vec{\jmath}</math></center><br />
<br />
Puesto que conocemos las velocidades y aceleraciones de los tres movimientos y sabemos que existe un punto fijo en los tres movimientos, podemos aplicar en todos los casos, la fórmula general del campo de aceleraciones de un sólido.<br />
<br />
<center><math>\vec{a}^P_{ik} = \overbrace{\vec{a}^O_{ik}}^{=\vec{0}}+\vec{\alpha}_{ik}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}_{ik}\times(\vec{\omega}_{ik}\times\overrightarrow{OP})</math></center><br />
<br />
Esto nos da los siguientes resultados:<br />
<br />
===Movimiento de arrastre===<br />
El sólido 0 efectúa una rotación uniforme alrededor del eje OZ por lo que la aceleración de todos los puntos equivale a la de un movimiento circular uniforme: radial hacia adentro de la circunferencia y de módulo igual al cuadrado de la velocidad angular multiplicada por la distancia al eje de giro.<br />
<br />
;Punto A:<br />
<center><math>\vec{a}^A_{01}=\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA})=-\frac{4\pi^2}{T^2}\sqrt{L^2+a^2}\vec{\imath}</math></center><br />
<br />
;Punto B:<br />
<center><math>\vec{a}^B_{01}=\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OB})=-\frac{4\pi^2}{T^2}\frac{L^2-a^2}{\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\imath}</math></center><br />
<br />
;Punto C:<br />
<center><math>\vec{a}^C_{01}=\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC})=-\frac{4\pi^2}{T^2}\frac{L^2}{\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\imath}</math></center><br />
<br />
===Movimiento relativo===<br />
El sólido 2 también efectúa una rotación uniforme, en este caso en torno en torno a la barra. La aceleración de todos los puntos es de nuevo la de un movimiento circular uniforme: radial hacia adentro de la circunferencia y de módulo igual al cuadrado de la velocidad angular multiplicada por la distancia al eje de giro.<br />
<br />
;Punto A:<br />
<center><math>\vec{a}^A_{20}=\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OA})=\frac{4\pi^2}{a T^2}\sqrt{L^2+a^2}(a\vec{\imath}-L\vec{k})</math></center><br />
<br />
;Punto B:<br />
<center><math>\vec{a}^B_{20}=\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OB})=-\frac{4\pi^2}{a T^2}\sqrt{L^2+a^2}(a\vec{\imath}-L\vec{k})</math></center><br />
<br />
;Punto C:<br />
<center><math>\vec{a}^C_{20}=\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OC})=\vec{0}</math></center><br />
<br />
===Movimiento absoluto===<br />
La aceleración angular no es nula en el movimiento absoluto, por lo que ya las aceleraciones deben incluir los dos términos<br />
<br />
;Punto A:<br />
<center><math>\vec{a}^A_{21}=\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{OA}+\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OA})=\frac{4\pi^2L}{a T^2}\sqrt{L^2+a^2}\vec{k}</math></center><br />
<br />
;Punto B:<br />
<center><math>\vec{a}^B_{21}=\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{OB}+\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OB})=-\frac{4\pi^2L}{a T^2\sqrt{L^2+a^2}}(2La\vec{\imath}+(L^2+a^2)\vec{k})</math></center><br />
<br />
;Punto C: Esta aceleración es sencilla de calcular empleando la composición de movimientos<br />
<center><math>\vec{a}^C_{21}=\overbrace{\vec{a}^C_{20}}^{=\vec{0}}+\vec{a}^C_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\overbrace{\vec{v}^C_{20}}^{=\vec{0}}=-\frac{4\pi^2}{T^2}\frac{L^2}{\sqrt{L^2+a^2}}\vec{\imath}</math></center><br />
<br />
Sustituyendo los valores numéricos obtenemos los siguientes resultados, <br />
<br />
{| class="bordeado"<br />
|-<br />
! Movimiento<br />
! Arrastre {01}<br />
! Relativo {20}<br />
! Absoluto {21}<br />
|-<br />
| <math>\vec{\alpha}</math> (1/s&sup2;)<br />
| <math>\vec{0}</math><br />
| <math>\vec{0}</math><br />
| <math>-(\pi^2/3)\vec{\jmath}</math><br />
|-<br />
| <math>\vec{a}^A</math> (mm/s&sup2;)<br />
| <math>-25\pi^2\vec{\imath}</math><br />
| <math>-25\pi^2\vec{\imath}+(100\pi^2/3)\vec{k}</math><br />
| <math>(100\pi^2/3)\vec{k}</math><br />
|-<br />
| <math>\vec{a}^B</math> (mm/s&sup2;)<br />
| <math>-7\pi\vec{\imath}</math><br />
| <math>25\pi^2\vec{\imath}-(100\pi^2/3)\vec{k}</math><br />
| <math>-32\pi^2\vec{\imath}-(100\pi^2/3)\vec{k}</math><br />
|-<br />
| <math>\vec{a}^C</math> (mm/s&sup2;)<br />
| <math>-16\pi\vec{\imath}</math><br />
| <math>\vec{0}</math><br />
| <math>-16\pi\vec{\imath}</math><br />
|}<br />
<br />
==Periodo del movimiento==<br />
Parecería que, dado que el disco completa una vuelta en un periodo T, el movimiento de un punto del borde será periódico con el mismo periodo. Sin embargo, no es así. El que el disco de una vuelta no quiere decir que un punto concreto vuelva a ocupar la misma posición. Es más, en general no será así.<br />
<br />
Cuando el disco da una vuelta sobre la mesa, la circunferencia que describe tiene una longitud<br />
<br />
<center><math>l = 2\pi\sqrt{L^2+a^2}</math></center><br />
<br />
Puesto que en todo momento ha permanecido en contacto, el número de vueltas que ha dado sobre si mismo en ese tiempo es<br />
<br />
<center><math>n = \frac{l}{2\pi a} = \frac{\sqrt{L^2+a^2}}{a}</math></center><br />
<br />
Para una longitud de la barra y un radio arbitrarios, esta cantidad será en general irracional (por ejemplo, si <math>a=L</math> habrá dado <math>\sqrt{2}</math> vueltas). Si <math>n</math> es irracional el movimiento es aperiódico, ya que ningún múltiplo entero de <math>l</math> producirá un múltiplo entero de <math>2\pi a</math>, así que nunca ocurrirá que un punto en concreto del borde del disco toque la mesa exactamente dos (o más) veces en el mismo sitio.<br />
<br />
Si <math>n</math> es racional de forma que puede escribirse como la fracción <math>p/q</math>, se cumple que<br />
<br />
<center><math>\frac{p}{q}=\frac{l}{2\pi a}</math>{{tose}} <math>q l = p(2\pi a)\,</math></center><br />
<br />
Esto quiere decir que cuando el disco da <math>q</math> vueltas alrededor del eje vertical, da <math>p</math> vueltas sobre sí mismo. En este caso el movimiento sí es periódico y su periodo será <math>qT</math> siendo T el periodo de una vuelta del disco alrededor del eje.<br />
<br />
En nuestro caso<br />
<br />
<center><math>n = \frac{\sqrt{80^2+60^2}}{60} = \frac{5}{3}</math></center><br />
<br />
lo que quiere decir que en 3 vueltas alrededor del eje, el disco da 5 alrededor de la barra, con lo que el periodo será <br />
<br />
<center><math>T_A = 3T = 12\,\mathrm{s}</math></center><br />
<!--<br />
[[Categoría:Problemas de Movimiento Relativo (GITI)]]<br />
--></div>Drakehttp://laplace.us.es/wiki/index.php/Observaci%C3%B3n_desde_plataforma_giratoriaObservación desde plataforma giratoria2024-01-28T12:30:20Z<p>Drake: Página creada con «==Enunciado== Un individuo se encuentra sentado en el eje de una plataforma giratoria horizontal (sólido &ldquo;0&rdquo;) que rota con velocidad angular constante <math>\Omega</math> respecto al suelo (sólido &ldquo;1&rdquo;). Esta persona arroja horizontalmente un hueso de aceituna desde una altura <math>h</math> con velocidad <math>v_0\,</math>. Despreciando el rozamiento del aire, de forma que el hueso se mueve exclusivamente por la acción de su peso, determine…»</p>
<hr />
<div>==Enunciado==<br />
Un individuo se encuentra sentado en el eje de una plataforma giratoria horizontal (sólido &ldquo;0&rdquo;) que rota con velocidad angular constante <math>\Omega</math> respecto al suelo (sólido &ldquo;1&rdquo;). Esta persona arroja horizontalmente un hueso de aceituna desde una altura <math>h</math> con velocidad <math>v_0\,</math>. Despreciando el rozamiento del aire, de forma que el hueso se mueve exclusivamente por la acción de su peso, determine la velocidad y la aceleración que mide el observador rotatorio para cada instante. ¿Cuál es la rapidez relativa a la plataforma con la que golpea el suelo de ésta?<br />
<br />
==Velocidad==<br />
En este problema se trata de analizar cómo ve el mundo un observador en rotación. La velocidad y la aceleración que mide este observador no coinciden con las que mide uno situado en el suelo, no sometido a rotación.<br />
<br />
Tenemos aquí tres sólidos: el hueso, que consideramos sólido &ldquo;2&rdquo;, el suelo exterior, que desempeña el papel de sólido &ldquo;1&rdquo; y la plataforma giratoria, que consideraremos como sólido &ldquo;0&rdquo;.<br />
<br />
{| class="bordeado"<br />
|-<br />
| [[Archivo:disco-rotante-fijo.gif]]<br />
| [[Archivo:disco-rotante-movil.gif]]<br />
|-<br />
! Desde el suelo<br />
! Desde la plataforma<br />
|}<br />
<br />
Lo que va a ocurrir es que, mientras que para un observador situado en el suelo, el hueso va a a describir una parábola vertical, para el observador de la plataforma además se va a ir desviando lateralmente.<br />
<br />
===Movimiento {21}===<br />
Conocemos el movimiento del sólido &ldquo;2&rdquo; respecto al suelo &ldquo;1&rdquo;: describe un movimiento parabólico desde el punto inicial, ya que una vez que se separa del observador rotatorio, pierde la rotación que pudiera tener.<br />
<br />
Si consideramos que el plano del movimiento {21} del hueso es el <math>OX_1Z_1</math>, la posición instantánea del hueso es<br />
<br />
<center><math>\left\{\begin{array}{rcl} x_1 & = & v_0t \\ && \\ y_1 & = & 0 \\ && \\ z_1 & = & h-\displaystyle\frac{1}{2}gt^2\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad\overrightarrow{OH}=v_0 t \vec{\imath}_1+\left(h-\frac{1}{2}gt^2\right)\vec{k}_1</math></center><br />
<br />
Puesto que tenemos la posición en cada instante, podemos derivar para obtener la velocidad y la aceleración en el movimiento {21}<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^H_{21}=v_0\vec{\imath}_1-g t \vec{k}_1</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}^H_{21}=-g\vec{k}_1</math></center><br />
<br />
===Movimiento {01}===<br />
La plataforma está rotando con velocidad angular <math>\Omega</math> en sentido antihorario con respecto al suelo:<br />
<br />
<center><math>\vec{\omega}_{01}=\Omega\vec{k}_1</math></center><br />
<br />
La velocidad {01} del punto H (velocidad de arrastre) va a depender de la distancia entre H y el eje fijo de rotación:<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^H_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OH}=-\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_1 & \vec{\jmath}_1 & \vec{k}_1 \\ 0 & 0 & \Omega\\ v_0 t & 0 & h-gt^2/2\end{matrix}\right| = \Omega v_0 t \vec{\jmath}_1</math></center><br />
<br />
Nótese que hemos expresado esta velocidad en los ejes ligados al sólido 1 (el suelo).<br />
<br />
===Movimiento {20}===<br />
Según la ley de composición de velocidades:<br />
<center><math>\vec{v}^H_{21}=\vec{v}^H_{20}+\vec{v}^H_{01}</math></center><br />
<br />
Por tanto, restando las dos velocidades calculadas anteriormente obtenemos la velocidad medida por el observador ligado a la plataforma giratoria:<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^H_{20}=\vec{v}^H_{21}-\vec{v}^H_{01}=v_0\vec{\imath}_1-\Omega v_0 t \vec{\jmath}_1-g t\vec{k}_1</math></center><br />
<br />
Podría pensarse que el observador móvil ve un movimiento de aceleración constante (ya que el nuevo término se parece a la componente vertical). Sin embargo no es así, ya que hemos expresado el resultado en unos ejes ligados al suelo &ldquo;1&rdquo;, que para el observador giratorio son unos ejes móviles. <br />
<br />
Para expresar el vector velocidad en una base ligada a la plataforma en rotación, debemos relacionar las bases respectivas. Tenemos que el vector <math>\vec{k}</math> es el mismo para ambas bases. Para los otros dos vectores tenemos las relaciones<br />
<br />
<center><math>\begin{array}{rcl}\vec{\imath}_1 & = & \cos(\Omega t) \vec{\imath}_0 -\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}_0 \\ <br />
\vec{\jmath}_1 & = & \mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}_0 + \cos(\Omega t)\vec{\jmath}_0\end{array}</math></center><br />
<br />
lo que nos da la velocidad<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^H_{20}=\left(v_0\cos(\Omega t)-\Omega v_0 t\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\vec{\imath}_0-\left(v_0\mathrm{sen}(\Omega t)+\Omega v_0 t\cos(\Omega t)\right)\vec{\jmath}_0-g t\vec{k}_0</math></center><br />
<br />
que no es para nada la ecuación de un movimiento de aceleración constante.<br />
<br />
==Aceleración==<br />
Del mismo modo que para la velocidad, tenemos la aceleración.<br />
===En el movimiento {21}===<br />
La aceleración del hueso respecto al suelo es constante<br />
<br />
<center><math>\vec{a}^H_{21}=-g\vec{k}_1</math></center><br />
<br />
===En el movimiento {01}===<br />
Para la aceleración {01} empleamos la expresión del campo de aceleraciones de un sólido<br />
<br />
<center><math>\vec{a}^H_{01}=\vec{a}^O_{01} +\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OH}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OH})</math></center><br />
<br />
En este caso, la aceleración de un punto del eje es nula, por ser éste fijo. También se anula la aceleración angular, por rotar la plataforma con velocidad angular constante. Para el último término resulta:<br />
<br />
<center><math>\vec{a}^H_{01}=\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OH})=-\Omega^2v_0t\vec{\imath}_1</math></center><br />
<br />
Vemos que resulta una aceleración radial hacia adentro, como corresponde a que en este movimiento haya una rotación alrededor del eje.<br />
<br />
De nuevo, hay que señalar que este resultado lo hemos expresado usando los ejes ligados al suelo, que para el observador rotatorio son ejes móviles.<br />
<br />
===En el movimiento {20}===<br />
Por último, según el teorema de Coriolis tenemos:<br />
<br />
<center><math>\vec{a}^H_{21}=\vec{a}^H_{20}+\vec{a}^H_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^H_{20}</math></center><br />
<br />
Nos queda por hallar el tercer sumando:<br />
<br />
<center><math>2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^H_{20}=2\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_1 & \vec{\jmath}_1 & \vec{k}_1 \\ 0 & 0 & \Omega \\ v_0 & -\Omega v_0 t & -g t\end{matrix}\right| = 2\Omega^2 v_0 t\,\vec{\imath}_1+2\Omega v_0\,\vec{\jmath}_1</math></center><br />
<br />
Despejando la aceleración {20}:<br />
<br />
<center><math>\vec{a}^H_{20}=\vec{a}^H_{21}-\vec{a}^H_{01}-2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^H_{20}=-\Omega^2v_0t\,\vec{\imath}_1-2\Omega v_0\,\vec{\jmath}_1-g\,\vec{k}_1</math></center><br />
<br />
De nuevo, si queremos expresar este resultado en la base ligada a la plataforma giratoria queda<br />
<center><math><br />
\vec{a}^H_{20}=(-\Omega^2v_0t\cos(\Omega t)-2\Omega v_0\mathrm{sen}(\Omega t))\vec{\imath}_0+(\Omega^2v_0t\,\mathrm{sen}(\Omega t)-2\Omega v_0\cos(\Omega t))\vec{\jmath}_0-g\vec{k}_0</math></center><br />
<br />
==Rapidez de impacto==<br />
La celeridad respecto a la plataforma con la que el hueso impacta en ella viene dada por el módulo de la velocidad {20}<br />
<br />
<center><math>c = |\vec{v}^H_{20}|</math></center><br />
<br />
en el momento del impacto. Este se produce cuando <math>z_1=0</math>, lo que ocurre en el instante<br />
<br />
<center><math>0 = h-\frac{1}{2}gt_i^2\qquad\Rightarrow\qquad t_i = \sqrt{\frac{2h}{g}}</math></center><br />
<br />
y la velocidad en ese momento es<br />
<br />
<center><math>\vec{v}^H_{20}(t_i)=v_0\,\vec{\imath}_1-\Omega v_0 t_i \,\vec{\jmath}_1-g t_i\,\vec{k}_1=v_0\,\vec{\imath}_1-\Omega v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}} \,\vec{\jmath}_1-\sqrt{2gh}\,\vec{k}_1</math></center><br />
<br />
con módulo<br />
<br />
<center><math>|\vec{v}^H_{20}| = \sqrt{v_0^2 + \frac{2h\Omega^2v_0^2}{g}+2gh} = \sqrt{2gh}\sqrt{1+ \frac{v_0^2(g+2\Omega^2h)}{2g^2h}}</math></center><br />
<br />
Nótese que para hallar el módulo no necesitamos expresar el vector en la base móvil.<br />
<br />
Esta rapidez es mayor que la que tendría si impactara contra el suelo inmóvil. Para un observador en el suelo, esto se debe a que, aunque el hueso cae con la velocidad habitual, la plataforma &ldquo;va a su encuentro&rdquo;, aumentando la celeridad de impacto. Para el observador giratorio, se debe a que el hueso no cae haciendo una parábola, sino que también tiene un movimiento lateral que hay que incluir en la velocidad.<br />
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