|
|
Línea 1: |
Línea 1: |
| ==Enunciado==
| |
| Un bloque de peso <math>mg=40\,\mathrm{N}</math> se encuentra sobre un plano inclinado de altura <math>h=1.2\,\mathrm{m}</math> y pendiente del 75%. El bloque se encuentra atado al punto superior del plano por un resorte de constante <math>k=30\,\mathrm{N}/\mathrm{m}</math> y longitud natural <math>\ell_0=20\,\mathrm{cm}</math>. Para hacer el estudio se considera el sistema de ejes indicado en la figura.
| |
|
| |
|
| # Suponiendo que no existe rozamiento entre el bloque y el plano, determine la distancia <math>\ell_\mathrm{eq}</math> a la que la masa se queda en equilibrio.
| |
| # Suponga que inicialmente el bloque se encuentra sujeto a una distancia igual a la longitud natural del resorte y en ese momento se suelta. ¿Cuánto vale su rapidez cuando pasa por la distancia de equilibrio <math>\ell_\mathrm{eq}</math>? ¿Cuál es la distancia máxima <math>\ell_\mathrm{max}</math> a la que llega el bloque?
| |
| # Suponga ahora que existe un coeficiente de rozamiento estático <math>\mu=0.25</math> entre el bloque y el plano. ¿Entre qué valores de <math>\ell</math> puede situarse la masa en reposo, quedándose en equilibrio?
| |
|
| |
| <center>[[Archivo:masa-plano-resorte.png]]</center>
| |
|
| |
| ==Posición de equilibrio==
| |
| La posición de equilibrio será aquella en la que la suma de fuerzas sobre la masa sea cero. En ausencia de rozamiento tenemos tres fuerzas actuando sobre el bloque: el peso, la fuerza elástica y la reacción normal del plano
| |
|
| |
| <center><math>m\vec{g}+\vec{F}_n+\vec{F}_e=\vec{0}</math></center>
| |
|
| |
| [[Archivo:masa-plano-resorte-01.png]]
| |
|
| |
| Empleando el sistema de ejes indicado en el enunciado, cada una de estas fuerzas se escribe:
| |
|
| |
| ;Peso:
| |
|
| |
| <center><math>m\vec{g} = mg\,\mathrm{sen}(\beta)\vec{\imath}-mg\cos(\beta)\vec{k}</math></center>
| |
|
| |
| ;Fuerza normal: Esta va en la dirección del eje OZ positivo
| |
|
| |
| <center><math>\vec{F}_n = F_n\vec{k}</math></center>
| |
|
| |
| ;Fuerza elástica: Es tangente al plano inclinado y proporcional a la diferencia entre la longitud instantánea y la longitud natural
| |
|
| |
| <center><math>\vec{F}_e =-k(\ell-\ell_0)\vec{\imath}</math></center>
| |
|
| |
| Sumando los tres vectores y separando por componentes
| |
|
| |
| <center><math>m\vec{g}+\vec{F}_n+\vec{F}_e=\vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl}
| |
| mg\,\mathrm{sen}(\beta)-k(\ell-\ell_0)&=& 0 \\ -mg\cos(\beta)+F_n & = & 0 \end{array}\right.</math></center>
| |
|
| |
| lo que nos da la longitud de equilibrio
| |
|
| |
| <center><math>\ell_\mathrm{eq} = \ell_0+\frac{mg\,\mathrm{sen}(\beta)}{k}</math></center>
| |
|
| |
| donde, en este caso
| |
|
| |
| <center><math>mg = 40\,\mathrm{N}\qquad\mathrm{tg}(\beta)=0.75\qquad\Rightarrow\qquad\left\{\begin{array}{c} \mathrm{sen}(\beta) = 0.60 \\ \cos(\beta) = 0.80\end{array}\right.</math></center>
| |
|
| |
| y queda la distancia
| |
|
| |
| <center><math>\ell_\mathrm{eq}=0.20\,\mathrm{m}+\frac{40\cdot 0.60}{30}\,\mathrm{m}=1.00\,\mathrm{m}</math></center>
| |
|
| |
| Obsérvese que la longitud de equilibrio no coincide con la longitud natural, sino que es mayor que esta, ya que la el peso estira el muelle.
| |
|
| |
| ==Rapidez y alcance máximos==
| |
| Cuando la partícula se suelta desde un punto que no sea la posición de equilibrio, describe un movimiento armónico simple alrededor de esta posición.
| |
|
| |
| Las fuerzas que actúan sobre la masa son las mismas que antes, pero ya no se anulan mutuamente
| |
|
| |
| <center><math>m\vec{a}=m\vec{g}+\vec{F}_n+\vec{F}_e</math></center>
| |
|
| |
| Separando por componentes
| |
|
| |
| <center><math>ma_x = mg\,\mathrm{sen}(\beta)-k(\ell-\ell_0)\qquad\qquad 0 = ma_z = -mg\cos(\beta)+F_n</math></center>
| |
|
| |
| La fuerza normal sigue compensando a la componente normal del peso
| |
|
| |
| <center><math>F_n = mg\cos(\beta)\,</math></center>
| |
|
| |
| Para estudiar la componente paralela al plano definimos la elongación del muelle como la diferencia respecto a la posición de equilibrio (que no la longitud natural)
| |
|
| |
| <center><math>x = \ell-\ell_\mathrm{eq}=\ell-\left(\ell_0+\frac{mg\,\mathrm{sen}(\beta)}{k}\right)\qquad\Rightarrow\qquad \ell = x + \ell_0+ \frac{mg\,\mathrm{sen}(\beta)}{k}</math></center>
| |
|
| |
| Empleando la elongación, la ley de Newton queda
| |
|
| |
| <center><math>ma_x = m\ddot{x}=mg\,\mathrm{sen}(\beta)-k\left(x+ \ell_0+ \frac{mg\,\mathrm{sen}(\beta)}{k}-\ell_0\right) = -kx</math></center>
| |
|
| |
| Esto es la ecuación de un oscilador armónico en torno a la posición de equilibrio <math>x=0</math>. Obsérvese como con este cambio de variables el peso desaparece aparentemente de las ecuaciones y no tenemos que añadir el correspondiente término
| |
|
| |
| La energía potencial asociada a la fuerza que mueve a la masa es la correspondiente a un oscilador armónico
| |
|
| |
| <center><math>F(x) =-kx \qquad\Rightarrow\qquad U(x) = \frac{1}{2}kx^2</math></center>
| |
|
| |
| ===Alcance máximo===
| |
| Si la partícula se encuentra en la posición inicial igual a la longitud natural,
| |
|
| |
| <center><math>\ell(t=0) = \ell_0=0.20\,\mathrm{m}</math></center>
| |
|
| |
| su elongación inicial es la diferencia entre esta y la longitud de equilibrio
| |
|
| |
| <center><math>x(t=0) = \ell(t=0) -\ell_\mathrm{eq} = \ell_0 - \left(\ell_0+\frac{mg\,\mathrm{sen}(\beta)}{k}\right) = -\frac{mg\,\mathrm{sen}(\beta)}{k}</math></center>
| |
|
| |
| Numéricamente
| |
|
| |
| <center><math>\ell_\mathrm{eq}=1.00\,\mathrm{m}\qquad \ell(t=0) = \ell_0=0.20\,\mathrm{m}\qquad\qquad x(t=0) = x_0=-0.80\,\mathrm{m}</math></center>
| |
|
| |
| Una vez que se suelta, la partícula describe oscilaciones alrededor del punto de equilibrio. Puesto que parte del reposo, la amplitud de las oscilaciones es igual a la diferencia entre la posición de equilibrio y la inicial
| |
|
| |
| <center><math>A=|x_0| = 0.80\,\mathrm{m}</math></center>
| |
|
| |
| El alcance máximo se obtiene cuando la masa llega a una distancia igual a la amplitud por el otro lado del punto de equilibrio
| |
|
| |
| <center><math>\ell_\mathrm{max} = \ell_\mathrm{eq}+A =1.80\,\mathrm{m}</math></center>
| |
|
| |
| ===Rapidez máxima===
| |
| La rapidez máxima se alcanza cuando el bloque pasa por la posición de equilibrio. En este momento la energía potencial elástica se ha transformado en energía cinética, cumpliéndose la igualdad
| |
|
| |
| <center><math>\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m|\vec{v}|_\mathrm{max}^2</math></center>
| |
|
| |
| lo que nos da la rapidez máxima
| |
|
| |
| <center><math>|\vec{v}|_\mathrm{max}=\sqrt{\frac{k}{m}}A =\sqrt{\frac{30}{40/9.81}}0.80\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 2.17\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
| |
|
| |
| ===Solución alternativa===
| |
| Una forma alternativa más larga de llegar a estos mismos resultados consiste en considerar por separado la energía potencial gravitatoria y la elástica, de manera que
| |
|
| |
| <center><math>U(\ell) = mgh(\ell)+\frac{1}{2}k(\ell-\ell_0)^2</math></center>
| |
|
| |
| La altura puede medirse desde cualquier nivel de referencia, no necesariamente desde el punto más bajo del plano. Si optamos por medirlo desde este punto, la altura para cada valor de <math>\ell</math> será, en metros,
| |
|
| |
| <center><math>h(\ell) = h-\ell\,\mathrm{sen}(\beta) = 1.2-0.6l</math></center>
| |
|
| |
| La altura inicial es, de acuerdo con esta fórmula
| |
|
| |
| <center><math>h_i = (1.2-0.2\cdot 0.6)\mathrm{m} = 1.08\,\mathrm{m}</math></center>
| |
|
| |
| y en la posición de equilibrio
| |
|
| |
| <center><math>h_\mathrm{eq}=(1.2-1.0\cdot 0.6)\mathrm{m} = 0.60\,\mathrm{m}</math></center>
| |
|
| |
| La conservación de la energía mecánica nos da, para el cálculo de la rapidez máxima
| |
|
| |
| <center><math>\frac{1}{2}m\overbrace{|\vec{v}_i|^2}^{=0}+m g h_i+\frac{1}{2}k\overbrace{(\ell_i-\ell_0)^2}^{=0} = \frac{1}{2}m|\vec{v}|^2+mgh_\mathrm{eq}+\frac{1}{2}k(\ell_\mathrm{eq}-\ell_0)^2</math></center>
| |
|
| |
| En forma numérica, midiendo la energía en julios
| |
|
| |
| <center><math>40\cdot 1.08 = \frac{1}{2}\frac{40}{9.81}|\vec{v}|^2 +40\cdot 0.60 + \frac{1}{2}30(1.0-0.2)^2</math></center>
| |
|
| |
| Despejando de aquí
| |
|
| |
| <center><math>\frac{1}{2}4.08|\vec{v}|^2 = (43.2-24.0-9.6)\,\mathrm{J} = 9.6\,\mathrm{J}\qquad \Rightarrow\qquad |\vec{v}|=2.17\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
| |
|
| |
| El alcance máximo se obtiene de la misma forma, buscando en qué punto la energía cinética vuelve a ser nula.
| |
|
| |
| <center><math>\frac{1}{2}m\overbrace{|\vec{v}_i|^2}^{=0}+m g h_i+\frac{1}{2}k\overbrace{(\ell_i-\ell_0)^2}^{=0} = \frac{1}{2}m\overbrace{|\vec{v}|^2}^{=0}+mg(h-\ell_\mathrm{max}\mathrm{sen}(\beta))+\frac{1}{2}k(\ell_\mathrm{max}-\ell_0)^2</math></center>
| |
|
| |
| Esto nos da la ecuación de segundo grado, con todas las magnitudes en el SI
| |
|
| |
| <center><math>43.2= 40(1.2-\ell_\mathrm{max})+15(\ell-0.2)^2 \qquad\Rightarrow\qquad \ell_\mathrm{max}^2-2\ell_\mathrm{max}+0.36=0</math></center>
| |
|
| |
| Las dos soluciones de esta ecuación son <math>\ell_\mathrm{min}=0.2\,\mathrm{m}</math>, correspondiente a la posición inicial y
| |
|
| |
| <center><math>\ell_\mathrm{max}=1.8\,\mathrm{m}</math></center>
| |
|
| |
| Como se ve, este método desarrollado conduce a la solución correcta pero es mucho más largo y proclive a errores que el anterior.
| |
|
| |
| ==Zona de equilibrio==
| |
| Cuando tenemos fricción entre el bloque y el plano, además de las tres fuerzas del primer apartado, tenemos también que añadir la fuerza de rozamiento. Esta fuerza es tangente a la superficie
| |
|
| |
| <center><math>\vec{F}_r = F_r \vec{\imath}</math></center>
| |
|
| |
| lo que nos da las ecuaciones de equilibrio
| |
|
| |
| <center><math>mg\,\mathrm{sen}(\beta)-k(\ell-\ell_0)+F_r = 0\qquad\qquad -mg\cos(\beta)+F_n = 0</math></center>
| |
|
| |
| En la posición de equilibrio del primer apartado, la fuerza de rozamiento es nula ya que la fuerza elástica compensa al peso y no se ejerce fuerza externa sobre el bloque. Si se separa de esta posición, la fuerza de rozamiento va aumentando, hasta que llega a su valor límite. A partir de ahí no es capaz de compensar la diferencia entre la fuerza elástica y el peso, y el bloque se mueve. El valor máximo de la fuerza de rozamiento lo da la condición de deslizamiento inminente
| |
|
| |
| <center><math>|F_r| \leq \mu|F_n| = \mu mg\cos(\beta)</math></center>
| |
|
| |
| con lo que los valores extremos de la posición los da el que se alcance la igualdad, esto es, cuando
| |
|
| |
| <center><math>mg\,\mathrm{sen}(\beta) - k(\ell-\ell_0)\pm \mu mg \cos(\beta) = 0</math></center>
| |
|
| |
| lo que da las posiciones extremas
| |
|
| |
| <center><math>\ell = \ell_0 +\frac{mg}{k}\left(\mathrm{sen}(\beta)\pm \mu\cos(\beta)\right)</math></center>
| |
|
| |
| Sustituyendo los valores numéricos
| |
|
| |
| <center><math>\ell = \left(0.20 + \frac{40}{30}(0.6\pm 0.25\cdot 0.80)\right)\,\mathrm{m} = \left\{\begin{array}{c}0.73\,\mathrm{m} \\ 1.27\,\mathrm{m}\end{array}\right.</math></center>
| |
|
| |
| Por tanto, la masa se quedará en reposo si
| |
|
| |
| <center><math>0.73\,\mathrm{m}\leq \ell_0\leq 1.27\mathrm{m}</math></center>
| |
|
| |
| En un extremo la fuerza de rozamiento irá en un sentido y en el otro apuntará en el sentido opuesto.
| |
|
| |
| <center>[[Archivo:masa-plano-resorte-02.png]]{{qquad}}{{qquad}}[[Archivo:masa-plano-resorte-03.png]]</center>
| |