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Engranaje planetario (CMR)

De Laplace

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==Enunciado==
==Enunciado==
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Se tiene un engranaje planetario formado por un eje central sobre el cual va montado un disco de radio ''r'' (sólido “2”, el “sol”) y una corona exterior estacionaria (sólido “1”), de radio R. Entre el sol y la corona se encuentra un sistema de tres discos iguales (los “planetas”, siendo uno de ellos el sólido “3”) que ruedan sin deslizar sobre ambas superficies. Los centros de estos discos se encuentran unidos por el portaplanetas o ''carrier'' (sólido “4”). En un momento dado, el sol se encuentra girando con velocidad angular Ω respecto la corona  y el centro del disco “3” se encuentra sobre el eje {OX}_4  
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Se tiene un engranaje planetario formado por un eje central sobre el cual va montado un disco de radio ''r'' (sólido “2”, el “sol”) y una corona exterior estacionaria (sólido “1”), de radio R. Entre el sol y la corona se encuentra un sistema de tres discos iguales (los “planetas”, siendo uno de ellos el sólido “3”) que ruedan sin deslizar sobre ambas superficies. Los centros de estos discos se encuentran unidos por el portaplanetas o ''carrier'' (sólido “4”). En un momento dado, el sol se encuentra girando con velocidad angular Ω respecto la corona  y el centro del disco “3” se encuentra sobre el eje <math>{OX}_4</math>
# Determine las velocidad angular <math>\omega_{41}</math> y su proporción con la <math>\omega_{21}</math> (''relación de transformación'')
# Determine las velocidad angular <math>\omega_{41}</math> y su proporción con la <math>\omega_{21}</math> (''relación de transformación'')
# Alternativamente puede fijarse el carrier, con lo que, al hacer girar el sol, la corona empieza a girar. ¿En qué sentido lo hace? ¿Cuánto vale la proporción <math>\omega_{14}/\omega_{24}</math>?
# Alternativamente puede fijarse el carrier, con lo que, al hacer girar el sol, la corona empieza a girar. ¿En qué sentido lo hace? ¿Cuánto vale la proporción <math>\omega_{14}/\omega_{24}</math>?
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==Caso de corona fija==
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El movimiento de los tres planetas es idéntico, por lo que podemos considerar solo uno de ellos.
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Nuestro objetivo es determinar la velocidad del centro de este disco, ya que de ella sacamos la velocidad angular del ''carrier''.
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Tenemos que el sol se mueve, respecto a la corona fija, con velocidad angular
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El punto A, de contacto con el planeta "3" tiene velocidad
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Puesto que el planeta rueda sin deslizar sobre el sol, ésta es también la velocidad de este punto del planeta
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Por otro lado, el punto B, donde el planeta hace contacto con la corona, tiene velocidad nula respecto a ésta, ya que también rueda sin deslizar.
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El punto C, centro del planeta, es el punto medio entre A y B, por lo que su velocidad es
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El punto C es una articulación entre el planeta y el carrier, por lo que
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Por otro lado, el carrier realiza una rotación en torno al eje central
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Igualando y despejando
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por lo que la relación de transformación es
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==Caso de ''carrier'' fijo==

Revisión de 14:07 3 dic 2020

1 Enunciado

Se tiene un engranaje planetario formado por un eje central sobre el cual va montado un disco de radio r (sólido “2”, el “sol”) y una corona exterior estacionaria (sólido “1”), de radio R. Entre el sol y la corona se encuentra un sistema de tres discos iguales (los “planetas”, siendo uno de ellos el sólido “3”) que ruedan sin deslizar sobre ambas superficies. Los centros de estos discos se encuentran unidos por el portaplanetas o carrier (sólido “4”). En un momento dado, el sol se encuentra girando con velocidad angular Ω respecto la corona y el centro del disco “3” se encuentra sobre el eje OX4

  1. Determine las velocidad angular ω41 y su proporción con la ω21 (relación de transformación)
  2. Alternativamente puede fijarse el carrier, con lo que, al hacer girar el sol, la corona empieza a girar. ¿En qué sentido lo hace? ¿Cuánto vale la proporción ω14 / ω24?

2 Caso de corona fija

El movimiento de los tres planetas es idéntico, por lo que podemos considerar solo uno de ellos. Nuestro objetivo es determinar la velocidad del centro de este disco, ya que de ella sacamos la velocidad angular del carrier.

Tenemos que el sol se mueve, respecto a la corona fija, con velocidad angular

\omega_{21}=\Omega\,

El punto A, de contacto con el planeta "3" tiene velocidad

\vec{v}^A_{21}=\omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}=\Omega\vec{k}\times(R\vec{\imath}_4)=\Omega b\vec{\jmath}_{4}

Puesto que el planeta rueda sin deslizar sobre el sol, ésta es también la velocidad de este punto del planeta

\vec{v}^A_{31}=\vec{v}^A_{32}+\vec{v}^A_{21}=\vec{0}+\Omega R\vec{\jmath}_4=\Omega R\vec{\jmath}_4

Por otro lado, el punto B, donde el planeta hace contacto con la corona, tiene velocidad nula respecto a ésta, ya que también rueda sin deslizar.

\vec{v}^B_{31}=\vec{0}

El punto C, centro del planeta, es el punto medio entre A y B, por lo que su velocidad es

\vec{v}^C_{31}=\frac{\vec{v}^A_{31}+\vec{v}^B_{31}}{2}=\frac{\Omega R}{2}\vec{\jmath}_4

El punto C es una articulación entre el planeta y el carrier, por lo que

\vec{v}^C_{41}=\vec{v}^C_{31}=\frac{\Omega R}{2}\vec{\jmath}_4

Por otro lado, el carrier realiza una rotación en torno al eje central

\vec{v}^C_{41}=\omega_{41}\vec{k}\times\overrightarrow{OC}=\omega_{41}(R+r)\vec{\jmath}_4

Igualando y despejando

\omega_{41}=\frac{\Omega R}{2(R+r)}

por lo que la relación de transformación es

\frac{\omega_{41}}{\omega_{21}}=\frac{\omega_{41}}{\Omega}=\frac{R}{2(R+r)}



3 Caso de carrier fijo

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