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| ==Anilla ensartada en un aro giratorio==
| | Aro rodando sin deslizar sobre plano inclinado |
| Una pequeña anilla de masa m está ensartada en un aro vertical de radio ''R'' que puede girar alrededor del eje ''OZ'' (este sistema equivale a un péndulo simple formado por una masa ''m'' unida a una varilla rígida de longitud ''R'', unida por su otro extremo a un punto fijo O mediante una articulación esférica). La masa está sometida a la acción del peso.
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| <center>[[Archivo:anilla-aro-giratorio.png]]</center>
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| # Considere, en primer lugar, el movimiento en un plano vertical. Determine la ecuación de movimiento para el ángulo θ que la anilla forma con la vertical. ¿Qué puntos de equilibrio existen? ¿Son estables o inestables?
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| # Considere el caso de que el aro gira con velocidad angular constante <math>\dot{\phi}=\Omega</math> alrededor del eje vertical. ¿Cuál debe ser la relación entre Ω y el ángulo con la vertical, θ, para que la anilla ni suba ni baje en el aro, describiendo una circunferencia horizontal? ¿Puede conseguirse un movimiento circular sea cual sea Ω?
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| # Suponga ahora el movimiento general, en el cual puede cambiar tanto θ como el ángulo ϕ, de giro alrededor del eje vertical. A partir de la 2ª ley de Newton, obtenga las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos. Esto puede hacerse de diferentes maneras:
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| ## Empleando un sistema de referencia en rotación alrededor del eje vertical, y empleando las fuerzas ficticias necesarias.
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| ## Considerando una composición de movimientos mediante tres sistemas de referencia: uno fijo “1”, uno intermedio “2” que gira alrededor del eje vertical un ángulo ϕ y uno ligado “3” que gira respecto a un eje horizontal un ángulo θ.
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| # Considerando el caso general, con movimiento en las dos coordenadas ϕ y θ, suponga que con un motor se fuerza a una rotación constante <math>\dot{\phi}=\Omega</math>. En ese caso, ¿cómo queda la ecuación para θ? ¿Qué puntos de equilibrio hay? ¿Son estables o inestables?
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| [[Anilla ensartada en un aro giratorio|Solución]]
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| ==Oscilaciones verticales==
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| Suponemos en primer lugar que el aro vertical se encuentra en una posición fija. Construimos un sistema de referencia <math>OX_2Y_2Z_2</math> ligado a este aro (la razón de que lo llamemos “2&” y no “1&” es que más tarde nos hará falta el sistema “1&”), con el eje <math>OZ_2</math> en la dirección vertical, el eje <math>OY_2</math> la horizontal contenida en el plano del aro y el <math>OX_2</math> el eje del aro (perpendicular a él). El origen de coordenadas, que va a ser el mismo en todo el problema.
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| En este sistema la fuerza del peso es
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| <center><math>\vec{F}_g=-mgk\vec{k}_2</math></center>
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| Para la anilla consideramos un segundo sistema de referencia “3&”, que comparte el eje OX con el 2, y que tiene a la anilla situada en <math>OZ_3</math> negativo. Este sistema está girado un ángulo θ alrededor de <math>OX_2=OX_3</math> respecto al sistema 2
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| La relación entre las dos bases es
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| <center><math>\begin{matrix}{rcl}
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| \vec{\imath}_3&=&\vec{\imath}_2\\
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| \vec{\jmath}_3&=&\cos(\theta)\vec{\jmath}_2 + \mathrm{sen}(\theta)\vec{k}_2\\
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| \vec{k}_3&=&-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_2 + \cos(\theta)\vec{k}_2
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| \end{matrix}</math></center>
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| ==Giro alrededor de un eje vertical==
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| ==Movimiento general==
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| ===Mediante fuerzas ficticias===
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| ===Mediante el teorema de Coriolis===
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| ==Giro forzado==
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| ===Puntos de equilibrio===
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| ===Estabilidad===
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