(Página creada con «= Enunciado = == Partícula en aro con diferentes métodos== sinmarco|derecha Se tiene un aro circular de radio <math>R</math> contenido en un plano vertical. Engarzado en él hay una masa <math>m</math> que puede deslizar siguiendo la circunferencia del aro bajo la acción de la gravedad. # Suponiendo que el contacto es liso, encuentra las ecuación de movimiento de la masa usando…»)
 
(Página creada con «==Anilla ensartada en un aro giratorio== Una pequeña anilla de masa m está ensartada en un aro vertical de radio ''R'' que puede girar alrededor del eje ''OZ'' (este sistema equivale a un péndulo simple formado por una masa ''m'' unida a una varilla rígida de longitud ''R'', unida por su otro extremo a un punto fijo O mediante una articulación esférica). La masa está sometida a la acción del peso. <center>Archivo:anilla-aro-giratorio.png</center> # Consi…»)
 
Línea 1: Línea 1:
= Enunciado =
==Anilla ensartada en un aro giratorio==
== [[Partícula en aro con diferentes métodos (MRGIC) | Partícula en aro con diferentes métodos]]==
Una pequeña anilla de masa m está ensartada en un aro vertical de radio ''R'' que puede girar alrededor del eje ''OZ'' (este sistema equivale a un péndulo simple formado por una masa ''m'' unida a una varilla rígida de longitud ''R'', unida por su otro extremo a un punto fijo O mediante una articulación esférica). La masa está sometida a la acción del peso.
[[Archivo:ParticulaAro.png|sinmarco|derecha]]
Se tiene un aro circular de radio <math>R</math> contenido en un plano vertical.  Engarzado en él hay una masa <math>m</math> que puede deslizar siguiendo la circunferencia del aro bajo la acción de la gravedad.
# Suponiendo que el contacto es liso, encuentra las ecuación de movimiento de la masa usando el Principio de D'Alembert.
# Repite el primer apartado usando la energía cinética y fuerzas generalizadas.
# Repite el primer apartado usando la Función de Lagrange.
# Repite el primer apartado usando el Prinicipio de Liberación.
# Repite el primer apartado usando la técnica de los multiplicadores de Lagrange.
# Consideremos ahora que el vínculo entre la partícula y el aro es rugoso, con un coeficiente de rozamiento dinámico <math>\mu</math>. Determina las ecuaciones de movimiento usando el Principio de Liberación.


= Solución =
<center>[[Archivo:anilla-aro-giratorio.png]]</center>


== Principio de D'Alembert ==
# Considere, en primer lugar, el movimiento en un plano vertical. Determine la ecuación de movimiento para el ángulo θ que la anilla forma con la vertical. ¿Qué puntos de equilibrio existen? ¿Son estables o inestables?
[[Archivo:ParticulaAroDAlembert.png|sinmarco|derecha]]
# Considere el caso de que el aro gira con velocidad angular constante <math>\dot{\phi}=\Omega</math> alrededor del eje vertical. ¿Cuál debe ser la relación entre Ω y el ángulo con la vertical, θ, para que la anilla ni suba ni baje en el aro, describiendo una circunferencia horizontal? ¿Puede conseguirse un movimiento circular sea cual sea Ω?
Primero identificamos el número de grados de libertad. La partícula está sometida a dos vínculos. Usando coordenadas cilíndricas estos vínculos se expresan
# Suponga ahora el movimiento general, en el cual puede cambiar tanto θ como el ángulo &straightphi;, de giro alrededor del eje vertical. A partir de la 2ª ley de Newton, obtenga las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos. Esto puede hacerse de diferentes maneras:
<center>
## Empleando un sistema de referencia en rotación alrededor del eje vertical, y empleando las fuerzas ficticias necesarias.
<math>
## Considerando una composición de movimientos mediante tres sistemas de referencia: uno fijo “1”, uno intermedio “2” que gira alrededor del eje vertical un ángulo &straightphi; y uno ligado “3” que gira respecto a un eje horizontal un ángulo θ.
r = R, \qquad z=0.
# Considerando el caso general, con movimiento en las dos coordenadas &straightphi; y θ, suponga que con un motor se fuerza a una rotación constante <math>\dot{\phi}=\Omega</math>. En ese caso, ¿cómo queda la ecuación para θ? ¿Qué puntos de equilibrio hay? ¿Son estables o inestables?
</math>
</center>
Por tanto, la partícula tiene un grado de libertad. Vamos a usar la coordenada <math>\theta </math> para trabajar. Los vectores de posición,  velocidad y aceleración en coordenadas cilíndricas son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{r} = R\,\vec{u}_{r},\\
\vec{v} = R\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta},\\
\vec{a} = -R\dot{\theta}^2\,\vec{u}_r + R\ddot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}.
\end{array}
</math>
</center>
La única fuerza aplicada es el peso, como se indica en la figura. Proyectándolo cilíndricas tenemos
<center>
<math>
\vec{P}_m = mg\cos\theta\,\vec{u}_r - mg\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_{\theta}.
</math>
</center>
El Principio de D'Alembert establece que, en cualquier desplazamiento virtual, debe cumplirse
<center>
<math>
(\vec{P}_m - m\vec{a})\cdot\delta\vec{r} = 0.
</math>
</center>
Como sólo hay un grado de libertad, el desplazamiento virtual mas general es
<center>
<math>
\delta\vec{r} = \left(\dfrac{\partial \vec{r}}{\partial\theta}\right)\,\delta\theta
=
R\,\dfrac{\partial\vec{u}_r}{\partial\theta}\,\delta\theta = R\delta\theta\,\vec{u}_{\theta}.
</math>
</center>
Recordemos que en coordenadas cilíndricas se tiene
<center>
<math>
\dfrac{\partial\vec{u}_r}{\partial\theta} = \vec{u}_{\theta}, \qquad
\dfrac{\partial\vec{u}_{\theta}}{\partial\theta} = -\vec{u}_{r}.
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\vec{P}_m - m\vec{a} = m(g\cos\theta - R\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_r - m(g\mathrm{sen}\,\theta + R\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\theta}.
</math>
</center>
Aplicando el Principio de D'Alembert, obtenemos la ecuación de movimiento
<center>
<math>
R\ddot{\theta} + g\,\mathrm{sen}\,\theta = 0.
</math>
</center>


== Con la energía cinética ==
[[Anilla ensartada en un aro giratorio|Solución]]
Al haber sólo un grado de libertad, hay una sola ecuación de Lagrange
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial T}{\partial\dot{\theta}}\right) - \dfrac{\partial T}{\partial\theta} = Q_{\theta}.
</math>
</center>


La energía cinética es
==Oscilaciones verticales==
<center>
==Giro alrededor de un eje vertical==
<math>
==Movimiento general==
T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}|^2 = \dfrac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2.
===Mediante fuerzas ficticias===
</math>
===Mediante el teorema de Coriolis===
</center>
==Giro forzado==
Tenemos
===Puntos de equilibrio===
<center>
===Estabilidad===
<math>
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial T}{\partial\dot{\theta}} = mR^2\dot{\theta}
\Rightarrow
\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial T}{\partial\dot{\theta}}\right) = mR^2\ddot{\theta},
\\
\dfrac{\partial T}{\partial\theta} = 0.
\end{array}
</math>
</center>
La fuerza generalizada es debida a la acción del peso. Es decir
<center>
<math>
Q_{\theta} = \vec{P}_m\cdot\dfrac{\partial\vec{r}}{\partial\theta} = -mgR\,\mathrm{sen}\,\theta.
</math>
</center>
Finalmente, la ecuación de movimiento es, nuevamente
<center>
<math>
R\ddot{\theta} + g\,\mathrm{sen}\,\theta = 0.
</math>
</center>
 
== Con la función de Lagrange ==
Al ser el peso una fuerza conservativa, podemos asignarle una energía potencial. Tomando como altura de referencia el centro del aro, tenemos
<center>
<math>
U = -mgR\cos\theta.
</math>
</center>
La función de Lagrange es
<center>
<math>
L = T - U = \dfrac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2 + mgR\cos\theta.
</math>
</center>
La ecuación de Lagrange es
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial\theta} = 0.
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}} = mR^2\dot{\theta}
\Rightarrow
\dfrac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right) = mR^2\ddot{\theta},
\\
\dfrac{\partial L}{\partial\theta} = -mgR\,\mathrm{sen}\,\theta.
\end{array}
</math>
</center>
Por tanto la ecuación de movimiento es, de nuevo
<center>
<math>
R\ddot{\theta} + g\,\mathrm{sen}\,\theta = 0.
</math>
</center>

Revisión del 17:47 29 nov 2023

Anilla ensartada en un aro giratorio

Una pequeña anilla de masa m está ensartada en un aro vertical de radio R que puede girar alrededor del eje OZ (este sistema equivale a un péndulo simple formado por una masa m unida a una varilla rígida de longitud R, unida por su otro extremo a un punto fijo O mediante una articulación esférica). La masa está sometida a la acción del peso.

  1. Considere, en primer lugar, el movimiento en un plano vertical. Determine la ecuación de movimiento para el ángulo θ que la anilla forma con la vertical. ¿Qué puntos de equilibrio existen? ¿Son estables o inestables?
  2. Considere el caso de que el aro gira con velocidad angular constante alrededor del eje vertical. ¿Cuál debe ser la relación entre Ω y el ángulo con la vertical, θ, para que la anilla ni suba ni baje en el aro, describiendo una circunferencia horizontal? ¿Puede conseguirse un movimiento circular sea cual sea Ω?
  3. Suponga ahora el movimiento general, en el cual puede cambiar tanto θ como el ángulo ϕ, de giro alrededor del eje vertical. A partir de la 2ª ley de Newton, obtenga las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos. Esto puede hacerse de diferentes maneras:
    1. Empleando un sistema de referencia en rotación alrededor del eje vertical, y empleando las fuerzas ficticias necesarias.
    2. Considerando una composición de movimientos mediante tres sistemas de referencia: uno fijo “1”, uno intermedio “2” que gira alrededor del eje vertical un ángulo ϕ y uno ligado “3” que gira respecto a un eje horizontal un ángulo θ.
  4. Considerando el caso general, con movimiento en las dos coordenadas ϕ y θ, suponga que con un motor se fuerza a una rotación constante . En ese caso, ¿cómo queda la ecuación para θ? ¿Qué puntos de equilibrio hay? ¿Son estables o inestables?

Solución

Oscilaciones verticales

Giro alrededor de un eje vertical

Movimiento general

Mediante fuerzas ficticias

Mediante el teorema de Coriolis

Giro forzado

Puntos de equilibrio

Estabilidad

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