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| ==Enunciado==
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| Considerando el sistema de dos barras articuladas del problema “[[Dos barras articuladas (CMR)|dos barras articuladas]]” suponga que el sistema se halla completamente extendido y en reposo. Entonces, se efectúa una percusión <math>\vec{P}_0</math> perpendicular a la dirección de las barras y a una distancia c de la articulación A entre las dos barras.
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| Determine la velocidad angular de cada barra, así como la velocidad de los puntos A y B (extremo libre de la segunda barra) en los casos:
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| # Se golpea la barra OA en un punto D a una distancia c de la articulación A.
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| # Se golpea la barra AB en un punto D a una distancia c de la articulación A.
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| ==Introducción==
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| La ecuación básica que gobierna un sistema sometida a percusiones es la de Lagrange
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| <center><math>\Delta\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k}\right)=\hat{Q}_k</math></center>
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| suponiendo coordenadas independientes y siendo <math>\hat{Q}_k</math> la percusión generalizada
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| <center><math>\hat{Q}_k=\sum_i P_i \frac{\partial x_i}{\partial q_k}=\sum_i P_i \frac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_k}</math></center>
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| donde las <math>x_i</math> son las coordenadas del punto donde se aplica la percusión.
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| En nuestro caso el sistema tiene dos grados de libertad, que podemos describir con el ángulo ϕ que la varilla OA forma con el eje OX y el ψ que la varilla AB forma con el mismo eje.
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| En este caso, podemos emplear la energía cinética para el sistema de dos varillas que se describe en el [[Dos barras articuladas (CMR)|problema citado]]:
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| <center><math>T=\frac{mb^2}{6}(4\dot{\phi}^2+\dot{\psi}^2+3\dot{\phi}\dot{\psi}\cos(\psi-\phi))</math></center>
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| Sin embargo, tal como se ve en dicho problema, la deducción es un tanto laboriosa y requiere emplear diferentes base vectoriales.
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| En el caso de una percusión, el cálculo puede simplificarse sustituyendo las coordenadas por los valores que tienen en el momento de la percusión, ya que
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| * durante una percusión, el intervalo es tan corto que no da tiempo a que cambien las coordenadas.
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| * las derivadas que hay que calcular son respecto a las velocidades, con lo que se pueden tratar las coordenadas como constantes.
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| Teniendo esto en cuenta, hallamos las velocidades instantáneas de los puntos A y B respecto a un sistema fijo
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| <center><math>\vec{v}^A_{21}=\vec{v}^A_{31}=\dot{\phi}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}=b\dot{\phi}\vec{\jmath}</math></center>
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| y
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| <center><math>\vec{v}^B_{31}=\vec{v}^A_{31}+\dot{\psi}\vec{k}\times\overrightarrow{AB}=b(\dot{\phi}+\dot{\psi})\vec{\jmath}</math></center>
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| Obsérvese que no hace falta distinguir qué base vectorial estamos empleando ya que todas son coincidentes en ese momento.
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| La energía cinética en ese instante es entonces, aplicando la expresión para la energía cinética de una varilla
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| <center><math>T=\frac{m}{6}|\vec{v}^A_{21}|^2+\frac{m}{6}\left(|\vec{v}^A_{31}|^2+|\vec{v}^B_{31}|^2+\vec{v}^A_{31}\cdot\vec{v}^B_{31}\right)</math></center>
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| Sustituimos las expresiones anteriores y queda
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| <center><math>T=\frac{mb^2}{6}\left(\dot{\phi}^2+\dot{\phi}^2+(\dot{\phi}+\dot{\psi})^2+\dot{\phi}(\dot{\phi}+\dot{\psi})\right)=\frac{mb^2}{6}\left(4\dot{\phi}^2+\dot{\psi}^2+3\dot{\phi}\dot{\psi}\right)</math></center>
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| Este es el mismo resultado al que se llega haciendo <math>\cos(\psi-\phi)=1</math> en la expresión general, pero el proceso es más simple.
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| Derivamos ahora respecto a cada velocidad generalizada y queda para ϕ
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| <center><math>\Delta \left(\frac{mb^2}{6}(8\dot{\phi}+3\dot{\psi})\right)=\hat{Q}_\phi</math></center>
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| y para ψ
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| <center><math>\Delta \left(\frac{mb^2}{6}(3\dot{\phi}+2\dot{\psi})\right)=\hat{Q}_\phi</math></center>
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| Dado que las velocidades iniciales son nulas, llegamos al sistema
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| <center><math>\begin{array}{rcl}
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| 8\dot{\phi}^++3\dot{\psi}^+ &=& \dfrac{6}{mb^2}\hat{Q}_\phi \\ &&\\
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| 3\dot{\phi}^++2\dot{\psi}^+ &=& \dfrac{6}{mb^2}\hat{Q}_\psi
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| \end{array}</math></center>
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| con solución
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| <center><math>\dot{\phi}^+=\frac{6}{7mb^2}(2\hat{Q}_\phi-3\hat{Q}_\psi)\qquad\qquad \dot{\psi}^+=\frac{6}{7mb^2}(-3\hat{Q}_\phi+8\hat{Q}_\psi)</math></center>
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| Las velocidades de los puntos A y B, dadas estas velocidades angulares, valen
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| <center><math>\vec{v}^A_{21}=\frac{6}{7mb}(2\hat{Q}_\phi-3\hat{Q}_\psi)\vec{\jmath}\qquad\qquad
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| \vec{v}^B_{31}=\frac{6}{7mb}(-\hat{Q}_\phi+5\hat{Q}_\psi)\vec{\jmath}</math></center>
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| Se trata entonces de hallar las percusiones generalizadas en cada uno de los dos casos considerados.
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| ==Percusión en OA==
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| La percusión ocurre en un punto D de las barras. Al ser su dirección perpendicular a las barras, su expresión vectorial es
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| <center><math>\vec{P}_0=P_0\vec{\jmath}</math></center>
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| esto es, solo tiene componente y. Por ello, las percusiones generalizadas se reducen ahora
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| <center><math>\hat{Q}_\phi=P_0\frac{\partial \dot{y}_D}{\partial\dot{\phi}}\qquad\qquad \hat{Q}_\psi=P_0\frac{\partial \dot{y}_D}{\partial\dot{\psi}}</math></center>
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| Si D está en la barra OA, a una distancia c de A, su velocidad instantánea es
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| <center><math>\vec{v}^D_{21}=\dot{x}_D\vec{\imath}+\dot{y}_D\vec{\jmath}=(b-c)\dot{\phi}\vec{\jmath}\qquad\Rightarrow\qquad \left\{\begin{array}{rcl}\dot{x}_D & = & 0 \\ \dot{y}_D&=&(b-c)\dot{\phi}\end{array}\right.</math></center>
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| lo cual nos da las derivadas
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| <center><math>\frac{\partial\dot{x}_D}{\partial\dot{\phi}}=\frac{\partial\dot{x}_D}{\partial\dot{\psi}}=\frac{\partial\dot{y}_D}{\partial\dot{\psi}}=0\qquad\qquad \frac{\partial\dot{y}_D}{\partial\dot{\phi}}=b-c</math></center>
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| por lo que los impulsos generalizados valen en este caso
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| <center><math>\hat{Q}_\phi=P_0\frac{\partial\dot{y}_D}{\partial\dot{\phi}}=P_0(b-c)\qquad\qquad \hat{Q}_\psi=P_0\frac{\partial\dot{y}_D}{\partial\dot{\psi}}=0</math></center>
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| y las velocidades angulares, justo tras la percusión
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| <center><math>\dot{\phi}^+=\frac{12(b-c)}{7mb^2}P_0\qquad\qquad \dot{\psi}^+=-\frac{18(b-c)}{7mb^2}P_0</math></center>
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| La diferencia de signos implica que la barra AB gira en sentido horario, mientras la OA lo hace en sentido antihorario, empujada por la percusión.
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| Las velocidades de los puntos A y B valen
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| <center><math>\vec{v}^A_{21}=\frac{12(b-c)}{7mb}P_0\vec{\jmath}\qquad\qquad
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| \vec{v}^B_{31}=-\frac{6(c-b)}{7mb}P_0\vec{\jmath}</math></center>
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| ==Percusión en AB==
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| Si el punto D está en la barra AB su velocidad es
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| <center><math>\vec{v}^D_{31}=\vec{v}^A_{31}+\dot{\psi}\vec{k}\times\overrightarrow{AD}=(b\dot{\phi}+c\dot{\psi})\vec{\jmath}</math></center>
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| siendo las derivadas parciales
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| <center><math>\frac{\partial\dot{x}_D}{\partial\dot{\phi}}=\frac{\partial\dot{x}_D}{\partial\dot{\psi}}=0\qquad\qquad \frac{\partial\dot{y}_D}{\partial\dot{\psi}}=c\qquad\qquad \frac{\partial\dot{y}_D}{\partial\dot{\phi}}=b</math></center>
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| las percusiones generalizadas
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| <center><math>\hat{Q}_\phi=P_0\frac{\partial\dot{y}_D}{\partial\dot{\phi}}=P_0b\qquad\qquad \hat{Q}_\psi=P_0\frac{\partial\dot{y}_D}{\partial\dot{\psi}}=P_0c</math></center>
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| y las velocidades angulares tras la percusión
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| <center><math>\dot{\phi}^+=\frac{6(2b-3c)}{7mb^2}P_0\qquad\qquad \dot{\psi}^+=\frac{6(-3b+8c)}{7mb^2}P_0</math></center>
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| En cuanto a signos, ahora tenemos las siguientes posibilidades
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| * <math>0 < c < 3b/8</math>. La barra OA comienza a girar en sentido antihorario y AB en sentido horario, como en el caso anterior.
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| * <math>3b/8 < c < 2b/3</math>. Las dos barras comienzan a girar en sentido antihorario.
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| * <math>c > 2b/3</math> la barra OA comienza a girar en sentido horario y AB en sentido antihorario.
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| Las velocidades de los puntos A y B valen ahora
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| <center><math>\vec{v}^A_{21}=\frac{6(2b-3c)}{7mb}P_0\vec{\jmath}\qquad\qquad
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| \vec{v}^B_{31}=\frac{6(-b+5c)}{7mb}P_0\vec{\jmath}</math></center>
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| Esto nos da un nuevo caso de interés. Si <math>c = b/5</math> e extremo B permanece en reposo instantáneo. Si es mayor comienza a moverse en el sentido de <math>+\vec{\jmath}</math> y si es menor en sentido opuesto.
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| [[Categoría:Problemas de mecánica analítica (CMR)]]
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