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== Enunciado ==
Encuentra las ecuaciones que describen el móvimiento de un péndulo ideal utilizando la variación del momento angular.


== Solución ==
[[Imagen:F1_GIC_pendulo_momento_angular.png|right|250px]]
La figura de la derecha muestra un péndulo formado por una masa <math>m </math> colgando de un hilo sin masa e inextensible de longitud <math>R </math>. La trayectoria que describe la masa es una circunferencia de radio <math>R </math> y con centro en <math>O </math>, punto del que cuelga la cuerda.
La masa está sometida a la acción de su peso y la tensión que ejerce la cuerda. Vamos a resolver el problema usando el momento angular de la masa y su derivada. El vector de posición de la partícula es
<center>
<math>
\vec{r} = \overrightarrow{OP}
=
R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
El movimiento circular que describe la partícula puede describirse con un vector rotación <math>\vec{\omega} </math> de la forma
<center>
<math>
\vec{\omega} = \dot{\theta}\,\vec{k}
</math>
</center>
La velocidad de la partícula es
<center>
<math>
\vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r} = R\dot{\theta}\,(-\mathrm{sen}\theta\,\vec{\imath} + \cos\theta\,\vec{\jmath})
</math>
</center>
Esto también puede obtenerse derivando <math>\vec{r} </math> respecto del tiempo.
El movimiento circular de la partícula puede entenderse como una rotación alrededor del eje fijo <math>OZ </math>. Entonces, el momento de inercia de la partícula respecto de ese eje es
<center>
<math>
I = mR^2
</math>
</center>
Y el momento angular respecto de <math>O </math> es
<center>
<math>
\vec{L}^O = I\vec{\omega} = I\dot{\theta}\,\vec{k}
</math>
</center>
La variación en el tiempo de <math>\vec{L}^O </math> es
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}^O}{\mathrm{d}t} = \vec{M}^O
\Longrightarrow
I\dot{\vec{\omega}} = \vec{M}^O
</math>
</center>
donde <math>\vec{M}^O </math> es el momento neto de las fuerzas que actúan sobre la partícula respecto del punto <math>O </math>. En este caso las fuerzas son el peso y la tensión de la cuerda, es decir
<center>
<math>
\vec{M}^O = \overrightarrow{OP}\times(m\vec{g}) + \overrightarrow{OP}\times\vec{T}
</math>
</center>
El momento de la tensión de la cuerda es cero, pues <math>\overrightarrow{OP} </math> y <math>\vec{T} </math> son paralelos. Para el peso tenemos
<center>
<math>
\overrightarrow{OP}\times(m\vec{g})
=
(R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath})
\times
(mg\,\vec{\imath}) = -mgR\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}
</math>
</center>
Tenemos entonces
<center>
<math>
I\dot{\vec{\omega}} = I\ddot{\theta}\,\vec{k} = -mgR\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}
</math>
</center>
Por tanto, la ecuación diferencial para <math>\theta(t) </math> es
<center>
<math>
\ddot{\theta} = -\dfrac{mgR}{I}\,\mathrm{sen}\,\theta
</math>
</center>
Teniendo en cuenta la expresión para <math>I </math> obtenemos
<center>
<math>
\ddot{\theta} = -\dfrac{g}{R}\,\mathrm{sen}\,\theta
</math>
</center>
que es la misma ecuación que obteníamos en el tema de dinámica de la partícula. Esta ecuación no la sabemos resolver, pero cuando el ángulo es pequeño podemos hacer la aproximación <math>\mathrm{sen}\,\theta \approx\theta  </math> y nos queda la ecuación de un oscilador armónico con frecuencia angular <math>\omega = \sqrt{g/R} </math>.
[[Categoría:Problemas de Dinámica de la partícula]]
[[Categoría:Problemas de Cinética de la partícula]]
[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido]]

Revisión actual - 13:25 31 oct 2023

Enunciado

Encuentra las ecuaciones que describen el móvimiento de un péndulo ideal utilizando la variación del momento angular.

Solución

La figura de la derecha muestra un péndulo formado por una masa colgando de un hilo sin masa e inextensible de longitud . La trayectoria que describe la masa es una circunferencia de radio y con centro en , punto del que cuelga la cuerda.

La masa está sometida a la acción de su peso y la tensión que ejerce la cuerda. Vamos a resolver el problema usando el momento angular de la masa y su derivada. El vector de posición de la partícula es

El movimiento circular que describe la partícula puede describirse con un vector rotación de la forma

La velocidad de la partícula es

Esto también puede obtenerse derivando respecto del tiempo.

El movimiento circular de la partícula puede entenderse como una rotación alrededor del eje fijo . Entonces, el momento de inercia de la partícula respecto de ese eje es

Y el momento angular respecto de es

La variación en el tiempo de es

donde es el momento neto de las fuerzas que actúan sobre la partícula respecto del punto . En este caso las fuerzas son el peso y la tensión de la cuerda, es decir

El momento de la tensión de la cuerda es cero, pues y son paralelos. Para el peso tenemos

Tenemos entonces

Por tanto, la ecuación diferencial para es

Teniendo en cuenta la expresión para obtenemos

que es la misma ecuación que obteníamos en el tema de dinámica de la partícula. Esta ecuación no la sabemos resolver, pero cuando el ángulo es pequeño podemos hacer la aproximación y nos queda la ecuación de un oscilador armónico con frecuencia angular .

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