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| Línea 1: |
Línea 1: |
| = Enunciado =
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| [[Imagen:MRGIC_barra_esquina_enunciado.png|right]]
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| Una barra (sólido "2") se apoya en una esquina (sólido "1") como se indica
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| en la figura. El punto <math>A</math> de la barra se mueve sobre una barra fija (también
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| sólido "1") con velocidad constante <math>\vec{v}_0</math>. En el instante indicado en la
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| figura la barra forma un ángulo <math>\pi/4</math> con el eje <math>O_1X_1</math>. Las preguntas que
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| se plantean a continuación se refieren todas al instante indicado en la figura.
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| #Expresa el vector geométrico <math>\overrightarrow{O_1A}</math>.
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| #Encuentra gráficamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
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| #vector de posición del C.I.R. respecto del origen <math>O_1</math>.
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| #Encuentra la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto <math>A</math>. ¿Cuál es la velocidad <math>\vec{v}^{\,O}_{21}</math>?
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| #Si la barra es homogénea, tiene masa <math>M</math> y longitud <math>L=2h</math> calcula el momento de inercia de la barra respecto a un eje paralelo al eje <math>O_1Z_1</math> que pase por <math>O_1</math>.
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| = Solución =
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| == Vector geométrico <math>\overrightarrow{O_1A}</math> ==
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| Como el ángulo que forma la barra con el eje <math>OX_1</math> es <math>\pi/4</math>, la componentes del vector <math>\overrightarrow{OA}</math> son iguales sobre los ejes <math>OX_1</math> y <math>OY_1</math>,
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| <center>
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| <math>
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| \overrightarrow{O_1A} = h\,\vec{\imath}_1 + h\,\vec{\jmath}_1.
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| </math>
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| </center>
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| == Posición del C.I.R. ==
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| [[Imagen:MRGIC_barra_esquina_CIR.png|right]]
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| Como se indica en la figura de la derecha, la velocidad <math>\vec{v}^{\,A}_{21}</math> es paralela al eje <math>O_1X_1</math>, mientras que la velocidad <math>\vec{v}^{\,O}_{21}</math> es paralela a la propia barra, pues esta desliza sobre la esquina. Trazando las rectas perpendiculares a las velocidades respectivas en los dos puntos encontramos el C.I.R. <math>I_{21}</math> en el punto en que se cortan. El vector de posición es
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| <center>
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| <math>
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| \overrightarrow{O_1I}_{21} = h\,\vec{\imath}_1 - h\,\vec{\jmath}_1.
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| </math>
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| </center>
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| == Reducción cinemática en <math>A</math> ==
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| Hay tres maneras de hacer este apartado: a través del C.I.R., usando que la velocidad <math>\vec{v}^{\,O}_{21}</math> es paralela a la propia barra o usando la condición de equiproyectividad.
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| === Usando el C.I.R. ===
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| Al ser un movimiento plano sabemos que el vector rotación es de la forma
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| <center>
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| <math>
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| \vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{k}.
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| </math>
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| </center>
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| Como la velocidad en el C.I.R. es cero tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{I_{21}A}.
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| </math>
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| </center>
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| El vector geométrico es
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| <center>
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| <math>
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| \overrightarrow{I_{21}A} = 2h\,\vec{\jmath}_1.
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| </math>
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| </center>
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| Por tanto tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \vec{v}^{\,A}_{21} = (\omega\,\vec{k})\times(2h\,\vec{\jmath}_1) = -2\omega h\,\vec{\imath}_1.
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| </math>
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| </center>
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| Como por otro lado tenemos <math>\vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_1</math> tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \omega = -\dfrac{v_0}{2h}.
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| </math>
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| </center>
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| La reducción cinemática en <math>A</math> es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{\omega} = -\dfrac{v_0}{2h}\,\vec{k}, \qquad\qquad \vec{v}^{\,A}_{21}= v_0\,\vec{\imath}_1.
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| </math>
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| </center>
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| Ahora podemos calcular la velocidad en <math>O</math>
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| <center>
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| <math>
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| \vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AO_1}
| |
| =
| |
| \dfrac{v_0}{2}\,(\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1)
| |
| </math>
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| </center>
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| === Usando la dirección conocida de la velocidad en <math>O</math> ===
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| De nuevo razonamos que, al ser un movimiento plano, el vector rotación es de la forma
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| <center>
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| <math>
| |
| \vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{k}.
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Sabemos que la velocidad en <math>O</math> debe ser paralela al vector <math>\overrightarrow{O_1A}</math>.
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| Usando el Teorema de Chasles tenemos
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}^{\,O_1}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AO_1}
| |
| =
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| (v_0+\omega h)\,\vec{\imath}_1 - \omega h\,\vec{\jmath}_1.
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| </math>
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| </center>
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| Imponiendo que debe ser paralelo a la barra tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \vec{v}^{\,O_1}_{21}\times\overrightarrow{O_1A} = \vec{0}
| |
| \Longrightarrow
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| 2\omega h^2 + v_0h=0
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| \Longrightarrow
| |
| \omega = -\dfrac{v_0}{2h}.
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| </math>
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| </center>
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| Con lo que reobtenemos el resultado anterior.
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| === Usando equiproyectividad ===
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| De nuevo partimos de que, al ser un movimiento plano, el vector rotación es
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| <center>
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| <math>
| |
| \vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{k}.
| |
| </math>
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| </center>
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| La velocidad en <math>O</math> debe ser paralela a la barra, por lo que debe tener la forma
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| <center>
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| <math>
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| \vec{v}^{\,O_1}_{21} = v\,\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\imath}_1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\vec{\jmath}_1\right).
| |
| </math>
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| </center>
| |
| La condición de equiproyectividad impone que
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| <center>
| |
| <math>
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| \vec{v}^{\,A}_{21}\cdot\overrightarrow{O_1A} =\vec{v}^{\,O_1}_{21}\cdot\overrightarrow{O_1A}
| |
| \Longrightarrow
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| \sqrt{2}vh = v_0h
| |
| \Longrightarrow
| |
| v = v_0/\sqrt{2}.
| |
| </math>
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| </center>
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| La velocidad en <math>O_1</math> es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}^{\,O_1}_{21} = \dfrac{v_0}{2}\,\left(\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1\right).
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Y ahora podemos usar el Teorema de Chasles entre los puntos <math>O_1</math> y <math>A</math> para obtener <math>\vec{\omega}_{21}</math>.
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| == Momento de inercia en <math>O_1</math> ==
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| Lo mas sencillo es utilizar el Teorema de los ejes paralelos. El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a
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| la barra que pase por su centro de masas es
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| <center>
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| <math>
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| I_G = \dfrac{1}{12}ML^2 = \dfrac{1}{3}Mh^2.
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| </math>
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| </center>
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| El momento de inercia pedido se puede calcular así
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| <center>
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| <math>
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| I_{O_1} = I_G + Md^2,
| |
| </math>
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| </center>
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| donde <math>d</math> es la distancia entre el centro de la barra, <math>G</math> y el punto <math>O_1</math>. Del
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| dibujo podemos deducir
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| <center>
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| <math>
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| \overline{O_1G} = \overline{O_1A} - \overline{GA}
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| =
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| \sqrt{2}h - h
| |
| =
| |
| h\,(\sqrt{2}-1).
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| </math>
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| </center>
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| Entonces
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| <center>
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| <math>
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| I_{O_1} = \dfrac{1}{3}Mh^2 + Mh^2\,(\sqrt{2}-1)^2
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| =
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| \dfrac{2}{3}\,(5-3\sqrt{2})\,Mh^2 = 0.505Mh^2.
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| </math>
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| </center>
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| [[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]
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| [[Categoría:Problemas de cinética del sólido rígido]]
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| [[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]
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