(Página creada con «Por su extensión, este apartado se ha estructurado en tres partes: # Posición, trayectoria y ley horaria # Velocidad y aceleración # Casos particulares de movimiento tridimensional ==Problemas== <categorytree mode=pages depth="2">Problemas de cinemática tridimensional (GIE)</categorytree> Categoría:Cin…»)
 
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== Enunciado ==
Por su extensión, este apartado se ha estructurado en tres partes:
Usando el álgebra vectorial, demuestre el teorema del seno y el  teorema del coseno para triángulos planos.


== Solución ==
# [[Posición, trayectoria y ley horaria (GIE)|Posición, trayectoria y ley horaria]]
[[Imagen:F1_GIA_p02_01_triangulo.png|right]]
# [[Velocidad y aceleración en tres dimensiones (GIE)|Velocidad y aceleración]]
Dado el triángulo de la figura, con lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math> y vértices
# [[Casos particulares de movimiento tridimensional (GIE)|Casos particulares de movimiento tridimensional]]
<math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>, el teorema del seno relaciona la longitud de los lados
con los senos de los vértices opuestos:
<center><math>
  \frac{a}{\,\mathrm{sen}\, \hat{A}} = \frac{b}{\,\mathrm{sen}\, \hat{B}} = \frac{c}{\,\mathrm{sen}\, \hat{C}}
</math></center>
El teorema del coseno relaciona la longitud de un lado con la longitud
de los otros dos y el coseno del ángulo opuesto,
<center><math>
  \begin{array}{l}
    a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos{\hat{A}}\\ \\
  b^2 = a^2 + c^2 -2ac\cos{\hat{B}}\\ \\
  c^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos{\hat{C}}
  \end{array}
</math></center>


===Teorema del coseno===
==Problemas==
Consideramos los vectores <math>\overrightarrow{AB}</math>, <math>\overrightarrow{AC}</math> y <math>\overrightarrow{BC}</math>. Se
<categorytree mode=pages depth="2">Problemas de cinemática tridimensional (GIE)</categorytree>
tiene
[[Categoría:Cinemática de la partícula (GIE)]]
<center><math>
  \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}
</math></center>
La longitud del lado es <math>a=|\overrightarrow{BC}|</math>, por tanto
<center><math>
  \begin{array}{ll}
  a^2& = |\overrightarrow{BC}|^2 = (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC})^2 =
  |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 -2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\\
  &= b^2 + c^2 - 2 b c \cos{\hat{A}}
  \end{array}
</math></center>
pues el ángulo entre <math>\overrightarrow{AC}</math> y <math>\overrightarrow{AB}</math> es precisamente el del
vértice <math>A</math>.
Rotando los lados se obtienen las otras expresiones.
 
===Teorema del seno===
Para demostrar este teorema, utilizamos el producto vectorial de <math>\overrightarrow{BC}</math> por si mismo. Tenemos
<center><math>
  \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BC}=\vec{0}=\overrightarrow{BC}\times(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})
  \Longrightarrow
  \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB}
</math></center>
Si dos vectores son iguales también lo son sus módulos. Entonces
<center>
<math>
\begin{array}{lll}
    &|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB}|& \\
    &|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AC}|\,\mathrm{sen}\,{\hat{C}} = |\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AB}|\,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\
    &a b \,\mathrm{sen}\,{\hat{C}} = a c \,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\
    & b \,\mathrm{sen}\,{C} =  c \,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\
    &\frac{\displaystyle b}{\displaystyle\,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}}=\frac{\displaystyle c}{\displaystyle\,\mathrm{sen}\,{\hat{C}}}
\end{array}
</math>
</center>
De nuevo rotando los vectores se obtiene el cociente que falta.
 
Se puede llegar al mismo resultado observando que el módulo del producto vectorial de dos vectores es
igual al área del triángulo. Así se llega de nuevo a
<center><math>
    |\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB}|
</math></center>
 
[[Categoría:Vectores libres|0]]
[[Categoría:Física I (G.I.A.)]]
[[Categoría:Física I (G.I.T.I.)]]
[[Categoría:Física I (G.I.C.)]]

Revisión actual - 10:50 26 sep 2023

Por su extensión, este apartado se ha estructurado en tres partes:

  1. Posición, trayectoria y ley horaria
  2. Velocidad y aceleración
  3. Casos particulares de movimiento tridimensional

Problemas

Categoría Problemas de cinemática tridimensional (GIE) no encontrada