(Página creada con «== Enunciado == right El sistema de la figura está formado por una varilla <math>AB</math> de longitud <math>l</math> (sólido "0"), cuyo extremo <math>A</math> está fijado en el eje vertical <math>O_1Z_1</math>, a una altura <math>R</math> sobre el plano horizontal fijo <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido "1"). La varilla <math>AB</math> gira alrededor de <math>O_1Z_1</math> con una velocidad angular constante <math>\…»)
 
 
Línea 1: Línea 1:
== Enunciado ==
== Enunciado ==
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Usando el álgebra vectorial, demuestre el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos.
El sistema de la figura está formado por una varilla <math>AB</math> de longitud <math>l</math> (sólido "0"), cuyo
extremo <math>A</math> está fijado en el eje vertical <math>O_1Z_1</math>, a una altura <math>R</math> sobre el plano horizontal fijo
<math>O_1X_1Y_1</math> (sólido "1"). La varilla <math>AB</math> gira alrededor de <math>O_1Z_1</math> con una velocidad angular
constante <math>\Omega</math>, permaneciendo siempre perpendicular a dicho eje vertical fijo. El extremo <math>B</math>
del sólido "0" está articulado al centro de un disco de radio <math>R</math> (sólido "2"), de modo que la
varilla es siempre perpendicular al disco. El disco gira con una velocidad angular constante
<math>\omega</math>, coincidiendo su eje de giro con la varilla.
#Caracteriza los movimientos {01}, {20} y {21} (reducciones cinemáticas).
#Obtén la expresión de la velocidad <math>\vec{v}^C_{21}</math> del punto de contacto del disco con el plano fijo <math>O_1X_1Y_1</math>, (punto <math>C</math>) en término de los datos del problema. ¿Qué relación debe existir entre las velocidades angulares <math>\omega</math> y <math>\Omega</math> para que el disco ruede sin deslizar sobre el plano?
#Obtén las expresiones de la aceleración angular del movimiento {21} y de la aceleración <math>\vec{a}^B_{21}</math> del centro del disco (punto <math>B</math>). Calcula la aceleración del punto de contacto <math>C</math> perteneciente al disco cuando éste rueda sin deslizar sobre el plano <math>O_1X_1Y_1</math>.


== Solución ==
== Solución ==  
[[Imagen:F1_GIA_p02_01_triangulo.png|right]]
Dado el triángulo de la figura, con lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math> y vértices
<math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>, el teorema del seno relaciona la longitud de los lados
con los senos de los vértices opuestos:
<center><math>
  \frac{a}{\,\mathrm{sen}\, \hat{A}} = \frac{b}{\,\mathrm{sen}\, \hat{B}} = \frac{c}{\,\mathrm{sen}\, \hat{C}}
</math></center>
El teorema del coseno relaciona la longitud de un lado con la longitud
de los otros dos y el coseno del ángulo opuesto,
<center><math>
  \begin{array}{l}
    a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos{\hat{A}}\\ \\
  b^2 = a^2 + c^2 -2ac\cos{\hat{B}}\\ \\
  c^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos{\hat{C}}
  \end{array}
</math></center>


=== Reducciones cinemáticas===
===Teorema del coseno===
Consideramos los vectores <math>\overrightarrow{AB}</math>, <math>\overrightarrow{AC}</math> y <math>\overrightarrow{BC}</math>. Se
tiene
<center><math>
  \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}
</math></center>
La longitud del lado es <math>a=|\overrightarrow{BC}|</math>, por tanto
<center><math>
  \begin{array}{ll}
  a^2& = |\overrightarrow{BC}|^2 = (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC})^2 =
  |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 -2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\\
  &= b^2 + c^2 - 2 b c \cos{\hat{A}}
  \end{array}
</math></center>
pues el ángulo entre <math>\overrightarrow{AC}</math> y <math>\overrightarrow{AB}</math> es precisamente el del
vértice <math>A</math>.
Rotando los lados se obtienen las otras expresiones.


==== Movimiento {01}====
===Teorema del seno===
Es una rotación de eje permanente. El eje de rotación es <math>O_1Z_1 </math>. Reduciendo en el punto <math>O_1 </math> tenemos
Para demostrar este teorema, utilizamos el producto vectorial de <math>\overrightarrow{BC}</math> por si mismo. Tenemos
<center><math>
  \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BC}=\vec{0}=\overrightarrow{BC}\times(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})
  \Longrightarrow
  \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB}
</math></center>
Si dos vectores son iguales también lo son sus módulos. Entonces
<center>
<center>
<math>
<math>
\vec{v}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}\qquad\qquad \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_1 = \Omega\,\vec{k}_0
\begin{array}{lll}
</math>
    &|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB}|& \\
</center>
    &|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AC}|\,\mathrm{sen}\,{\hat{C}} = |\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AB}|\,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\
 
    &a b \,\mathrm{sen}\,{\hat{C}} = a c \,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\
==== Movimiento {20}====
    & b \,\mathrm{sen}\,{C} = c \,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\
El centro del disco pertenece siempre a los dos sólidos "2" y "0". Por tanto es un punto fijo del movimiento. La velocidad angular es <math>\omega </math>, dirigida a lo largo de la varilla. Reduciendo en el punto <math>B  </math> tenemos
    &\frac{\displaystyle b}{\displaystyle\,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}}=\frac{\displaystyle c}{\displaystyle\,\mathrm{sen}\,{\hat{C}}}
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0}\qquad\qquad \vec{\omega}_{20} = \omega\,\vec{\imath}_ 0
</math>
</center>
 
==== Movimiento {21} ====
Expresamos este movimiento como la composición
<center>
<math>
\{21\} = \{20\} + \{01\}
</math>
</center>
La velocidad angular es
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0
</math>
</center>
La velocidad en el punto <math>B </math> es
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{20} + \vec{v}^{\,B}_{01}
</math>
</center>
Para obtener <math>\vec{v}^{\,B}_{01} </math> usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{01} = \vec{v}^{\,O_1}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B}
= \vec{0} + (\Omega\,\vec{k}_0) \times (l\,\vec{\imath}_0 + R\,\vec{k}_0)
= l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0
</math>
</center>
Por tanto la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto <math>B </math> es
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B}_{21} = l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 \qquad\qquad \vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0
</math>
</center>
 
=== Velocidad del punto de contacto===
Obtenemos <math>\vec{v}^{\,C}_{21} </math> usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} para relacionarla con <math>\vec{v}^{\,B}_{21} </math>
<center>
<math>
\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC}
=l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 + (\omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)
= (l\,\Omega+R\,\omega)\,\vec{\jmath}_0
</math>
</center>
Para que no deslice debe ocurrir
<center>
<math>
\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0} \Longrightarrow l\,\Omega+R\,\omega = 0
</math>
</center>
 
=== Aceleraciones===
 
Obtenemos <math>\vec{a}^{\,B}_{21} </math> usando la composición de movimientos {21} = {20} + {01}
<center>
<math>
\vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{a}^{\,B}_{20} + \vec{a}^{\,B}_{01} + 2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
</math>
</center>
Veamos cada una de los términos.
 
 
El primer término es nulo, pues el punto <math>B </math> pertenece a la vez a los sólidos "2" y "0" en todo instante. Por tanto <math>\vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0} </math> en todo instante y
<center>
<math>
\vec{a}^{\,B}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,B}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0}
</math>
</center>
 
Por la misma razón el tercer término se anula pues <math>\vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0} </math>.
 
Nos queda el segundo término. El movimiento {01} es una rotación de eje permanente. Todos los puntos del eje tienen velocidad nula en todo instante, y <math>\Omega </math> es constante, por lo que
<center>
<math>
\vec{a}^{\,O_1}_{01}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{\alpha}_{01}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}
</math>
</center>
Usamos ahora la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01}
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
\vec{a}^{\,B}_{01} &=& \vec{a}^{\,O_1}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} +
\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B})\\
&&\\
&& \vec{a}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}\\
&&\\
&& \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} = \vec{0}\\
&&\\
&&\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B}) =
\vec{\omega}_{01}\times\left(( \Omega\,\vec{k}_0)\times(l\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0)\right)
= (\Omega\,\vec{k}_0) \times (l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0) =
-l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
</center>
</center>
Así pues obtenemos
De nuevo rotando los vectores se obtiene el cociente que falta.
<center>
<math>
\vec{a}^{\,B}_{21} = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0
</math>
</center>


Para obtener <math>\vec{a}^{\,C}_{21} </math> usamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}. Necesitaremos <math>\vec{\alpha}_{21} </math>. A partir de la composición {21} = {20} + {01} tenemos
Se puede llegar al mismo resultado observando que el módulo del producto vectorial de dos vectores es
<center>
igual al área del triángulo. Así se llega de nuevo a
<math>
<center><math>
\vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
    |\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB}|
=\vec{0} + \vec{0} + (\Omega\,\vec{k}_0)\times(\vec{\omega}\,\vec{\imath}_0) =
</math></center>
\omega\,\Omega\,\vec{\jmath}_{0}
</math>
</center>
Hemos usado que
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{20}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0}
</math>
</center>
Podemos ahora hallar <math>\vec{a}^{\,C}_{21} </math>
<center>
<math>
\begin{array}{lcl}
\vec{\alpha}^{\,C}_{21} &=& \vec{a}^{\,B}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BC} +
\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC})\\
&&\\
&& \vec{a}^{\,B}_{21} = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0\\
&&\\
&& \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BC} =  (\omega\,\Omega\,\vec{\jmath}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)= -R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0\\
&&\\
&&\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC}) =
\vec{\omega}_{21}\times\left( (\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)\right)
=  (\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)\times ( R\,\omega\,\vec{\jmath}_0)=
-R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0+ R\,\omega^2\,\vec{k}_0
\end{array}
</math>
</center>
El resultado final es
<center>
<math>
\vec{a}^{\,C}_{21} = - ( l\,\Omega^2 + 2\,R\,\omega\,\Omega)\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0
</math>
</center>
La condición de no deslizamiento es <math>l\,\Omega + R\,\omega=0 </math>. Aplicándola tenemos
<center>
<math>
\vec{a}^{\,C}_{21} = -R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0 =
-l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0
</math>
</center>


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Revisión del 11:46 26 sep 2023

Enunciado

Usando el álgebra vectorial, demuestre el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos.

Solución

Dado el triángulo de la figura, con lados , y y vértices , y , el teorema del seno relaciona la longitud de los lados con los senos de los vértices opuestos:

El teorema del coseno relaciona la longitud de un lado con la longitud de los otros dos y el coseno del ángulo opuesto,

Teorema del coseno

Consideramos los vectores , y . Se tiene

La longitud del lado es , por tanto

pues el ángulo entre y es precisamente el del vértice . Rotando los lados se obtienen las otras expresiones.

Teorema del seno

Para demostrar este teorema, utilizamos el producto vectorial de por si mismo. Tenemos

Si dos vectores son iguales también lo son sus módulos. Entonces

De nuevo rotando los vectores se obtiene el cociente que falta.

Se puede llegar al mismo resultado observando que el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del triángulo. Así se llega de nuevo a

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