|
|
| Línea 1: |
Línea 1: |
| == Enunciado ==
| | Por su extensión, este apartado se ha estructurado en tres partes: |
| [[Imagen:F1_Sep_11_12_disco_varilla_enunciado.png|right]]
| |
| El sistema de la figura está formado por una varilla <math>AB</math> de longitud <math>l</math> (sólido "0"), cuyo
| |
| extremo <math>A</math> está fijado en el eje vertical <math>O_1Z_1</math>, a una altura <math>R</math> sobre el plano horizontal fijo
| |
| <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido "1"). La varilla <math>AB</math> gira alrededor de <math>O_1Z_1</math> con una velocidad angular
| |
| constante <math>\Omega</math>, permaneciendo siempre perpendicular a dicho eje vertical fijo. El extremo <math>B</math>
| |
| del sólido "0" está articulado al centro de un disco de radio <math>R</math> (sólido "2"), de modo que la
| |
| varilla es siempre perpendicular al disco. El disco gira con una velocidad angular constante
| |
| <math>\omega</math>, coincidiendo su eje de giro con la varilla.
| |
| #Caracteriza los movimientos {01}, {20} y {21} (reducciones cinemáticas).
| |
| #Obtén la expresión de la velocidad <math>\vec{v}^C_{21}</math> del punto de contacto del disco con el plano fijo <math>O_1X_1Y_1</math>, (punto <math>C</math>) en término de los datos del problema. ¿Qué relación debe existir entre las velocidades angulares <math>\omega</math> y <math>\Omega</math> para que el disco ruede sin deslizar sobre el plano?
| |
| #Obtén las expresiones de la aceleración angular del movimiento {21} y de la aceleración <math>\vec{a}^B_{21}</math> del centro del disco (punto <math>B</math>). Calcula la aceleración del punto de contacto <math>C</math> perteneciente al disco cuando éste rueda sin deslizar sobre el plano <math>O_1X_1Y_1</math>.
| |
|
| |
|
| == Solución ==
| | # [[Posición, trayectoria y ley horaria (GIE)|Posición, trayectoria y ley horaria]] |
| | # [[Velocidad y aceleración en tres dimensiones (GIE)|Velocidad y aceleración]] |
| | # [[Casos particulares de movimiento tridimensional (GIE)|Casos particulares de movimiento tridimensional]] |
|
| |
|
| === Reducciones cinemáticas=== | | ==Problemas== |
| | | <categorytree mode=pages depth="2">Problemas de cinemática tridimensional (GIE)</categorytree> |
| ==== Movimiento {01}====
| | [[Categoría:Cinemática de la partícula (GIE)]] |
| Es una rotación de eje permanente. El eje de rotación es <math>O_1Z_1 </math>. Reduciendo en el punto <math>O_1 </math> tenemos
| |
| <center> | |
| <math>
| |
| \vec{v}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}\qquad\qquad \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_1 = \Omega\,\vec{k}_0
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| | |
| ==== Movimiento {20}====
| |
| El centro del disco pertenece siempre a los dos sólidos "2" y "0". Por tanto es un punto fijo del movimiento. La velocidad angular es <math>\omega </math>, dirigida a lo largo de la varilla. Reduciendo en el punto <math>B </math> tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0}\qquad\qquad \vec{\omega}_{20} = \omega\,\vec{\imath}_ 0
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| | |
| ==== Movimiento {21} ====
| |
| Expresamos este movimiento como la composición
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \{21\} = \{20\} + \{01\}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La velocidad angular es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La velocidad en el punto <math>B </math> es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{20} + \vec{v}^{\,B}_{01}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Para obtener <math>\vec{v}^{\,B}_{01} </math> usamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}^{\,B}_{01} = \vec{v}^{\,O_1}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B}
| |
| = \vec{0} + (\Omega\,\vec{k}_0) \times (l\,\vec{\imath}_0 + R\,\vec{k}_0)
| |
| = l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Por tanto la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto <math>B </math> es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}^{\,B}_{21} = l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 \qquad\qquad \vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| | |
| === Velocidad del punto de contacto===
| |
| Obtenemos <math>\vec{v}^{\,C}_{21} </math> usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} para relacionarla con <math>\vec{v}^{\,B}_{21} </math>
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC}
| |
| =l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0 + (\omega\,\vec{\imath}_0 + \Omega\,\vec{k}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)
| |
| = (l\,\Omega+R\,\omega)\,\vec{\jmath}_0
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Para que no deslice debe ocurrir
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0} \Longrightarrow l\,\Omega+R\,\omega = 0
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| | |
| === Aceleraciones===
| |
| | |
| Obtenemos <math>\vec{a}^{\,B}_{21} </math> usando la composición de movimientos {21} = {20} + {01}
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{a}^{\,B}_{20} + \vec{a}^{\,B}_{01} + 2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Veamos cada una de los términos.
| |
| | |
| | |
| El primer término es nulo, pues el punto <math>B </math> pertenece a la vez a los sólidos "2" y "0" en todo instante. Por tanto <math>\vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0} </math> en todo instante y
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{a}^{\,B}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,B}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| | |
| Por la misma razón el tercer término se anula pues <math>\vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0} </math>.
| |
| | |
| Nos queda el segundo término. El movimiento {01} es una rotación de eje permanente. Todos los puntos del eje tienen velocidad nula en todo instante, y <math>\Omega </math> es constante, por lo que
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{a}^{\,O_1}_{01}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{\alpha}_{01}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Usamos ahora la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01}
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{lcl}
| |
| \vec{a}^{\,B}_{01} &=& \vec{a}^{\,O_1}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} +
| |
| \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B})\\
| |
| &&\\
| |
| && \vec{a}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}\\
| |
| &&\\
| |
| && \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1B} = \vec{0}\\
| |
| &&\\
| |
| &&\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1B}) =
| |
| \vec{\omega}_{01}\times\left(( \Omega\,\vec{k}_0)\times(l\,\vec{\imath}_0+R\,\vec{k}_0)\right)
| |
| = (\Omega\,\vec{k}_0) \times (l\,\Omega\,\vec{\jmath}_0) =
| |
| -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Así pues obtenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{a}^{\,B}_{21} = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0
| |
| </math>
| |
| </center> | |
| | |
| Para obtener <math>\vec{a}^{\,C}_{21} </math> usamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}. Necesitaremos <math>\vec{\alpha}_{21} </math>. A partir de la composición {21} = {20} + {01} tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
| |
| =\vec{0} + \vec{0} + (\Omega\,\vec{k}_0)\times(\vec{\omega}\,\vec{\imath}_0) =
| |
| \omega\,\Omega\,\vec{\jmath}_{0}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Hemos usado que
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{\alpha}_{20}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Podemos ahora hallar <math>\vec{a}^{\,C}_{21} </math>
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{lcl}
| |
| \vec{\alpha}^{\,C}_{21} &=& \vec{a}^{\,B}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BC} +
| |
| \vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC})\\
| |
| &&\\
| |
| && \vec{a}^{\,B}_{21} = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0\\
| |
| &&\\
| |
| && \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BC} = (\omega\,\Omega\,\vec{\jmath}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)= -R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0\\
| |
| &&\\
| |
| &&\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BC}) =
| |
| \vec{\omega}_{21}\times\left( (\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)\times(-R\,\vec{k}_0)\right)
| |
| = (\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)\times ( R\,\omega\,\vec{\jmath}_0)=
| |
| -R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0+ R\,\omega^2\,\vec{k}_0
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| El resultado final es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{a}^{\,C}_{21} = - ( l\,\Omega^2 + 2\,R\,\omega\,\Omega)\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La condición de no deslizamiento es <math>l\,\Omega + R\,\omega=0 </math>. Aplicándola tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{a}^{\,C}_{21} = -R\,\omega\,\Omega\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0 =
| |
| -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0 + R\,\omega^2\,\vec{k}_0
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| | |
| [[Categoría:Problemas de movimiento relativo]] | |
| [[Categoría:Problemas de examen F1 GIA]]
| |
