(Página creada con «== Enunciado == right El sistema de la figura está formado por una varilla <math>AB</math> de longitud <math>l</math> (sólido "0"), cuyo extremo <math>A</math> está fijado en el eje vertical <math>O_1Z_1</math>, a una altura <math>R</math> sobre el plano horizontal fijo <math>O_1X_1Y_1</math> (sólido "1"). La varilla <math>AB</math> gira alrededor de <math>O_1Z_1</math> con una velocidad angular constante <math>\…»)
Usando el álgebra vectorial, demuestre el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos.
El sistema de la figura está formado por una varilla <math>AB</math> de longitud <math>l</math> (sólido "0"), cuyo
extremo <math>A</math> está fijado en el eje vertical <math>O_1Z_1</math>, a una altura <math>R</math> sobre el plano horizontal fijo
<math>O_1X_1Y_1</math> (sólido "1"). La varilla <math>AB</math> gira alrededor de <math>O_1Z_1</math> con una velocidad angular
constante <math>\Omega</math>, permaneciendo siempre perpendicular a dicho eje vertical fijo. El extremo <math>B</math>
del sólido "0" está articulado al centro de un disco de radio <math>R</math> (sólido "2"), de modo que la
varilla es siempre perpendicular al disco. El disco gira con una velocidad angular constante
<math>\omega</math>, coincidiendo su eje de giro con la varilla.
#Caracteriza los movimientos {01}, {20} y {21} (reducciones cinemáticas).
#Obtén la expresión de la velocidad <math>\vec{v}^C_{21}</math> del punto de contacto del disco con el plano fijo <math>O_1X_1Y_1</math>, (punto <math>C</math>) en término de los datos del problema. ¿Qué relación debe existir entre las velocidades angulares <math>\omega</math> y <math>\Omega</math> para que el disco ruede sin deslizar sobre el plano?
#Obtén las expresiones de la aceleración angular del movimiento {21} y de la aceleración <math>\vec{a}^B_{21}</math> del centro del disco (punto <math>B</math>). Calcula la aceleración del punto de contacto <math>C</math> perteneciente al disco cuando éste rueda sin deslizar sobre el plano <math>O_1X_1Y_1</math>.
== Solución ==
== Solución ==
[[Imagen:F1_GIA_p02_01_triangulo.png|right]]
Dado el triángulo de la figura, con lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math> y vértices
<math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>, el teorema del seno relaciona la longitud de los lados
&a b \,\mathrm{sen}\,{\hat{C}} = a c \,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\
==== Movimiento {20}====
& b \,\mathrm{sen}\,{C} = c \,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\
El centro del disco pertenece siempre a los dos sólidos "2" y "0". Por tanto es un punto fijo del movimiento. La velocidad angular es <math>\omega </math>, dirigida a lo largo de la varilla. Reduciendo en el punto <math>B </math> tenemos
Obtenemos <math>\vec{v}^{\,C}_{21} </math> usando la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} para relacionarla con <math>\vec{v}^{\,B}_{21} </math>
El primer término es nulo, pues el punto <math>B </math> pertenece a la vez a los sólidos "2" y "0" en todo instante. Por tanto <math>\vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0} </math> en todo instante y
Por la misma razón el tercer término se anula pues <math>\vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0} </math>.
Nos queda el segundo término. El movimiento {01} es una rotación de eje permanente. Todos los puntos del eje tienen velocidad nula en todo instante, y <math>\Omega </math> es constante, por lo que
De nuevo rotando los vectores se obtiene el cociente que falta.
<center>
<math>
\vec{a}^{\,B}_{21} = -l\,\Omega^2\,\vec{\imath}_0
</math>
</center>
Para obtener <math>\vec{a}^{\,C}_{21} </math> usamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21}. Necesitaremos <math>\vec{\alpha}_{21} </math>. A partir de la composición {21} = {20} + {01} tenemos
Se puede llegar al mismo resultado observando que el módulo del producto vectorial de dos vectores es
<center>
igual al área del triángulo. Así se llega de nuevo a
Usando el álgebra vectorial, demuestre el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos.
Solución
Dado el triángulo de la figura, con lados , y y vértices
, y , el teorema del seno relaciona la longitud de los lados
con los senos de los vértices opuestos:
El teorema del coseno relaciona la longitud de un lado con la longitud
de los otros dos y el coseno del ángulo opuesto,
Teorema del coseno
Consideramos los vectores , y . Se
tiene
La longitud del lado es , por tanto
pues el ángulo entre y es precisamente el del
vértice .
Rotando los lados se obtienen las otras expresiones.
Teorema del seno
Para demostrar este teorema, utilizamos el producto vectorial de por si mismo. Tenemos
Si dos vectores son iguales también lo son sus módulos. Entonces
De nuevo rotando los vectores se obtiene el cociente que falta.
Se puede llegar al mismo resultado observando que el módulo del producto vectorial de dos vectores es
igual al área del triángulo. Así se llega de nuevo a