Enunciado

Movimientos en 2D y 3D

Calcula la velocidad, rapidez, aceleración, desplazamiento elemental y las curvas que definen las trayectorias en los movimientos descritos por las leyes horarias siguientes

  1. , con y constantes.
  2. , con , y constantes.
  3. , con y constantes.
  4. , con y constantes.
  5. con ,

y constantes.

Solución

Caso 1

La velocidad es

La rapidez es

El desplazamiento elemental

La aceleración es

Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos

Vemos que

Es una circunferencia de radio centrada en el origen.


Caso 2

El vector de posición puede escribirse así

Sólo el primer factor depende del tiempo. La velocidad es

La rapidez es

El desplazamiento elemental

La aceleración es

Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos

Vemos que

Es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente . Esto ya puede verse al escribir el vector de posición como una función escalar del tiempo por un vector constante

Caso 3

La velocidad es

La rapidez es

El desplazamiento elemental

La aceleración es

Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos

Despejando en la primera y sustituyendo en la segunda vemos que

Es una parábola con la concavidad hacia arriba

Caso 4

La velocidad es

La rapidez es

El desplazamiento elemental

La aceleración es

Buscamos la ecuación de la trayectoria en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos

Tomando el cuadrado de los dos vemos que

Sumando los dos

Es una circunferencia de radio centrada en el origen. Pero sólo puede ser positiva

Caso 5

La velocidad es

La rapidez es

El desplazamiento elemental

La aceleración es

Esta es una curva tridimensional y no es fácil expresarla en forma implícita. Escribiendo en forma de ecuaciones paramétricas tenemos

Las componentes y se comportan igual que las del apartado 1. Entonces, la proyección de la trayectoria sobre el plano es una circunferencia de radio centrada en el origen. Por otro lado, la componente crece linealmente con el tiempo. Es decir, a la vez que la partícula da vueltas alrededor del eje avanza paralelamente a él. La curva así descrita recibe el nombre de hélice.