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Ejemplos de estimaciones numéricas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Estime el orden de magnitud de las siguientes cantidades:

  1. Número de litros de gasolina que se consumen en España en un año
  2. La cantidad de agua que hay en la Tierra. Si toda ella se concentrara en una esfera, ¿cuál sería su radio?
  3. Masa de una hormiga
  4. Vueltas que da una rueda de un coche en un trayecto Sevilla-Madrid.
  5. El número de latidos del corazón de una persona a lo largo de su vida.
  6. Las bolas que hay en la máquina de la figura.
  7. La velocidad de reproducción en bits/s de un CD de música.
  8. El orden de magnitud de la masa de la Giralda

2 Consumo anual de gasolina

Se trata de hallar un orden de magnitud de este consumo, no de un valor exacto, por tanto, nos basta con hacer estimaciones gruesas.

Primero estimamos el número de vehículos que hay en España. La gasolina es consumida principalmente por automóviles y no por camiones. Si en España hay unos 47 millones de personas y calculamos un coche cada cuatro habitantes, nos salen 10 millones de vehículos.

La distancia recorrida por cada uno puede variar mucho, pero en promedio estará en unos 10000km/año (igual son 20000 en vez de 10000, pero eso no afecta al orden de magnitud).

En cuanto al consumo de cada uno, en promedio está en unos 10L/100km (según la publicad, algunos gastan 5L/100km, pero eso, parate de ser un mínimo, no afecta al orden de magnitud). Por tanto, tenemos para el consumo

c \sim 10^7\mathrm{coches}\times 10^4\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{coche}}\times \frac{10\mathrm{L}}{100\mathrm{km}} = 10^{10}\,\mathrm{L}

Consultando datos oficiales vemos que de agosto 2012 a agosto 2013, el consumo de gasolina en España ha sido de 4682 kilotoneladas, lo cual en litros equivale a

c = 4682 \mathrm{kTm}\times \frac{1000\,\mathrm{Tm}}{1\,\mathrm{kTm}}\times \frac{1000\,\mathrm{kg}}{1\,\mathrm{Tm}}\times\frac{1\,\mathrm{L}}{0.67\,\mathrm{kg}}= 6.89\times 10^{9}\mathrm{L}

Vemos que nuestra aproximación gruesa da el orden de magnitud correcto para el resultado.

3 Cantidad de agua en la Tierra

La primera aproximación que hacemos es suponer que prácticamente toda el el agua se encuentra en los océanos terrestres. Esto supone despreciar el resto de masas de agua (glaciares, continentales, atmosférica o biológica). En particular, el agua de los glaciares y casquetes polares supone una fracción apreciable, por lo que no podemos esperar que nuestra aproximación nos de más allá de una o dos cifras significativas.

Los océanos suponen un 70% de la superficie terrestre:

S = 0.7(4\pi (6370\,\mathrm{km}^2)\simeq 3.6\times 10^8\,\mathrm{km}^2

La profundidad de los océanos es variable, pero en promedio ronda unos 4 km. Para hallar el volumen no hace falta emplear volúmenes esféricos, por ser esta profundidad muy pequeña comparada con el radio terrestre. El volumen de agua se puede calcular como el de una lámina de área S y espesor h, siendo su volumen

V\sim Sh = (3.6\times 10^8\,\mathrm{km}^2)(4\,\mathrm{km})=1.4\times 10^9\,\mathrm{km}^3
Pasando este volumen a metros cúbicos
V = 1.4\times 10^9\,\mathrm{km}^3\left(\frac{1000\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{km}}\right)^3 = 1.4\times 10^{18}\,\mathrm{m}^3

y en términos de la masa de agua, suponiendo la densidad uniforme e igual a 1000 kg/m³

m =\rho V = 1.4\times 10^{21}\,\mathrm{kg}

Si todo el volumen de agua terrestre se concentrara en una esfera, su radio sería

V = \frac{4\pi}{3}R^3\qquad \Rightarrow\qquad R \simeq \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}=700\,\mathrm{km}

Esta cantidad parece muy pequeña (la sección de la esfera es solo algo más grande que España), pero hay que recordar que en altura es gigantesca comparada con el espesor real de los océanos.

4 Masa de una hormiga

Hormigas hay de muchas clases, pero imaginando una hormiga “promedio”, podemos hacer un modelo muy sencillo, en el que consideramos esta como una esfera de agua de 1mm de diámetro, a la cual le corresponde una masa

m\sim (10^{-3}\mathrm{m})^3\times 1000 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3} = 10^{-6}\,\mathrm{kg}=1\,\mathrm{mg}

Consultando referencias en la red, puede verse que la masa promedio de una hormiga es de unos 3\thinsp;mg. Dato curioso es que la masa combinada de todas las hormigas del mundo es superior al de todas las personas del mundo.

5 Latidos del corazón

La estimación es sencilla: multiplicamos lo que dura una vida en minutos por el número de latidos por minuto.

La esperanza de vida en España ronda los 80 años (un poco más para mujeres y un poco menos para hombres), así que podemos aproximar el número de minutos en una vida por

N_m = 80\frac{\mathrm{a\tilde{n}os}}\times\frac{365.25\,\mathrm{dias}}{1\,\mathrm{a\tilde{n}o}}\times\frac{24\,\mathrm{horas}}{1\,\mathrm{dia}}\times\frac{60\,\mathrm{min}}{1\,\mathrm{h}}\simeq 4.2\times 10^7\,\mathrm{min}

esto es, 42 millones de minutos.

Multiplicando por un ritmo cardíaco de unos 70 latidos por minuto nos queda

N = N\mathrm{min}\times \frac{70\,\mbox{latidos}}{1\,\mathrm{min}} = \simeq 3\times 10^9\,\mbox{latidos}

Tres mil millones de latidos como promedio para una vida de 80 años.

Evidentemente hay variaciones debido a las diferencias en longevidad, en las variaciones del ritmo cardiaco a lo largo de la vida, etc. pero una estimación de entre dos y tres mil millones de latidos es bastante razonable.

6 Bolas en la máquina

Veamos primero la imagen en grande:

Archivo:maquina-chicles.jpg

Vemos que el recipiente es un prisma más o menos cúbico, cuya arista horizontal mide aproximadamente 6 diámetros de las bolas y su altura unos 7 por lo que su volumen será

V \simeq 6d\times 6d\times 7 d\simeq 250 d^3

El volumen ocupado por cada bola, si no contamos los intersticios sería

V_b = \frac{4\pi}{3}R^3 = \frac{\pi d^3}{6}=0.52 d^3

Si contamos los intersticios, el volumen correspondiente a cada bola es algo mayor. Podemos estimar este volumen como una cantidad intermedia entre lo que tendría la bola sola y el que tendría un cubo de lado d (es claro que las bolas se empaquetan más que si fueran cubitos). Así que un valor razonable para el volumen efectivo sería la media entre 0.5d3 y d3

V_\mathrm{ef}\simeq 0.75 d^3

y el número de bolas sería

N = \frac{250d^3}{0.75d^3} \simeq 350\,\mathrm{bolas}

Observemos que no necesitamos saber el diámetro de cada bola, ya que los factores correspondientes se cancelan.

La división daría realmente 333 pero eso es un exceso de cifras significativas, pues ni el tamaño de la caja ni el volumen de cada bola son cantidades que conozcamos más allá de la primera cifra, con una amplia incertidumbre en la segunda. Lo más que podemos decir es que el número de bolas estaría entre 300 y 400 bolas.

7 Velocidad de reproducción

La velocidad de reproducción es sencilla: simplemente dividimos el número de bits de un CD por el tiempo que se emplea en reproducirlo.

La capacidad de un CD es conocida, ya que viene en todas las cajas, o lo sabe cualquiera que haya manejado un fichero “ripeado” de una serie o película: 700MB. Pasando esto a bits queda

C = 700\,\mathrm{MB} \times\frac{1024\,\mathrm{kB}}{1\,\mathrm{MB}}\times\frac{1024\,\mathrm{B}}{1\,\mathrm{kB}}\times\frac{8\,\mathrm{bits}}{1\,\mathrm{B}} = 5.9\times 10^9\,\mathrm{bits}

¿Cuánto dura un CD de música? Suele venir también en las etiquetas. Si no, puede ser interesante saber que se dice que su tamaño fue fijado de forma que cupiera la novena sinfonía de Beethoven, que dura 74 minutos. En cualquier la duración de un CD es de unos 80 minutos, o 4800 segundos. Por tanto

v = \frac{5.9\times 10^9\,\mathrm{bits}}{4800\,\mathrm{s}}= 1.2\times 10^6\,\frac{\mathrm{bits}}{\mathrm{s}}

Vemos que es algo superior a un megabit por segundo. Un valor exacto obtenido a partir de la frecuencia de muestreo es de 1411.2 kbit/s.

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