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Enunciado

El sólido de la figura está compuesto de un aro delgado de masa $m$ y radio $R$ , así como de cuatro barras delgadas, cada una de masa $m$ y longitud $R$ , dispuestas como se indica en la figura. Todos los cuerpos son homogéneos.

Calcula el momento de inercia $I_{zz}$ .
Calcula el tensor de inercia en $O$ expresado en los ejes cartesianos de la figura.
Calcula el momento de inercia respecto al eje $\Delta$ de la figura.

Solución

Momento de inercia $I_{zz}$

El momento de inercia pedido es

$I_{zz}=\int \limits _{V}\mathrm {d} m\,a^{2}$

donde la integral se extiende a todo el sólido y $a$ es la distancia de cada punto del sólido al eje $OZ$ . Aplicamos la propiedad distributiva de la suma y separamos la integral en cuatro partes, una por cada barra de longitud $R$ y otra por el aro. Las integrales para las barras son iguales, por simetría.

$I_{zz}=4\int \limits _{barra}\mathrm {d} m\,a^{2}+\int \limits _{aro}\mathrm {d} m\,a^{2}$

Para las barras tenemos

$I_{zz}^{barra}=\int \limits _{barra}\mathrm {d} m\,a^{2}=\int \limits _{0}^{R}{\dfrac {M}{R}}\mathrm {d} y\,y^{2}={\dfrac {1}{3}}mR^{3}.$

Para el aro

$I_{zz}^{aro}=\int \limits _{aro}\mathrm {d} m\,R^{2}=R^{2}\,\int \limits _{aro}\mathrm {d} m=mR^{2}$

Entonces

$I_{zz}=4\,{\dfrac {mR^{2}}{3}}+mR^{2}={\dfrac {7}{3}}mR^{2}.$

Tensor de inercia en $O$

Por simetría, los ejes $X$ e $Y$ son direcciones principales de inercia. El eje $Z$ lo es por ser un sólido plano. Entonces el tensor es diagonal en los ejes de la figura. Aplicando el teorema de los ejes perpendiculares

$I_{zz}=I_{xx}+I_{yy}$

y por simetría

$I_{xx}=I_{yy}.$

Por tanto

$I_{xx}=I_{yy}={\dfrac {1}{2}}I_{zz}={\dfrac {7}{6}}mR^{2}.$

El tensor de inercia es

${\overleftrightarrow {I}}_{O}={\dfrac {7mR^{2}}{6}}\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}}\right]$

Momento de inercia respecto a $\Delta$

Hemos visto que

$I_{xx}={\dfrac {7}{6}}mR^{2}$

Aplicando el Teorema de los ejes paralelos tenemos

$I_{\Delta }=I_{xx}+5mR^{2}={\dfrac {37}{6}}mR^{2}.$

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
-== Enunciado ==
+= Enunciado =
-[[Imagen:Tres_barras_enunciado_PPC_MR.png|right]]
+[[Imagen:MR_Aro_barras.png|right]]
-El sistema de la figura es un modelo muy simplificado de hélice de un aerogenerador. Consta de tres barras iguales, de masas <math>M</math> y longitud <math>L</math>, soldadas en el punto <math>O</math>, de modo que forman un sólo sólido rígido. El ángulo entre las tres barras es el mismo.
+El sólido de la figura está compuesto de un aro delgado de masa <math>m</math> y radio <math>R</math>, así como de
-# Calcula el momento de inercia respecto al eje <math>OZ_1</math> en <math>O</math>.
+cuatro barras delgadas, cada una de masa <math>m</math> y longitud <math>R</math>, dispuestas como se indica en la
-# Calcula el tensor de inercia en <math>O</math>.
+figura. Todos los cuerpos son homogéneos.
-#  El sólido rota alrededor de un eje que pasa por <math>O</math>, está contenido en el plano <math>OX_1Z_1</math> y forma un ángulo <math>\pi/4</math> con el eje <math>OX_1</math>. Calcula el momento de inercia del sólido alrededor de ese eje.
+#Calcula el momento de inercia <math>I_{zz}</math>.
-#Si el vector de rotación tiene módulo <math>\omega_0</math> y apunta hacia los sentidos positivos de los ejes <math>OX_1</math> y <math>OZ_1</math>, calcula el coseno del ángulo que forman el momento cinético y el vector rotación.
+#Calcula el tensor de inercia en <math>O</math> expresado en los ejes cartesianos de la figura.
-#En este último caso, calcula la energía cinética.
+#Calcula el momento de inercia respecto al eje <math>\Delta</math> de la figura.
-== Solución ==
+= Solución =
-=== Momento de inercia ===
+== Momento de inercia <math>I_{zz}</math> ==
-El momento de inercia de un sólido respecto a un eje es
+El momento de inercia pedido es
 <center>
 <math>
-I = \int\,\mathrm{d}m\,a^2
+I_{zz} = \int\limits_V \mathrm{d}m\,a^2
 </math>
 </center>
-donde <math>a </math> es la distancia de cada punto del sólido al eje. En este caso, la integral se compone de tres integrales, una para cada barra:
+donde la integral se extiende a todo el sólido y <math>a</math> es la distancia de cada punto
+del sólido al eje <math>OZ</math>. Aplicamos la propiedad distributiva de la suma y separamos
+la integral en cuatro partes, una por cada barra de longitud <math>R</math> y otra por el aro. Las integrales para las barras son iguales, por simetría.
 <center>
 <math>
-I = 3\int\limits_{\mathrm{barra}}\,\mathrm{d}m\,a^2
+I_{zz} = 4\int\limits_{barra} \mathrm{d}m\,a^2 + \int\limits_{aro} \mathrm{d}m\,a^2
 </math>
 </center>
-Pero para cada barra la integral es el momento de inercia respecto de un eje perpendicular a ella que pasa por su extremo:
+Para las barras tenemos
 <center>
 <math>
-\int\limits_{\mathrm{barra}}\,\mathrm{d}m\,a^2
+I^{barra}_{zz} = \int\limits_{barra} \mathrm{d}m\,a^2 =
+\int\limits_{0}^R \dfrac{M}{R}\mathrm{d}y\,y^2
 =
-\dfrac{1}{3}ML^2
+\dfrac{1}{3}mR^3.
 </math>
 </center>
-Por tanto el momento de inercia pedido es
+Para el aro
 <center>
 <math>
-I = 3
+I^{aro}_{zz} = \int\limits_{aro} \mathrm{d}m\,R^2 = R^2\,\int\limits_{aro} \mathrm{d}m = mR^2
-\dfrac{1}{3}ML^2 = ML^2
 </math>
 </center>
+Entonces
-=== Tensor de inercia en O ===
-El sistema es plano, por lo que el eje <math>OZ_1 </math> es eje principal de inercia. Además tiene simetría respecto al eje <math>OZ_1 </math>, pues en ángulo entre las barras es el mismo. Por tanto, todas las direcciones en el plano <math>O_1X_1Y_1 </math> son direcciones principales de inercia, y el tensor de inercia en <math>O </math> es diagonal cuando se expresa en los ejes de la figura.
-Por ser el sistema plano
 <center>
 <math>
-I_{33} = I_{11} + I_{22}
+I_{zz} = 4\,\dfrac{mR^2}{3} + mR^2 = \dfrac{7}{3}mR^2.
 </math>
 </center>
-A causa de la simetría <math>I_{11} = I_{22} </math>, por lo que
-<center>
+== Tensor de inercia en <math>O</math> ==
-<math>
+Por simetría, los ejes <math>X</math> e  <math>Y</math> son direcciones principales de
-I_{11} = I_{22} = \dfrac{1}{2}I_{33} = \dfrac{1}{2}I = \dfrac{1}{2}ML^2
+inercia. El eje <math>Z</math> lo es por ser un sólido plano. Entonces el tensor es
-</math>
+diagonal en los ejes de la figura. Aplicando el teorema de los ejes perpendiculares
-</center>
-El tensor de inercia pedido es
 <center>
 <math>
-\overleftrightarrow{I}_O
+I_{zz} = I_{xx} + I_{yy}
-=
-\dfrac{ML^2}{2}
-\left[
-\begin{array}{ccc}
-& 0 & 0\\
-& 1 & 0\\
-& 0 & 2
-\end{array}
-\right]
 </math>
 </center>
+y por simetría
-=== Momento de inercia respecto a un eje de rotación ===
-Por lo que dice el enunciado el vector rotación es
 <center>
 <math>
-\vec{\omega} = \omega_0\,\left[\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]
+I_{xx} = I_{yy}.
 </math>
 </center>
-Un vector unitario en esa dirección es
+Por tanto
 <center>
 <math>
-\vec{n} = \left[\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]
+I_{xx} = I_{yy} = \dfrac{1}{2}I_{zz} = \dfrac{7}{6}mR^2.
 </math>
 </center>
-El momento de inercia respecto del eje es
+El tensor de inercia es
 <center>
 <math>
-I_{\Delta} =
+\overleftrightarrow{I}_O
-\vec{n}\cdot\overleftrightarrow{I}_O\cdot\vec{n}
 =
-\dfrac{ML^2}{2}
+\dfrac{7mR^2}{6}
-\left[\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]
 \left[
 \begin{array}{ccc}
@@ Línea 98: / Línea 82: @@
 \end{array}
 \right]
-\left[
-\begin{array}{c}
-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}
-\end{array}
-\right]
-=
-\dfrac{3}{4}ML^2
 </math>
 </center>
-=== Ángulo entre los vectores rotación y momento cinético ===
+== Momento de inercia respecto a <math>\Delta</math> ==
-Como <math>O </math> es un punto fijo, el momento cinético del sólido es
+Hemos visto que
-<center>
-<math>
- \vec{L}_O
-=
-\overleftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}
-=
-\dfrac{ML^2}{2}
-\left[
-\begin{array}{ccc}
-& 0 & 0\\
-& 1 & 0\\
-& 0 & 2
-\end{array}
-\right]
-\left[
-\begin{array}{c}
-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}
-\end{array}
-\right]
-=
-\dfrac{ML^2}{2}
-\left[
-\begin{array}{c}
-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \sqrt{2}
-\end{array}
-\right]
-</math>
-</center>
-El coseno del ángulo entre los vectores rotación y momento cinético es
 <center>
 <math>
-\cos\alpha = \dfrac{\vec{L}_O\cdot\vec{\omega}}{|\vec{L}_O||\vec{\omega}|}
+I_{xx} = \dfrac{7}{6}mR^2
-=
-\dfrac{3}{\sqrt{10}}
 </math>
 </center>
-=== Energía cinética ===
+Aplicando el Teorema de los ejes paralelos tenemos
-Al ser un punto fijo, la energía cinética del sólido es
 <center>
 <math>
-T =
+I_{\Delta} = I_{xx} + 5mR^2 = \dfrac{37}{6}mR^2.
-\dfrac{1}{2}
-\vec{\omega}\cdot\overleftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}
-=
-\dfrac{ML^2\omega_0^2}{2}
-\left[\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]
-\left[
-\begin{array}{ccc}
-& 0 & 0\\
-& 1 & 0\\
-& 0 & 2
-\end{array}
-\right]
-\left[
-\begin{array}{c}
-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}
-\end{array}
-\right]
-=
-\dfrac{3}{8}ML^2\omega_0^2
 </math>
 </center>
 [[Categoría:Problemas de cinética del sólido rígido]]
-[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (MR)]]
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Enunciado

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Momento de inercia $I_{zz}$

Tensor de inercia en $O$

Momento de inercia respecto a $\Delta$

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Enunciado

Solución

Momento de inercia I z z {\displaystyle I_{zz}}

Tensor de inercia en O {\displaystyle O}

Momento de inercia respecto a Δ {\displaystyle \Delta }

Información del artículo

Momento de inercia $I_{zz}$

Tensor de inercia en $O$

Momento de inercia respecto a $\Delta$