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Enunciado

El sistema de la figura es un modelo muy simplificado de hélice de un aerogenerador. Consta de tres barras iguales, de masas $M$ y longitud $L$ , soldadas en el punto $O$ , de modo que forman un sólo sólido rígido. El ángulo entre las tres barras es el mismo.

Calcula el momento de inercia respecto al eje $OZ_{1}$ en $O$ .
Calcula el tensor de inercia en $O$ .
El sólido rota alrededor de un eje que pasa por $O$ , está contenido en el plano $OX_{1}Z_{1}$ y forma un ángulo $\pi /4$ con el eje $OX_{1}$ . Calcula el momento de inercia del sólido alrededor de ese eje.
Si el vector de rotación tiene módulo $\omega _{0}$ y apunta hacia los sentidos positivos de los ejes $OX_{1}$ y $OZ_{1}$ , calcula el coseno del ángulo que forman el momento cinético y el vector rotación.
En este último caso, calcula la energía cinética.

Solución

Momento de inercia

El momento de inercia de un sólido respecto a un eje es

$I=\int \,\mathrm {d} m\,a^{2}$

donde $a$ es la distancia de cada punto del sólido al eje. En este caso, la integral se compone de tres integrales, una para cada barra:

$I=3\int \limits _{\mathrm {barra} }\,\mathrm {d} m\,a^{2}$

Pero para cada barra la integral es el momento de inercia respecto de un eje perpendicular a ella que pasa por su extremo:

$\int \limits _{\mathrm {barra} }\,\mathrm {d} m\,a^{2}={\dfrac {1}{3}}ML^{2}$

Por tanto el momento de inercia pedido es

$I=3{\dfrac {1}{3}}ML^{2}=ML^{2}$

Tensor de inercia en O

El sistema es plano, por lo que el eje $OZ_{1}$ es eje principal de inercia. Además tiene simetría respecto al eje $OZ_{1}$ , pues en ángulo entre las barras es el mismo. Por tanto, todas las direcciones en el plano $O_{1}X_{1}Y_{1}$ son direcciones principales de inercia, y el tensor de inercia en $O$ es diagonal cuando se expresa en los ejes de la figura.

Por ser el sistema plano

$I_{33}=I_{11}+I_{22}$

A causa de la simetría $I_{11}=I_{22}$ , por lo que

$I_{11}=I_{22}={\dfrac {1}{2}}I_{33}={\dfrac {1}{2}}I={\dfrac {1}{2}}ML^{2}$

El tensor de inercia pedido es

${\overleftrightarrow {I}}_{O}={\dfrac {ML^{2}}{2}}\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}}\right]$

Momento de inercia respecto a un eje de rotación

Por lo que dice el enunciado el vector rotación es

${\vec {\omega }}=\omega _{0}\,\left[{\dfrac {1}{\sqrt {2}}},0,{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\right]$

Un vector unitario en esa dirección es

${\vec {n}}=\left[{\dfrac {1}{\sqrt {2}}},0,{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\right]$

El momento de inercia respecto del eje es

$I_{\Delta }={\vec {n}}\cdot {\overleftrightarrow {I}}_{O}\cdot {\vec {n}}={\dfrac {ML^{2}}{2}}\left[{\dfrac {1}{\sqrt {2}}},0,{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\\0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\end{array}}\right]={\dfrac {3}{4}}ML^{2}$

Ángulo entre los vectores rotación y momento cinético

Como $O$ es un punto fijo, el momento cinético del sólido es

${\vec {L}}_{O}={\overleftrightarrow {I}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}={\dfrac {ML^{2}}{2}}\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\\0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\end{array}}\right]={\dfrac {ML^{2}}{2}}\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\\0\\{\sqrt {2}}\end{array}}\right]$

El coseno del ángulo entre los vectores rotación y momento cinético es

$\cos \alpha ={\dfrac {{\vec {L}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}}{|{\vec {L}}_{O}||{\vec {\omega }}|}}={\dfrac {3}{\sqrt {10}}}$

Energía cinética

Al ser un punto fijo, la energía cinética del sólido es

$T={\dfrac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\overleftrightarrow {I}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}={\dfrac {ML^{2}\omega _{0}^{2}}{2}}\left[{\dfrac {1}{\sqrt {2}}},0,{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\\0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\end{array}}\right]={\dfrac {3}{8}}ML^{2}\omega _{0}^{2}$

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+== Enunciado ==
+[[Imagen:Tres_barras_enunciado_PPC_MR.png|right]]
+El sistema de la figura es un modelo muy simplificado de hélice de un aerogenerador. Consta de tres barras iguales, de masas <math>M</math> y longitud <math>L</math>, soldadas en el punto <math>O</math>, de modo que forman un sólo sólido rígido. El ángulo entre las tres barras es el mismo.
+# Calcula el momento de inercia respecto al eje <math>OZ_1</math> en <math>O</math>.
+# Calcula el tensor de inercia en <math>O</math>.
+#  El sólido rota alrededor de un eje que pasa por <math>O</math>, está contenido en el plano <math>OX_1Z_1</math> y forma un ángulo <math>\pi/4</math> con el eje <math>OX_1</math>. Calcula el momento de inercia del sólido alrededor de ese eje.
+#Si el vector de rotación tiene módulo <math>\omega_0</math> y apunta hacia los sentidos positivos de los ejes <math>OX_1</math> y <math>OZ_1</math>, calcula el coseno del ángulo que forman el momento cinético y el vector rotación.
+#En este último caso, calcula la energía cinética.
+== Solución ==
+=== Momento de inercia ===
+El momento de inercia de un sólido respecto a un eje es
+<center>
+<math>
+I = \int\,\mathrm{d}m\,a^2
+</math>
+</center>
+donde <math>a </math> es la distancia de cada punto del sólido al eje. En este caso, la integral se compone de tres integrales, una para cada barra:
+<center>
+<math>
+I = 3\int\limits_{\mathrm{barra}}\,\mathrm{d}m\,a^2
+</math>
+</center>
+Pero para cada barra la integral es el momento de inercia respecto de un eje perpendicular a ella que pasa por su extremo:
+<center>
+<math>
+\int\limits_{\mathrm{barra}}\,\mathrm{d}m\,a^2
+=
+\dfrac{1}{3}ML^2
+</math>
+</center>
+Por tanto el momento de inercia pedido es
+<center>
+<math>
+I = 3
+\dfrac{1}{3}ML^2 = ML^2
+</math>
+</center>
+=== Tensor de inercia en O ===
+El sistema es plano, por lo que el eje <math>OZ_1 </math> es eje principal de inercia. Además tiene simetría respecto al eje <math>OZ_1 </math>, pues en ángulo entre las barras es el mismo. Por tanto, todas las direcciones en el plano <math>O_1X_1Y_1 </math> son direcciones principales de inercia, y el tensor de inercia en <math>O </math> es diagonal cuando se expresa en los ejes de la figura.
+Por ser el sistema plano
+<center>
+<math>
+I_{33} = I_{11} + I_{22}
+</math>
+</center>
+A causa de la simetría <math>I_{11} = I_{22} </math>, por lo que
+<center>
+<math>
+I_{11} = I_{22} = \dfrac{1}{2}I_{33} = \dfrac{1}{2}I = \dfrac{1}{2}ML^2
+</math>
+</center>
+El tensor de inercia pedido es
+<center>
+<math>
+\overleftrightarrow{I}_O
+=
+\dfrac{ML^2}{2}
+\left[
+\begin{array}{ccc}
+& 0 & 0\\
+& 1 & 0\\
+& 0 & 2
+\end{array}
+\right]
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+</center>
+=== Momento de inercia respecto a un eje de rotación ===
+Por lo que dice el enunciado el vector rotación es
+<center>
+<math>
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+</math>
+</center>
+Un vector unitario en esa dirección es
+<center>
+<math>
+\vec{n} = \left[\dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]
+</math>
+</center>
+El momento de inercia respecto del eje es
+<center>
+<math>
+I_{\Delta} =
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+=
+\dfrac{ML^2}{2}
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+\left[
+\begin{array}{ccc}
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+=== Ángulo entre los vectores rotación y momento cinético ===
+Como <math>O </math> es un punto fijo, el momento cinético del sólido es
+<center>
+<math>
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+=
+\dfrac{ML^2}{2}
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+& 0 & 2
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+\right]
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+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}
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+\left[
+\begin{array}{c}
+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \sqrt{2}
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+</center>
+El coseno del ángulo entre los vectores rotación y momento cinético es
+<center>
+<math>
+\cos\alpha = \dfrac{\vec{L}_O\cdot\vec{\omega}}{|\vec{L}_O||\vec{\omega}|}
+=
+\dfrac{3}{\sqrt{10}}
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+</center>
+=== Energía cinética ===
+Al ser un punto fijo, la energía cinética del sólido es
+<center>
+<math>
+T =
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+\vec{\omega}\cdot\overleftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}
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+\left[
+\begin{array}{ccc}
+& 0 & 0\\
+& 1 & 0\\
+& 0 & 2
+\end{array}
+\right]
+\left[
+\begin{array}{c}
+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}
+\end{array}
+\right]
+=
+\dfrac{3}{8}ML^2\omega_0^2
+</math>
+</center>
+[[Categoría:Problemas de cinética del sólido rígido]]
+[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (MR)]]
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