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| ==Enunciado== | | ==Introducción== |
| Se tiene un sistema horizontal en el que una partícula P, de masa m, se encuentra unida a una varilla de longitud <math>\ell</math> cuyo otro extremo, A, se halla articulado a una segunda varilla, de longitud b, cuyo segundo extremo, O, está fijo. La varilla OA gira en torno a O con velocidad angular constante Ω, mientras que la varilla AP puede girar libremente en torno a A. Sea θ el ángulo que AP forma con la prolongación de OA.
| | El estudio del movimiento oscilatorio va mucho más allá de la dinámica de un resorte con una masa atada a él. El estudio de las vibraciones y oscilaciones se aplica a una gran variedad de sistemas mecánicos, tanto lineales como no lineales. |
| <center>[[Archivo:masa-varilla-articulada.png]]</center>
| | Este tema pretende una introducción a los conceptos básicos relacionados con las oscilaciones. dada la amplitud del tema se estructura en varios apartados. |
| # ¿Qué vínculo hay entre las coordenadas cartesianas de P? Escríbalo en forma geométrica, cinemática y pfaffiana.
| | * [[Cinemática del oscilador armónico (CMR)|Cinemática del oscilador armónico]] |
| # Obtenga la ecuación de movimiento para el ángulo θ.
| | * [[Dinámica del oscilador armónico (CMR)|Dinámica del oscilador armónico]] |
| # ¿Qué puntos de equilibrio hay para el ángulo θ? ¿Son estables o inestables?
| | * [[Oscilaciones amortiguadas y forzadas (CMR)|Oscilaciones amortiguadas y forzadas]] |
| ==Ecuación de vínculo==
| | * [[Oscilaciones no lineales (CMR)|Oscilaciones no lineales]] |
| La ecuación de vínculo sobre P es que su distancia al punto A es constante
| | * [[Oscilaciones acopladas (CMR)|Oscilaciones acopladas. Modos normales]] |
| | | [[Categoría:Mecánica de la partícula y de los sistemas (CMR)]] |
| <center><math>|\overrightarrow{AP}|=\ell=\mathrm{cte}</math></center>
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| Se trata de escribir esta relación en términos de las coordenadas cartesianas de P.
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| La posición de A es en todo momento
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| <center><math>\overrightarrow{OA}=\ell\cos(\Omega t)\vec{\imath}_1+\ell\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}_1</math></center>
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| con lo que la ecuación de vínculo se puede escribir en la forma
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| <center><math>(x-\ell\cos(\Omega t))^2+(y-\ell\,\mathrm{sen}(\Omega t))^2 = \ell^2</math></center>
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| Esta sería la forma geométrica.
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| Obtenemos la forma cinemática derivando esta respecto al tiempo.
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| <center><math>2(x-\ell\cos(\Omega t))(\dot{x}+\ell\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t))+2(y-\ell\,\mathrm{sen}(\Omega t))(\dot{y}-\ell\Omega\cos(\Omega t))=0</math></center>
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| Simplificando por 2 y agrupando términos queda
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| <center><math>\dot{x}(x-\ell\cos(\Omega t))+\dot{y}(y-\ell\,\mathrm{sen}(\Omega t))+\ell\Omega(x\,\mathrm{sen}(\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0</math></center>
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| La forma pfaffiana se obteien multiplicando la condición cinemática por <math>\mathrm{d}t</math>
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| <center><math>\mathrm{d}x(x-\ell\cos(\Omega t))+\mathrm{d}y(y-\ell\,\mathrm{sen}(\Omega t))+\ell\Omega\,\mathrm{d}t(x\,\mathrm{sen}(\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0</math></center>
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| ==Ecuación de movimiento==
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| Siguiendo los cálculos y la notación del problema “[[Cinem%C3%A1tica_de_dos_barras_articuladas_(CMR)|Dos barras articuladas]]” la posición, velocidad y aceleración de A son
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| <center><math>\overrightarrow{OA}=\ell\vec{\imath}_2\qquad\qquad \vec{v}^A_{21}=\ell\Omega\vec{\jmath}_2\qquad\qquad \vec{a}^A_{21}=-\ell\Omega^2\vec{\imath}_2</math></center>
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| Por ser A una articulación entre los sólidos 2 y 3, estos valores corresponden también al movimiento {31}.
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| Para el punto P tenemos la posición
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| <center><math>\overrightarrow{OP}=\ell\vec{\imath}_2+\ell\vec{\imath}_3</math></center>
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| la velocidad
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| <center><math>\vec{v}^P_{31}=\ell\Omega\vec{\jmath}_2+\ell(\Omega+\dot{\theta})\vec{\jmath}_3</math></center>
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| y la aceleración
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| <center><math>\vec{a}^P_{31}=-\ell\Omega^2\vec{\imath}_2+\ell\ddot{\theta}\vec{\jmath}_3-\ell(\Omega+\dot{\theta})^2\vec{\jmath}_3</math></center>
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| La única fuerza que actúa sobre la masa en P es la tensión de la varilla, de manera que la segunda Ley de Newton queda
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| <center><math>m\vec{a}^P_{31}=-F_{T}\vec{\imath}_3</math></center>
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| Sustituimos la aceleración de P
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| <center><math>-m\ell\Omega^2\vec{\imath}_2+m\ell\ddot{\theta}\vec{\jmath}_3-m\ell(\Omega+\dot{\theta})^2\vec{\jmath}_3=-F_{T}\vec{\imath}_3</math></center>
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| Para eliminar la tensión de los cálculos proyectamos sobre la dirección ortogonal, que en este caso es la de <math>\vec{\jmath}_3</math>. Queda
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| <center><math>m\ell\Omega^2\,\mathrm{sen}(\theta)+m\ell\ddot{\theta}=0</math></center>
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| o, equivalentemente,
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| <center><math>\ddot{\theta}=-\frac{\ell\Omega^2}{\ell}\mathrm{sen}(\theta)</math></center>
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| Esta es la ecuación de un péndulo simple. Empleando fuerzas ficticias, diríamos que aquí el papel de la gravedad lo desempeña la fuerza centrífuga. Así es como se llegaría a este mismo resultado empleando un sistema de referencia en rotación.
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| ==Puntos de equilibrio==
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| Al ser la ecuación de movimiento equivalente a un péndulo, al análisis del equilibrio es idéntico.
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| * <math>\theta=0</math> representa un punto de equilibrio estable.
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| * <math>\theta=\pi</math> representa un punto de equilibrio inestable.
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| Es decir, el sistema sería estable con la varilla AP completamente extendida y sería inestable con AP plegada sobre OA.
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