Dos masas unidas sobre una cuchilla

Enunciado

Se tiene un sistema horizontal en el que una partícula P, de masa m, se encuentra unida a una varilla de longitud $\ell$ cuyo otro extremo, A, se halla articulado a una segunda varilla, de longitud b, cuyo segundo extremo, O, está fijo. La varilla OA gira en torno a O con velocidad angular constante Ω, mientras que la varilla AP puede girar libremente en torno a A. Sea θ el ángulo que AP forma con la prolongación de OA.

1. ¿Qué vínculo hay entre las coordenadas cartesianas de P? Escríbalo en forma geométrica, cinemática y pfaffiana.
2. Obtenga la ecuación de movimiento para el ángulo θ.
3. ¿Qué puntos de equilibrio hay para el ángulo θ? ¿Son estables o inestables?

Ecuación de vínculo

La ecuación de vínculo sobre P es que su distancia al punto A es constante

$|{\overrightarrow {AP}}|=\ell =\mathrm {cte}$

Se trata de escribir esta relación en términos de las coordenadas cartesianas de P.

La posición de A es en todo momento

${\overrightarrow {OA}}=b\cos(\Omega t){\vec {\imath }}_{1}+b\,\mathrm {sen} (\Omega t){\vec {\jmath }}_{1}$

con lo que la ecuación de vínculo se puede escribir en la forma

$(x-b\cos(\Omega t))^{2}+(y-b\,\mathrm {sen} (\Omega t))^{2}=\ell ^{2}$

Esta sería la forma geométrica.

Obtenemos la forma cinemática derivando esta respecto al tiempo.

$2(x-b\cos(\Omega t))({\dot {x}}+b\Omega \,\mathrm {sen} (\Omega t))+2(y-b\,\mathrm {sen} (\Omega t))({\dot {y}}-b\Omega \cos(\Omega t))=0$

Simplificando por 2 y agrupando términos queda

${\dot {x}}(x-b\cos(\Omega t))+{\dot {y}}(y-b\,\mathrm {sen} (\Omega t))+b\Omega (x\,\mathrm {sen} (\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0$

La forma pfaffiana se obteien multiplicando la condición cinemática por $\mathrm {d} t$

$\mathrm {d} x(x-b\cos(\Omega t))+\mathrm {d} y(y-b\,\mathrm {sen} (\Omega t))+b\Omega \,\mathrm {d} t(x\,\mathrm {sen} (\Omega t)-y\cos(\Omega t))=0$

Ecuación de movimiento

Siguiendo los cálculos y la notación del problema “Dos barras articuladas” la posición, velocidad y aceleración de A son

${\overrightarrow {OA}}=b{\vec {\imath }}_{2}\qquad \qquad {\vec {v}}_{21}^{A}=b\Omega {\vec {\jmath }}_{2}\qquad \qquad {\vec {a}}_{21}^{A}=-b\Omega ^{2}{\vec {\imath }}_{2}$

Por ser A una articulación entre los sólidos 2 y 3, estos valores corresponden también al movimiento {31}.

Para el punto P tenemos la posición

${\overrightarrow {OP}}=b{\vec {\imath }}_{2}+\ell {\vec {\imath }}_{3}$

la velocidad

${\vec {v}}_{31}^{P}=b\Omega {\vec {\jmath }}_{2}+\ell (\Omega +{\dot {\theta }}){\vec {\jmath }}_{3}$

y la aceleración

${\vec {a}}_{31}^{P}=-b\Omega ^{2}{\vec {\imath }}_{2}+\ell {\ddot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{3}-\ell (\Omega +{\dot {\theta }})^{2}{\vec {\jmath }}_{3}$

La única fuerza que actúa sobre la masa en P es la tensión de la varilla, de manera que la segunda Ley de Newton queda

$m{\vec {a}}_{31}^{P}=-F_{T}{\vec {\imath }}_{3}$

Sustituimos la aceleración de P

$-mb\Omega ^{2}{\vec {\imath }}_{2}+m\ell {\ddot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{3}-m\ell (\Omega +{\dot {\theta }})^{2}{\vec {\jmath }}_{3}=-F_{T}{\vec {\imath }}_{3}$

Para eliminar la tensión de los cálculos proyectamos sobre la dirección ortogonal, que en este caso es la de ${\vec {\jmath }}_{3}$. Queda

$mb\Omega ^{2}\,\mathrm {sen} (\theta )+m\ell {\ddot {\theta }}=0$

o, equivalentemente,

${\ddot {\theta }}=-{\frac {b\Omega ^{2}}{\ell }}\mathrm {sen} (\theta )$

Esta es la ecuación de un péndulo simple. Empleando fuerzas ficticias, diríamos que aquí el papel de la gravedad lo desempeña la fuerza centrífuga. Así es como se llegaría a este mismo resultado empleando un sistema de referencia en rotación.

Puntos de equilibrio

Al ser la ecuación de movimiento equivalente a un péndulo, al análisis del equilibrio es idéntico.

• $\theta =0$ representa un punto de equilibrio estable.
• $\theta =\pi$ representa un punto de equilibrio inestable.

Es decir, el sistema sería estable con la varilla AP completamente extendida y sería inestable con AP plegada sobre OA.