Varilla apoyada en una esquina (CMR)

Enunciado

Dos masas iguales m están unidas por una varilla rígida ideal de longitud b. La varilla reposa sobre un plano horizontal. una de masas (la “B”) puede deslizar sin rozamiento sobre el plano, pero la “A” está montada sobre una cuchilla que la obliga a desplazarse solo en la dirección paralela a la propia varilla

1. ¿Qué vínculos ligan las posiciones y velocidades de las partículas? ¿De qué tipo es cada uno?
2. ¿Hacia dónde van dirigidas las fuerzas de reacción vincular?
3. Escriba el sistema de ecuaciones de movimiento y de vínculos para este sistema empleando como variables las coordenadas cartesianas de la masa A y el ángulo que la varilla forma con el eje OX.
4. ¿Pueden reducirse las ecuaciones a un sistema de ecuaciones de primer orden en el que no aparezcan funciones trigonométricas?

Archivo:Mancuerna-cuchillas.png

Vínculos

Si identificamos la posición de cada partícula en el plano por sus coordenadas cartesianas, los vínculos sobre el sistema son tales que:

• La distancia entre las partículas es constante

$|{\overrightarrow {AB}}|=b\qquad \Rightarrow \qquad (x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}=b^{2}\,$

• La velocidad de la partícula 1 es paralela al vector de posición relativa

${\vec {v}}_{A}\times {\overrightarrow {AB}}={\vec {0}}\qquad \Rightarrow \qquad (x_{B}-x_{A}){\dot {y}}_{A}-(y_{B}-y_{A}){\dot {x}}_{A}=0$

Este vínculo no puede integrarse para dar un vínculo geométrico. No se puede integrar porque aparecen las derivadas de las coordenadas de la partícula 1 multiplicadas por las coordenadas de la partícula 2, que no dependen de la 1. Por ello no se puede escribir como la derivada de una sola función.

Si usamos como coordenadas las indicadas en el enunciado

$x_{A}=x\qquad \qquad y_{A}=y\qquad \qquad x_{B}=x+bC\qquad \qquad y_{B}=y+bS$

(con C y S representando al coseno y el seno de θ), el primer vínculo se vuelve trivial

$b=\mathrm {cte.} \,$

y el segundo se escribe

$-S{\dot {x}}+C{\dot {y}}=0$

Fuerzas de reacción

Asociadas a cada vínculo se producen fuerzas de reacción vincular.

• La partícula 1 se ve sometida a una fuerza por cada vínculo. Para el primero, la fuerza va en la dirección de la varilla.

${\vec {F}}_{T1}=F_{T}(C{\vec {\imath }}+S{\vec {\jmath }})$

Para el segundo, es perpendicular a la dirección de movimiento posible y por tanto, perpendicular a la varilla

${\vec {F}}_{n1}=F_{n}(-S{\vec {\imath }}+C{\vec {\jmath }})$

• Sobre la segunda partícula solo actúa la tensión de la varilla, en sentido opuesto a la que actúa sobre la 1.

${\vec {F}}_{T2}=-F_{T}(C{\vec {\imath }}+S{\vec {\jmath }})$

Ecuaciones de movimiento

Si separamos por componentes, las ecuaciones de movimiento son

${\begin{array}{rcl}m{\ddot {x}}_{1}&=&F_{T}C-F_{n}S\\m{\ddot {y}}_{1}&=&F_{T}S+F_{n}C\\m{\ddot {x}}_{2}&=&-F_{T}C\\m{\ddot {y}}_{2}&=&-F_{T}S\end{array}}$

En términos de las coordenadas sugeridas, derivamos dos veces $x_{2}$ e $y_{2}$

${\begin{array}{rcl}m{\ddot {x}}&=&F_{T}C-F_{n}S\\m{\ddot {y}}&=&F_{T}S+F_{n}C\\m({\ddot {x}}-b{\ddot {\theta }}S-b{\dot {\theta }}^{2}C)&=&-F_{T}C\\m({\ddot {y}}+b{\ddot {\theta }}C-b{\dot {\theta }}^{2}S)&=&-F_{T}S\end{array}}$

Podemos reducir este sistema restando la tercera de la primera y la segunda de la cuarta para obtener

${\begin{array}{rcl}mb({\ddot {\theta }}S+{\dot {\theta }}^{2}C)&=&2F_{T}C-F_{n}S\\mb(-{\ddot {\theta }}C+{\dot {\theta }}^{2}S)&=&2F_{T}S+F_{n}C\end{array}}$

Si ahora multiplicamos la primera por el coseno, la segunda por el seno y sumamos

$mb{\dot {\theta }}^{2}=2F_{T}$

y si multiplicamos la primera por el seno, la segunda por el coseno y restamos

$mb{\ddot {\theta }}=-F_{n}$

Esto nos permite eliminar las fuerzas de reacción vincular

${\begin{array}{rcl}m{\ddot {x}}&=&mb\left({\dfrac {{\dot {\theta }}^{2}C}{2}}+{\ddot {\theta }}S\right)\\m{\ddot {y}}&=&mb\left({\dfrac {{\dot {\theta }}^{2}S}{2}}-{\ddot {\theta }}C\right)\end{array}}$

Tenemos aqui dos ecuaciones con tres variables. Para completar el sistema hay que añadir la ecuación del vínculo no holónomo

$-S{\dot {x}}+C{\dot {y}}=0$

Hay que remarcar que aunque tengamos tres variables, el sistema tiene solo dos grados de libertad.

Ecuaciones de movimiento. Forma alternativa

Estas ecuaciones, o unas equivalentes, pueden obtenerse también empleando dos sistemas de referencia. Definimos un sistema de referencia ligado con origen en A y cuyo eje $OX_{2}$ va en la dirección de la varilla.

Posiciones

Empleando los dos sistemas, la posición de A es

${\overrightarrow {OA}}=x{\vec {\imath }}_{1}+y{\vec {\jmath }}_{1}$

y la de B

${\overrightarrow {AB}}=b{\vec {\imath }}_{2}\qquad \Rightarrow \qquad {\overrightarrow {OB}}=x{\vec {\imath }}_{1}+y{\vec {\jmath }}_{1}+b{\vec {\imath }}_{2}$

Velocidades

La velocidad de A es

${\vec {v}}_{21}^{A}={\dot {x}}{\vec {\imath }}_{1}+{\dot {y}}{\vec {\jmath }}_{1}$

Pero esta velocidad solo puede apuntar en la dirección de la varilla, por lo que debe ser de la forma

${\vec {v}}_{21}^{A}=v{\vec {\imath }}_{2}$

cumpliéndose las relaciones

${\dot {x}}=v\cos(\theta )\qquad \qquad {\dot {y}}=v\,\mathrm {sen} (\theta )$

La velocidad de B cumple

${\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {v}}_{21}^{A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AB}}=v{\vec {\imath }}+\omega b{\vec {\jmath }}_{2}$

siendo $\omega ={\dot {\theta }}$ la velocidad angular con que gira la varilla. Se cumple

Aceleraciones

Derivando la expresión de la velocidad de A obtenemos

${\vec {a}}_{21}^{A}={\dot {v}}{\vec {\imath }}_{2}+v{\frac {\mathrm {d} {\vec {\imath }}_{2}}{\mathrm {d} t}}={\dot {v}}{\vec {\imath }}_{2}+v\omega {\vec {\jmath }}_{2}$

ya que

${\frac {\mathrm {d} {\vec {\imath }}_{2}}{\mathrm {d} t}}={\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {\imath }}_{2}=\omega {\vec {\jmath }}_{2}$

La aceleración de B cumple

${\vec {a}}_{21}^{B}={\vec {a}}_{21}^{A}+\alpha _{21}{\vec {k}}\times {\overrightarrow {AB}}-\omega _{21}^{2}{\overrightarrow {AB}}={\dot {v}}{\vec {\imath }}_{2}+v\omega {\vec {\jmath }}_{2}+{\dot {\omega }}b{\vec {\jmath }}_{2}-\omega ^{2}b{\vec {\imath }}_{2}$

Agrupando términos queda

${\vec {a}}_{21}^{B}=({\dot {v}}-\omega ^{2}b){\vec {\imath }}_{2}+(\omega v+{\dot {\omega }}b){\vec {\jmath }}_{2}$

Ecuaciones de movimiento

La única fuerza que actúa sobre la masa B es la tensión de la varilla, por lo que

$m({\dot {v}}-\omega ^{2}b){\vec {\imath }}_{2}+m(\omega v+{\dot {\omega }}b){\vec {\jmath }}_{2}=-F_{T}{\vec {\imath }}_{2}$

Igualando componente a componete

$m({\dot {v}}-\omega ^{2}b)=-F_{T}\qquad \qquad m(\omega v+{\dot {\omega }}b)=0$

Sobre la masa A actúan la tensión y la fuerza normal a la cuchilla

$m{\dot {v}}{\vec {\imath }}_{2}+mv\omega {\vec {\jmath }}_{2}=F_{T}{\vec {\imath }}_{2}+F_{n}{\vec {\jmath }}_{2}$

Igualando componente a componente

$m{\dot {v}}=F_{T}\qquad \qquad m\omega v=F_{n}$

Si eliminamos la tensión entre la ecuación para A y la ecuación para B llegamos a

$m(2{\dot {v}}-\omega ^{2}b)=0$

que junto con la ecuación

$m(\omega v+{\dot {\omega }}b)=0$

constituyen las ecuaciones de movimiento del sistema.

Sistema de ecuaciones de primer orden

El sistema anterior posee solución analítica, aunque es laboriosa. Una forma más práctica se abordarlo sería mediante una integración numérica. Para ésta, conviene que no aparezcan funciones trigonométricas, que son costosas computacionalmente.

La solución alternativa nos da directamente un sistema de ecuaciones de primer orden, al que también se puede llegar con la primera forma de obtener las ecuaciones de movimiento.

Despejando, tenemos el sistema de ecuaciones

${\begin{array}{rcl}{\dot {v}}&=&{\dfrac {\omega ^{2}b}{2}}\\&&\\{\dot {\omega }}&=&-{\dfrac {\omega v}{b}}\end{array}}$

Este sistema nos permite hallar v y ω, dadas las condiciones iniciales.

Una vez que hemos integrado este sistema, la variación del ángulo de la varilla con el tiempo resulta de integrar

${\dot {\theta }}=\omega$

y, una vez que hayamos calculado θ hallamos x e y integrando las ecuaciones

${\begin{array}{rcl}{\dot {x}}&=&v\cos(\theta )\\{\dot {y}}&=&v\,\mathrm {sen} (\theta )\end{array}}$

Reuniendo todas las ecuaciones queda el sistema

${\begin{array}{rcl}{\dot {v}}&=&{\dfrac {\omega ^{2}b}{2}}\\&&\\{\dot {\omega }}&=&-{\dfrac {\omega v}{b}}\\{\dot {\theta }}&=&\omega \\{\dot {x}}&=&v\cos(\theta )\\{\dot {y}}&=&v\,\mathrm {sen} (\theta )\end{array}}$

Los valores iniciales de estas variables salen de las posiciones y velocidades iniciales de las dos partículas, de las cuales se pueden despejar estas 5 variables.

Podemos eliminar completamente las funciones trigonométricas, añadiendo una variable más. Si consideramos S y C como variables independientes se cumple

${\dot {C}}=-\omega S\qquad \qquad {\dot {S}}=\omega C$

lo que daría el sistema de 6 ecuaciones

${\begin{array}{rcl}{\dot {v}}&=&{\dfrac {\omega ^{2}b}{2}}\\&&\\{\dot {\omega }}&=&-{\dfrac {\omega v}{b}}\\{\dot {x}}&=&vC\\{\dot {y}}&=&vS\\{\dot {C}}&=&-\omega S\\{\dot {S}}&=&\omega C\end{array}}$

que estaría listo para implementarlo en un programa de ordenador.