Dos masas, un plano y un hilo

Enunciado

Se tienen dos masas $m_{1}$ y $m_{2}$ atadas por un hilo ideal, inextensible y sin masa, que pasa por una polea también ideal (de masa despreciable y sin rozamiento). La masa $m_{1}$ se encuentra sobre un plano inclinado un ángulo $\alpha$ y entre ambos puede existir un coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) $\mu$. La masa $m_{2}$ cuelga verticalmente.

1. Considere en primer lugar el caso $\alpha =0$ (mesa horizontal). Si no hay rozamiento, ¿pueden quedarse en equilibrio las masas? ¿Cuál es su aceleración en ese caso? Si el coeficiente de rozamiento no es nulo, ¿cuál es su mínimo valor para que haya equilibrio? Si el rozamiento es menor que este mínimo, ¿cuáles son las aceleraciones de las masas?
2. Suponiendo $\alpha \neq 0$ pero sin rozamiento, determine la aceleración de las masas. ¿Cuál debe ser la relación entre ellas para que el sistema se quede en equilibrio?
3. Si $\mu \neq 0$ ¿Entre qué valores mínimo y máximo debe estar $m_{2}$ para que las masas queden en equilibrio?
4. Sea $m_{1}=5.00\,\mathrm {kg}$, $\mathrm {tg} (\alpha )=0.75$ y $\mu =0.30$. ¿Cuánto vale la aceleración de las masas si (a) $m_{2}=1.50\,\mathrm {kg}$, (b) $m_{2}=3.00\,\mathrm {kg}$ y (c) $m_{2}=4.50\,\mathrm {kg}$.

Caso de una mesa horizontal

Sobre la masa 1 actúan tres fuerzas: su peso, la reacción normal de la mesa y la tensión de la cuerda que tira de ella. Si hubiera rozamiento también deberíamos incluirlo, pero no es el caso. Por tanto tenemos

$m_{1}{\vec {g}}+{\vec {F}}_{n}+{\vec {F}}_{T1}=m_{1}{\vec {a}}_{1}$

Para la segunda masa las únicas fuerzas que actúan son su peso y la tensión que tira de ella hacia arriba

$m_{2}{\vec {g}}+{\vec {F}}_{T2}=m_{2}{\vec {a}}_{a}$

Separando en componentes cada una de estas ecuaciones tenemos, para la primera masa

$F_{T1}=m_{1}a_{1}\qquad \qquad -m_{1}g+F_{n}=0$

ya que su aceleración es puramente horizontal. Para la segunda masa obtenemos una sola ecuación escalar

$-m_{2}g+F_{T2}=m_{2}a_{2}\,$

Por tratarse de un hilo ideal sin masa, el módulo de la tensión en el extremo de la masa 1 es igual al del otro extremo

$F_{T1}=F_{T2}=F_{T}\,$

y por ser inextensible la rapidez y la aceleración horizontal de la masa 1 debe coincidir con la de la masa 2,

$v_{1}=-v_{2}\qquad \qquad a_{1}=-a_{2}$

El signo negativo proviene de que, de acuerdo con el sistema de ejes elegido hemos considerado

${\vec {a}}_{1}=a_{1}{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {a}}_{2}=a_{2}{\vec {k}}$

es decir, ambas dirigidas hacia la polea, por lo que una de ellas debe ser negativa.

Con estas simplificaciones queda el sistema

$m_{1}a_{1}=F_{T}\qquad -m_{2}g+T=-m_{2}a_{1}$

Sumando las dos ecuaciones hallamos las aceleraciones

$a_{1}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}g\qquad \qquad a_{2}=-{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}g$

y, en forma vectorial,

${\vec {a}}_{1}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}g{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {a}}_{2}=-{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}g{\vec {k}}$

En el caso particular $m_{1}=m_{2}=m$

${\vec {a}}_{1}={\frac {g}{2}}{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {a}}_{2}=-{\frac {g}{2}}{\vec {k}}\qquad \qquad (m_{1}=m_{2})$

Asimismo, podemos calcular las diferentes fuerzas de reacción vincular. La reacción de la mesa es opuesta al peso de la masa situada sobre ella

$-m_{1}g+F_{n}=0\qquad \Rightarrow \quad {\vec {F}}_{n}=m_{1}g{\vec {k}}$

mientras que las tensiones en los extremos de la cuerda valen, en el primer caso

${\vec {F}}_{T1}=m_{1}a_{1}{\vec {\imath }}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}g{\vec {\imath }}$

y en el segundo

${\vec {F}}_{T2}=m_{2}{\vec {a}}_{2}-m_{2}{\vec {g}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}g{\vec {k}}$

Estas dos fuerzas son iguales en módulo, pero no en dirección y sentido, es decir, no se trata de fuerzas opuestas.

Diagramas de cuerpo libre

Analizamos este problema dibujando los diagramas de cuerpo libre de cada una de las masas por separado.

Para la masa 1 (la situada en el plano) actúan las siguientes fuerzas:

• Su peso
• La reacción normal del plano
• La tensión de la cuerda
• La fuerza de rozamiento

de forma que su ecuación de movimiento es

$m_{1}{\vec {g}}+{\vec {F}}_{n1}+{\vec {F}}_{T1}+{\vec {F}}_{r1}=m_{1}{\vec {a}}_{1}$     

Sobre la masa 2, la colgante, solo actúan dos fuerzas

• Su peso
• La tensión de la cuerda

lo que nos da

$m_{2}{\vec {g}}+{\vec {F}}_{T2}=m_{2}{\vec {a}}_{2}$

Por ser la cuerda que una las dos masas inextensible y sin masa, y por ser también ideal la polea (sin masa y sin rozamiento), se cumple en todo instante que

$|{\vec {T}}_{1}|=|{\vec {T}}_{2}|\qquad \qquad |{\vec {a}}_{1}|=|{\vec {a}}_{2}|$

La igualdad es entre módulos y no entre vectores, ya que aunque la tensión tenga la misma magnitud, su dirección es diferente para cada masa.

Equilibrio sin rozamiento

Consideramos en primer lugar una situación sin rozamiento en la que las masas están perfectamente equilibradas y su aceleración es nula. Esto nos deja con las ecuaciones de equilibrio

$m_{1}{\vec {g}}+{\vec {F}}_{n1}+{\vec {F}}_{T1}={\vec {0}}\qquad m_{2}{\vec {g}}+{\vec {F}}_{T2}={\vec {0}}$

Las dos fuerzas que actúan sobre la masa 2 son verticales. Para que se anulen deben ser iguales y opuestas. Esto nos da el valor de la tensión

$-m_{2}g+F_{T}=0\qquad \Rightarrow \qquad F_{T}=m_{2}g$

Para analizar el estado de la masa 1 consideramos un sistema de ejes en el que el eje X es paralelo al plano hacia arriba, y el eje Z es perpendicular al plano. Obsérvese que no necesitamos usar el mismo sistema de ejes para las dos masas. En este sistema

$m_{1}{\vec {g}}=-m_{1}g\,\mathrm {sen} (\alpha ){\vec {\imath }}-m_{1}g\cos(\alpha ){\vec {k}}$    ${\vec {F}}_{n1}=F_{n}{\vec {k}}$    ${\vec {F}}_{T1}=F_{T}{\vec {\imath }}=m_{2}g{\vec {\imath }}$

Sustituyendo e igualando a 0 cada componente nos quedan las ecuaciones

$-m_{1}g\,\mathrm {sen} (\alpha )+m_{2}g=0\qquad \qquad -m_{1}g\cos(\alpha )+F_{n}=0$

lo que nos da la relación buscada

${\frac {m_{2}}{m_{1}}}=\mathrm {sen} (\alpha )$

También hallamos el valor de la fuerza normal

$F_{n}=m_{1}g\cos(\alpha )\,$

Como caso particular tenemos que si el plano fuera horizontal sería imposible retener las masas. Para que se queden en reposo hace falta rozamiento.

Equilibrio con rozamiento

Cuando tenemos en cuenta la fuerza de rozamiento, la ecuación para la masa 1 debe incluir la fuerza correspondiente, que será tangente a la superficie de contacto

${\vec {F}}_{r1}=F_{r}{\vec {\imath }}$

En la situación de equilibrio (aceleraciones nulas), quedan las ecuaciones

$-m_{1}g\,\mathrm {sen} (\alpha )+m_{2}g+F_{r}=0\qquad \qquad -m_{1}g\cos(\alpha )+F_{n}=0$

El valor de la fuerza de rozamiento no está determinado en principio. Solo sabemos que, en una situación de rozamiento estático

$|F_{r}|\leq \mu |F_{n}|=\mu m_{1}g\cos(\alpha )\,$

Para hallar las valores máximo y mínimo de la masa 2, debemos considerar las dos posibilidades de deslizamiento inminente:

• Que la masa 2 sea tan ligera que no sea capaz de impedir que la masa 1 descienda por el plano.
• Que sea tan pesada, que sea capaz de arrastrar a la masa 1 hacia arriba del plano.

En ambos casos las fuerza de rozamiento tiene su valor límite:

$|F_{r}|=\mu m_{1}g\cos(\alpha )\,$

pero su sentido puede tener un sentido o el opuesto según el caso. Esto nos lleva a la ecuación de equilibrio

$-m_{1}g\,\mathrm {sen} (\alpha )+m_{2}g\pm \mu m_{1}g\cos(\alpha )=0$

lo que nos da las relaciones

${\frac {m_{2}}{m_{1}}}=\mathrm {sen} (\alpha )\pm \mu \cos(\alpha )$

siendo los valores máximo y mínimo

$m_{2\mathrm {min} }=m_{1}(\mathrm {sen} (\alpha )-\mu \cos(\alpha ))\qquad \qquad m_{2\mathrm {max} }=m_{1}(\mathrm {sen} (\alpha )+\mu \cos(\alpha ))$

Al calcular la masa mínima según esta fórmula podría resultar un valor negativo si $\mu >\mathrm {tg} (\alpha )$, lo que sería absurdo. Lo que significa esto es que no hace falta masa 2 para que la masa 1 se quede en equilibrio, ya que el rozamiento estático se basta para retener a $m_{1}$. Una forma más rigurosa de escribir la masa 2 mínima sería

$m_{2\mathrm {min} }={\begin{cases}0&\mu >\mathrm {tg} (\alpha )\\m_{1}(\mathrm {sen} (\alpha )-\mu \cos(\alpha ))&\mu <\mathrm {tg} (\alpha )\end{cases}}$

Movimiento acelerado

Cuando la masa 2 escapa de los límites anteriores, el rozamiento no es capaz de contener al sistema y las masas comienzan a moverse aceleradamente. Tenemos dos posibilidades, que la masa 2 sea demasiado ligera o demasiado pesada. En un caso las masas se acelerarán en un sentido y en el otro lo harán en el opuesto. Lo que cambia en cuanto a las fuerzas del sistema es el diferente sentido de la fuerza de rozamiento.

Masa 2 pesada

Si la masa 2 es muy pesada desciende verticalmente arrastrando en su movimiento a la masa 1, que asciende por el plano.

La aceleración de la masa 2 tendrá por módulo $a$ (que debemos calcular) y será vertical y hacia abajo. Eligiendo un sistema de ejes en el que el eje Z es el vertical hacia arriba, nos queda

$m_{2}{\vec {g}}=-mg{\vec {k}}\qquad {\vec {F}}_{T2}=F_{T}{\vec {k}}\qquad m_{2}{\vec {a}}_{2}=-m_{2}a{\vec {k}}$

lo que nos da la ecuación de movimiento para esta masa

$m_{2}{\vec {g}}+{\vec {F}}_{T2}=m_{2}{\vec {a}}_{2}\qquad \Rightarrow \qquad -m_{2}g+F_{T}=-m_{2}a\,$

Nótese que ya la tensión de la cuerda no es igual al peso de $m_{2}$.

Para la masa 1 elegimos los mismos ejes que en el caso estático (obsérvese que no tenemos obligación de elegir los mismos ejes para la masa 1 y para la masa 2, pues las tratamos por separado). La aceleración de esta masa será tangente al plano y hacia arriba

${\vec {a}}_{1}=a{\vec {\imath }}$

La fuerza de rozamiento en este caso es una de rozamiento dinámico, que irá en la dirección tangente al plano y hacia abajo del plano

${\vec {F}}_{r}=-\mu F_{n}{\vec {\imath }}$

lo que nos da las ecuaciones de movimiento

$-m_{1}g\,\mathrm {sen} (\alpha )+F_{T}-\mu F_{n}=m_{1}a\qquad \qquad -m_{1}g\cos(\alpha )+F_{n}=0$

Despejando y sustituyendo la tensión de la ecuación para $m_{2}$ y la fuerza normal

$-m_{1}g\,\mathrm {sen} (\alpha )+m_{2}g-m_{2}a-\mu m_{1}g\cos(\alpha )=m_{1}a$

lo que nos da la aceleración

$a={\frac {-m_{1}(\mathrm {sen} (\alpha )+\mu \cos(\alpha ))+m_{2}g}{m_{1}+m_{2}}}g$

Masa 2 ligera

Suponemos ahora que la masa $m_{2}$ mínima para que haya equilibrio no es nula (si no, no hay más hablar) y que el valor de $m_{2}$ es inferior a él. En ese caso, la masa 1 desciende por el plano arrastrando a la 2, que sube verticalmente.

El análisis es similar al anterior solo que en este caso las aceleraciones y la fuerza de rozamiento cambian de sentido,

${\vec {a}}_{2}=a{\vec {k}}\qquad {\vec {a}}_{1}=-a{\vec {\imath }}\qquad {\vec {F}}_{r}=\mu F_{n}{\vec {\imath }}$

lo que nos da las ecuaciones de movimiento

$-m_{2}g+T=m_{2}a\qquad \qquad -m_{1}g\,\mathrm {sen} (\alpha )+F_{T}+\mu F_{n}=-m_{1}a\qquad \qquad -m_{1}g\cos(\alpha )+F_{n}=0$

Resolviendo llegamos a la aceleración

$a={\frac {m_{1}(\mathrm {sen} (\alpha )-\mu \cos(\alpha ))-m_{2}g}{m_{1}+m_{2}}}g$

En el caso de que no haya rozamiento, esta ecuación y la del apartado anterior predicen la misma aceleración

Casos prácticos

Calculamos en primer lugar los valores máximos y mínimos de $m_{2}$ para que haya equilibrio

Valor máximo

$m_{2\mathrm {max} }=m_{1}\left(\mathrm {sen} (\alpha )+\mu \cos(\alpha )\right)=5.00(0.60+0.30\cdot 0.80)\,\mathrm {kg} =4.20\,\mathrm {kg}$

Valor mínimo

$m_{2\mathrm {min} }=m_{1}\left(\mathrm {sen} (\alpha )-\mu \cos(\alpha )\right)=5.00(0.60+0.30\cdot 0.80)\,\mathrm {kg} =1.80\,\mathrm {kg}$

Tenemos entonces los tres casos:

Caso (a)

Si $m_{2}=1.50\,\mathrm {kg}$ la masa está por debajo del valor mínimo para permanecer en equilibrio. Las dos masas se aceleran, ascendiendo la masa 2. La aceleración con que lo hace es

$a={\frac {m_{1}(\mathrm {sen} (\alpha )-\mu \cos(\alpha ))-m_{2}g}{m_{1}+m_{2}}}g=0.452\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Caso (b)

Si $m_{2}=3.50\,\mathrm {kg}$, se encuentra comprendida entre los dos valores que permiten equilibrio. En este caso, la aceleración de las dos masas es nula

$a=0\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

Caso (c)

Si $m_{2}=4.50\,\mathrm {kg}$ supera el valor máximo para permanecer en equilibrio. Las dos masas se aceleran, descendiendo la masa 2. La aceleración con que lo hace es

$a={\frac {m2g-m_{1}(\mathrm {sen} (\alpha )+\mu \cos(\alpha ))}{m_{1}+m_{2}}}g=0.310\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$