Enunciado

El sistema de la figura consta de dos barra articuladas. La longitud de las dos barras es . La masa de la barra "2" es , mientras que la de la masa "0" es despreciable. Las barras se articulan entre sí en el punto . El extremo de la barra "0" se conecta con un pasador, de modo que desliza sobre el eje fijo . La barra "2" está articulada sobre el eje en el punto fijo . Un muelle de constante elástica y longitud natural nula conecta los centros de las barras.


  1. Determina gráfica y analíticamente la posición de los CIR de los tres movimientos que se pueden definir en el sistema.
  2. ¿Cuántos grados de libertad tiene el problema?. Encuentra reducciones cinemáticas de los movimientos , y . Las reducciones deben expresarse en función de los grados de libertad.
  3. Calcula la energía cinética y potencial del sistema.
  4. Determina la posición de equilibrio.
  5. Se aplica un par sobre la barra "2". Dibuja el diagrama de fuerzas y pares que actúan sobre cada barra.
  6. Calcula la cantidad de movimiento de cada barra.
  7. Calcula y .
  8. Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. encuentra las ecuaciones que describen el sistema.
  9. Escribe la función de Lagrange y las ecuaciones de Lagrange del sistema.

Solución

Posiciones de los C.I.R.s

Las barras están articuladas en el punto . Por tanto

La barra "2" esta articulada en el punto fijo . Entonces

El punto desliza sobre el eje fijo . Entonces . El C.I.R. debe estar en la recta perpendicular a esta velocidad trazada en . Por otro lado, el Teorema de los Tres Centros nos dice que ese C.I.R. también debe encontrarse en la recta que une y . El punto de corte nos da la posición de . Los vectores de posición de estos puntos son

Cinemática

Observando el dibujo tenemos

Para la barra "2" tenemos

Ahora aplicamos el vínculo en el punto de articulación de las barras: . Usando las leyes de composición de velocidades

Para que esa velocidad se anula debe cumplirse

Otra forma de obtener esta expresión es darse cuenta de que

Derivando respecto al tiempo esta expresión se obtiene el resultado anterior.

Así pues, el sistema tiene un grado de libertad. Elegimos la coordenada para trabajar. Las reducciones cinemáticas quedan

Energía cinética y potencial

La masa de la barra "0" es despreciable. Por tanto, no contribuye ni a la energía cinética ni a la energía potencial del sistema.

La barra "2" tiene un punto fijo. Entonces su energía cinética puede expresarse

Su energía potencial gravitatoria es

La energía potencial elástica del muelle es

Entonces, la energía potencial total es

Posición de equilibrio

Como no hay fuerzas aplicadas no conservativas, la condición de equilibrio es

Tenemos dos posibles soluciones

La última posición sólo puede observarse si , pues el seno debe ser siempre menor que 1.

Aunque no se pide en el enunciado, vamos a analizar la estabilidad de estas posiciones de equilibrio. Para ello calculamos la derivada segunda del potencial

Ahora evaluamos la segunda derivada en las posiciones de equilibrio

La gráfica representa la función en función del ángulo. Vemos que cuando la función tiene dos mínimos y un máximo. Los mínimos son las soluciones estables () y el máximo la inestable (). Cuando sólo hay un mínimo (). En el caso la curva es plana en correspondiendo a la situación de equilibrio indiferente.

Diagrama de fuerzas con par aplicado

La figura de la derecha muestra las fuerzas y pares que actúan sobre cada sólido. Sus expresiones en la base "1" son

Sólido 2

Sólido 0

Las incógnitas del problema son: . Son 6, por lo que el problema puede resolverse aplicando los teoremas fundamentales.

Cantidad de movimiento y momentos angulares

La barra "0" no tiene ni cantidad de movimiento ni momento angular, pues no tiene masa. Para la barra "2" la cantidad de movimiento es

Para calcular el momento angular pedido aprovechamos que es un punto fijo

Ecuaciones aplicando los teoremas fundamentales

T.C.M.

Sólido 2 Tenemos

La derivada temporal es

Obtenemos así dos ecuaciones

Sólido 0 En este caso la derivada temporal se anula pues la cantidad de movimiento es cero

Obtenemos así dos ecuaciones

T.M.C.

Sólido 2 Como el punto es fijo, aplicamos el T.M.C. en él

El peso y la fuerza elástica están aplicados en el mismo punto y el par externo está aplicado en el sólido "2".

La derivada temporal es

Haciendo los productos vectoriales (sabiendo que obtenemos otra ecuación

Sólido 0 De nuevo, la derivada temporal es nula porque el momento angular es nulo. Aplicando el T.M.C. en el centro de masas tenemos

Haciendo los productos vectoriales obtenemos la última ecuación

Ecuaciones de Lagrange

La función de Lagrange es

Hay sólo una ecuación de Lagrange, pues hay sólo un grado de libertad. Hay que tener en cuenta que hay un par aplicado que no está incluido en la Lagrangiana. Por tanto, la ecuación es

Calculamos los diferentes términos

Finalmente, la ecuación de Lagrange es