Distancias a una recta y un plano (GIOI)

De Laplace

Revisión a fecha de 23:39 13 oct 2021; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Distancia al plano
3 Distancia a la recta
4 Suma de cuadrados

1 Enunciado

Calcule la distancia $d 1$ que separa al punto P(1.00,2.50,2.08) (m) del plano que pasa por el punto A(0.31,0.10,0.00) (m) y es perpendicular al vector $\vec{n}=12\vec{\imath}+20\vec{\jmath}+9\vec{k}$ . Halle la distancia $d 2$ del mismo punto P a la recta que pasa por A y lleva la dirección de $\vec{n}$ . ¿Se cumple que $d_1^2+d_2^2=\left|\overrightarrow{AP}\right|^2$ ?

2 Distancia al plano

En lo que sigue, todas las distancias están en metros.

La distancia de un punto a un plano que pasa por A y es perpendicular a $\vec{n}$ la da la fórmula

$d_1=\frac{\overrightarrow{AP}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}$

En este caso tenemos

$\overrightarrow{AP}=(1.00-0.31)\vec{\imath}+(2.50-0.10)\vec{\jmath}+(2.08-0.00)\vec{k}=0.69\vec{\imath}+2.40\vec{\jmath}+2.08\vec{k}$

y

$\vec{n}=12\vec{\imath}+20\vec{\jmath}+9\vec{k}\qquad \qquad |\vec{n}|=\sqrt{12^2+20^2+9^2}=25$

lo que nos da la distancia

$d_1=\frac{12\cdot 0.69+20\cdot 2.40+9\cdot 2.08}{25}=\frac{75}{25}=3$

3 Distancia a la recta

La distancia del mismo punto a la recta que pasa por A y lleva la dirección de $\vec{n}$ la da la fórmula

$d_2=\frac{|\overrightarrow\times\vec{n}|}{|\vec{n}|}$

En este caso

No se pudo entender (error de sintaxis): \overrightarrow{AP}\times \vec{n}=\left\begin{matrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\ 0.69&2.40&2.08\\12&20&9\end{matrix}\right|=-20\vec{\imath}+18.75\vec{\jmath}-15\vec{k}

siendo el módulo

$|\overrightarrow\times\vec{n}|=\sqrt{20^2+18.75^2+15^2}=31.25$

y la distancia

$d_2=\frac{31.25}{25}=1.25$

4 Suma de cuadrados

La distancia AP cumple

$d=|\overrightarrow{AP}|=3.25$

Por otro lado se tiene

$d_1^2+d_2^2=3^2+1.25^2 = 10.5625 = 3.25^2 = d^2$

La razón de que aquí se cumple el teorema de Pitágoras es fácil de ver. Por un lado se tiene que

$d_1= \frac{\overrightarrow{AP}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}= \frac{|\overrightarrow{AP}||\vec{n}|\cos(\alpha)}{|\vec{n}|}=|\overrightarrow{AP}|\cos(\alpha)$

u, por otro,

$d_2= \frac{|\overrightarrow{AP}\times\vec{n}|}{|\vec{n}|}= \frac{|\overrightarrow{AP}||\vec{n}|\,\mathrm{sen}(\alpha)}{|\vec{n}|}=|\overrightarrow{AP}|\,\mathrm{sen}(\alpha)$

Por tanto

$d_1^2+d_2^2= |\overrightarrow{AP}|^2(\cos^2(\alpha)+\mathrm{sen}^2(\alpha))=|\overrightarrow{AP}|^2 = d^2$

Las distancias a la recta y a l plano son los dos catetos de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es el lado AP.

Distancias a una recta y un plano (GIOI)

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3 Distancia a la recta

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