Enunciado

Una plataforma horizontal circular (sólido "0") rota con velocidad angular de módulo constante (y sentido indicado en la figura) alrededor del eje vertical del triedro fijo (sólido "1"). Al mismo tiempo, un disco de radio (sólido "2") se mueve respecto a la plataforma "0" rotando con velocidad angular de módulo constante (y sentido indicado en la figura) alrededor del eje . Se pide:

  1. Aceleración angular
  2. Velocidad instantánea
  3. Aceleración instantánea

Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

Tanto el movimiento de arrastre {01} como el movimiento relativo {20} son rotaciones puras alrededor de sendos ejes fijos (ejes permanentes de rotación). En concreto, el EPR{01} es el eje , y el EPR{20} es el eje . Para caracterizar estos dos movimientos elementales, vamos a determinar sus reducciones cinemáticas en el punto donde se cortan sus respectivos ejes de rotación (punto ).

Las velocidades de arrastre y relativa son nulas por ser el punto un punto fijo en ambos movimientos. Y los vectores velocidad angular y se deducen del enunciado (sus direcciones son las de los correspondientes ejes de rotación, sus módulos son las constantes especificadas, y sus sentidos son los indicados en la figura). Así pues, las reducciones cinemáticas de los movimientos {01} y {20} en el punto son:

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también las aceleraciones angulares y las aceleraciones del punto en los movimientos de arrastre y relativo:

Aceleración angular {21}

Determinamos aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:

Velocidad instantánea {21} del punto A

Para determinar la velocidad absoluta , calculamos primero las velocidades relativa y de arrastre utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:

y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades:

Aceleración instantánea {21} del punto B

Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración absoluta se calcula así:

Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración relativa (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):

la aceleración de arrastre (la cual es nula por pertenecer el punto al EPR{01}, es decir, por ser un punto fijo en el movimiento {01}):

y el término de Coriolis (mediante su fórmula):

Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración absoluta :

Procedimiento alternativo

Podemos utilizar un procedimiento alternativo, el cual consiste en determinar primero la velocidad angular y la aceleración angular del movimiento {21}, así como la velocidad y la aceleración de un punto arbitrario en el movimiento {21}, y -a partir de estas cuatro magnitudes- calcular posteriormente las otras magnitudes {21} que se nos piden. La única ley de composición que utilizaremos con este procedimiento es la de velocidades angulares.

Al ser los movimientos {01} y {20} rotaciones concurrentes (el EPR{01} y el EPR{20} se cortan en el punto ), sabemos que su composición (el movimiento {21}) es otra rotación cuyo eje también pasa por el punto de concurrencia. Quiere esto decir que el punto pertenece permanentemente al EIR{21} y, por tanto, es un punto fijo en el movimiento {21}. Así que ya tenemos la velocidad y la aceleración de un punto en el movimiento {21} para todo instante de tiempo:

Por otra parte, podemos calcular la velocidad angular del movimiento {21} mediante la correspondiente ley de composición:

y, derivándola respecto al tiempo (con ayuda de la fórmula de Poisson), obtenemos la aceleración angular del movimiento {21}:

Y, por último, determinamos y utilizando, respectivamente, las ecuaciones del campo de velocidades y del campo de aceleraciones del movimiento {21}: