No Boletín - Varilla cuyos dos extremos deslizan (Ex.Dic/12)

Enunciado

La varilla $AB\,$ (sólido "2"), de longitud $L\,$, realiza un movimiento plano respecto a la escuadra fija $OXY\,$ (sólido "1"). Los extremos de dicha varilla se encuentran articulados a sendos deslizadores, de tal modo que $A\,$ está obligado a moverse a lo largo del eje $OX\,$, mientras que $B\,$ está obligado a moverse a lo largo del eje $OY\,$.

1. ¿Dónde está el C.I.R.{21} cuando la posición de la varilla es la representada en la figura?
2. Para la ley horaria $\theta =\Omega \,t\,$ (siendo $\Omega \,$ constante), ¿son nulas la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,\,O}\,$ y/o la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,O}\,$?

Determinación gráfica del C.I.R.{21}

Conocemos la dirección de las velocidades ${\vec {v}}_{21}^{\,A}\,$ y ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\,$ porque sabemos que los extremos de la varilla están obligados a moverse a lo largo de los ejes cartesianos:

${\vec {v}}_{21}^{\,A}\parallel {\overline {OX}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,B}\parallel {\overline {OY}}$

Trazamos la perpendicular a ${\vec {v}}_{21}^{\,A}\,$ que pasa por $A\,$, y la perpendicular a ${\vec {v}}_{21}^{\,B}\,$ que pasa por $B\,$. El C.I.R.{21} (punto $I_{21}\,$) se halla en la intersección de las dos rectas que acabamos de trazar.

Determinación analítica del C.I.R.{21}

Al ser $\theta \,$ el ángulo formado por la varilla (sólido "2") y el eje $OY\,$ (sólido "1"), la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}\,$ es igual a ${\dot {\theta }}\,{\vec {k}}\,$ (con signo positivo porque a ${\dot {\theta }}>0\,$ correspondería una rotación antihoraria de "2" respecto a "1"):

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}$

Por otra parte, el vector de posición del extremo $A\,$ de la varilla se puede expresar en función de $\theta \,$:

${\vec {r}}_{21}^{\,A}=L\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}$

Derivando respecto al tiempo (con ayuda de la regla de la cadena), obtenemos la velocidad de $A\,$:

${\vec {v}}_{21}^{\,A}=\left.{\frac {d{\vec {r}}_{21}^{\,A}}{dt}}\right|_{1}=\left.{\frac {d{\vec {r}}_{21}^{\,A}}{d\theta }}\right|_{1}\,{\dot {\theta }}=L\,{\dot {\theta }}\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}$

Para determinar analíticamente el vector de posición de $I_{21}\,$, sumamos al vector ${\overrightarrow {OA}}\,$ el vector ${\overrightarrow {AI_{21}}}\,$ calculado mediante la fórmula deducida en la teoría:

${\overrightarrow {OI_{21}}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AI_{21}}}={\overrightarrow {OA}}+{\frac {{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{21}^{\,A}}{|\,{\vec {\omega }}_{21}|^{2}}}=L\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}+L\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}$

Velocidad del punto O

Sin necesidad de hacer ningún cálculo, podemos afirmar que la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ no es nula (esto es lo que pregunta el enunciado), ya que en un movimiento plano el ÚNICO punto del plano director que tiene velocidad nula es el C.I.R., y el C.I.R.{21} ya ha sido localizado anteriormente y sabemos que no coincide con el punto $O\,$. Podemos calcular, no obstante, la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ a partir de la velocidad (ya conocida) del punto $A\,$ utilizando la ecuación del campo de velocidades:

${\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {v}}_{21}^{\,A}\,+\,{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AO}}=L\,{\dot {\theta }}\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}\,+\,{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}\times [-L\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}\,\,]=L\,{\dot {\theta }}\,[\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}\,-\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}\,\,]=\Omega \,L\,[\mathrm {cos} (\Omega \,t)\,{\vec {\imath }}\,-\,\mathrm {sen} (\Omega \,t)\,{\vec {\jmath }}\,\,]$

donde en el último paso se ha sutituido ${\dot {\theta }}\,$ por $\Omega \,$ en virtud de la ley horaria $\theta =\Omega \,t\,$.

Aceleración del punto O

Para poder saber si la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,O}\,$ es o no nula, vamos a tener que determinarla.

Para ello, calculamos primero la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,A}\,$ derivando respecto al tiempo la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,A}\,$:

${\vec {a}}_{21}^{\,A}=\left.{\frac {d{\vec {v}}_{21}^{\,A}}{dt}}\right|_{1}=\left.{\frac {d\,[\Omega L\,\mathrm {cos} (\Omega \,t)\,{\vec {\imath }}\,\,]}{dt}}\right|_{1}=-\Omega ^{2}L\,\mathrm {sen} (\Omega \,t)\,{\vec {\imath }}$

y la aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}\,$ derivando respecto al tiempo la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}\,$:

${\vec {\alpha }}_{21}=\left.{\frac {d{\vec {\omega }}_{21}}{dt}}\right|_{1}=\left.{\frac {d\,[\Omega \,{\vec {k}}\,\,]}{dt}}\right|_{1}={\vec {0}}$

Y, a continuación, aplicamos la ecuación del campo de aceleraciones:

${\vec {a}}_{21}^{\,O}={\vec {a}}_{21}^{\,A}\,+\,\underbrace {{\vec {\alpha }}_{21}} _{={\vec {0}}}\times {\overrightarrow {AO}}\,+\,{\vec {\omega }}_{21}\times ({\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AO}})=-\Omega ^{2}L\,\mathrm {sen} (\Omega \,t)\,{\vec {\imath }}\,+\,\Omega \,{\vec {k}}\times [\,-\Omega \,L\,\mathrm {sen} (\Omega \,t)\,{\vec {\jmath }}\,\,]=-\Omega ^{2}L\,\mathrm {sen} (\Omega \,t)\,{\vec {\imath }}\,+\,\Omega ^{2}L\,\mathrm {sen} (\Omega \,t)\,{\vec {\imath }}={\vec {0}}$

Concluimos, pues, que la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,O}\,$ es nula.

Conviene señalar que habría sido un error tratar de calcular la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,O}\,$ derivando respecto al tiempo la expresión obtenida anteriormente para la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$. Pero... ¿por qué el procedimiento utilizado para calcular la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,A}\,$ no es trasladable al cálculo de la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,O}\,$? La razón es que, mientras que la expresión que tenemos de ${\vec {v}}_{21}^{\,A}\,$ es realmente la velocidad de un punto del sólido "2" (el extremo $A\,$ de la varilla) a lo largo del tiempo, la expresión que tenemos de ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ no es la velocidad de un único punto del sólido "2", sino la velocidad de muchos puntos. Porque por el origen de coordenadas van pasando distintos puntos del sólido "2" a lo largo del tiempo. Dicho de otro modo: nuestra expresión de ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ está asociada a una posición fija (el origen de coordenadas), nos da en cada instante la velocidad del punto de "2" que en ese instante se halla allí. Pero no es la velocidad de un único punto de "2" a lo largo de su "vida" (como sí lo es nuestra expresión de ${\vec {v}}_{21}^{\,A}\,$).