No Boletín - Guía ranurada horizontal y manivela (Ex.Sep/15)

Enunciado

El plano fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1") de la figura contiene en todo instante a dos sólidos en movimiento: una guía horizontal ranurada (sólido "0"), que se traslada verticalmente hacia abajo con celeridad constante $v_{0}\,$; y la manivela $OC\,$ (sólido "2") de longitud $L\,$, que rota alrededor del eje fijo $OZ_{1}\,$. Los movimientos de los sólidos "2" y "0" se hallan vinculados entre sí porque el extremo $C\,$ de la manivela está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la guía.

Utilizando el ángulo $\theta \,$ definido en la figura como parámetro auxiliar descriptivo de la posición del sistema, se pide:

1. Determinación gráfica (razonada) de las posiciones de los centros instantáneos de rotación $I_{01}\,$, $I_{21}\,$ e $I_{20}.\,$
2. Reducciones cinemáticas de los movimientos $\{01\}\,$, $\{20\}\,$ y $\{21\}\,$ en el punto $C.\,$
3. Determinación de la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{\,O}\,$, las aceleraciones ${\vec {a}}_{20}^{\,O}\,$ y ${\vec {a}}_{21}^{\,C}\,$, y la aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}.\,$

Aviso: Las magnitudes pedidas deben quedar expresadas en función de $\,\theta \,$, $L\,\,$ y/o $\,v_{0}\,$, pero NO en función de $\,{\dot {\theta }}\,\,$ ni de $\,{\ddot {\theta }}.\,$

Determinación gráfica de los tres centros instantáneos de rotación

La manivela $OC\,$ (sólido "2") se halla articulada en su extremo $O\,$ al origen de la escuadra fija $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). Por tanto, dicho punto $O\,$ es un punto fijo (centro permanente de rotación) en el movimiento $\{21\}\,$:

$I_{21}\equiv O$

La guía horizontal ranurada (sólido "0") se traslada verticalmente respecto a la escuadra fija $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). En consecuencia, el centro instantáneo de rotación del movimiento $\{01\}\,$ se halla en el infinito en la dirección horizontal (perpendicular a la dirección de traslación):

$I_{01}\rightarrow \infty \parallel OX_{1}\perp {\vec {v}}_{01}^{\,\mathrm {tras} }$

Dado que el extremo $C\,$ de la manivela (sólido "2") está obligado a deslizar a lo largo de la ranura de la guía horizontal (sólido "0"), la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$ tiene necesariamente dirección paralela al eje $OX_{1}\,$. Pues bien, tal como puede verse en la figura adjunta, el centro instantáneo de rotación $I_{20}\,$ se halla en el punto donde se cortan la recta perpendicular a ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$ que pasa por $C\,$ y la recta que pasa por $I_{21}\,$ e $I_{01}\,$ (esta última coincide con el eje $OX_{1}\,$ y se debe al teorema de los tres centros).

Determinación de las tres reducciones cinemáticas en el punto C

La reducción cinemática del movimiento $\{01\}\,$ se deduce directamente del enunciado. Al ser $\{01\}\,$ una traslación, la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{01}\,$ es nula, y la velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,C}\,$ es la velocidad de dicha traslación:

${\vec {\omega }}_{01}={\vec {0}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{01}^{\,C}={\vec {v}}_{01}^{\,\mathrm {tras} }=-v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}$

De la reducción cinemática del movimiento $\{20\}\,$, sabemos a priori la dirección de la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{20}\,$ (perpendicular al plano director $OX_{1}Y_{1}\,$, como corresponde a un movimiento plano de rotación) y la dirección de la velocidad ${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$ (horizontal como la guía, ya que el extremo $C\,$ de la manivela se encuentra confinado en la ranura de la guía):

${\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}}_{1}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,C}=v_{20}^{C}\,{\vec {\imath }}_{1}$

En cuanto a la reducción cinemática del movimiento $\{21\}\,$, también conocemos a priori la dirección de la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}\,$ (perpendicular al plano director $OX_{1}Y_{1}\,$), y podemos relacionar la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,C}\,$ con ${\vec {\omega }}_{21}\,$ utilizando la ecuación del campo de velocidades $\{21\}\,$ y teniendo en cuenta que $I_{21}\equiv O\,$ (por tanto, ${\vec {v}}_{21}^{\,O}\,$ es nula):

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {k}}_{1}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,C}=\underbrace {{\vec {v}}_{21}^{\,O}} _{=\,{\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{21}\,\times \,{\overrightarrow {OC}}=\omega _{21}\,{\vec {k}}_{1}\,\times \,L\,[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}\,+\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}\,]=\omega _{21}L\,[-\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}\,+\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}\,]$

donde ${\overrightarrow {OC}}=L\,[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}\,]\,$ se deduce por inspección de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo $OI_{20}C.\,$

Planteadas las tres reducciones cinemáticas en $C\,$, se exige el cumplimiento de la ley de composición de velocidades angulares y de la ley de composición de velocidades, obteniéndose un sistema de tres ecuaciones para tres incógnitas:

$\left.{\begin{array}{lcr}{\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}&\longrightarrow &\omega _{21}=\omega _{20}\,\,\,\\\\{\vec {v}}_{21}^{\,C}={\vec {v}}_{20}^{\,C}+{\vec {v}}_{01}^{\,C}&\longrightarrow &\left|{\begin{array}{r}-\omega _{21}L\,\mathrm {sen} (\theta )=v_{20}^{C}\\\\\omega _{21}L\,\mathrm {cos} (\theta )=-v_{0}\end{array}}\right.\end{array}}\right\}$

cuya solución es:

$\omega _{21}=\omega _{20}=-{\frac {v_{0}}{L\,\mathrm {cos} (\theta )}}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,v_{20}^{C}=v_{0}\,\mathrm {tg} (\theta )$

Y sustituyendo en las expresiones de las reducciones cinemáticas de los movimientos $\{20\}\,$ y $\{21\}\,$, se obtiene:

${\vec {\omega }}_{20}=-\displaystyle {\frac {v_{0}}{L\,\mathrm {cos} (\theta )}}\,{\vec {k}}_{1}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,C}=v_{0}\,\mathrm {tg} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {\omega }}_{21}=-\displaystyle {\frac {v_{0}}{L\,\mathrm {cos} (\theta )}}\,{\vec {k}}_{1}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{21}^{\,C}=v_{0}\,[\,\mathrm {tg} (\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}-\,{\vec {\jmath }}_{1}]$

Cálculo de las demás magnitudes cinemáticas solicitadas

La velocidad ${\vec {v}}_{20}^{\,O}\,$ se puede deducir aplicando la ley de composición de velocidades en el punto $O\,$:

$\underbrace {{\vec {v}}_{21}^{\,O}} _{=\,{\vec {0}}}={\vec {v}}_{20}^{\,O}+{\vec {v}}_{01}^{\,O}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,{\vec {v}}_{20}^{\,O}=-\,{\vec {v}}_{01}^{\,O}=-\,{\vec {v}}_{01}^{\,\mathrm {tras} }=v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}$

La aceleración ${\vec {a}}_{20}^{\,O}\,$ se puede deducir aplicando la ley de composición de aceleraciones en el punto $O\,$:

$\underbrace {{\vec {a}}_{21}^{\,O}} _{=\,{\vec {0}}}={\vec {a}}_{20}^{\,O}+\underbrace {{\vec {a}}_{01}^{\,O}} _{=\,{\vec {0}}}+\,2\underbrace {{\vec {\omega }}_{01}} _{=\,{\vec {0}}}\times \,{\vec {v}}_{20}^{\,O}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,{\vec {a}}_{20}^{\,O}={\vec {0}}$

donde se ha tenido en cuenta que el punto $O\,$ es un punto fijo en el movimiento $\{21\}\,$ (por eso ${\vec {a}}_{21}^{\,O}\,$ es nula), y que la traslación $\{01\}\,$ es de velocidad constante (por eso ${\vec {a}}_{01}^{\,O}\,$ es nula).

La aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}\,$ se puede obtener a partir de su definición:

${\vec {\alpha }}_{21}=\left.\displaystyle {\frac {{\mbox{d}}\,{\vec {\omega }}_{21}}{\mathrm {d} \,t}}\right|_{1}=-{\frac {v_{0}\,\mathrm {sen} (\theta )}{L\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta )}}\,{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}$

Pero el enunciado del problema nos dice que ${\dot {\theta }}\,$ no debe aparecer en los resultados finales. Así que, teniendo en cuenta la definición del ángulo $\theta \,$, relacionaremos ${\dot {\theta }}\,$ con la velocidad angular del movimiento $\{21\}\,$ (ya determinada en el apartado anterior):

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {k}}_{1}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,{\dot {\theta }}=\omega _{21}=-{\frac {v_{0}}{L\,\mathrm {cos} (\theta )}}$

Y sustituyendo esta expresión de ${\dot {\theta }}\,$, completamos la determinación de la aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}\,$:

${\vec {\alpha }}_{21}=-{\frac {v_{0}\,\mathrm {sen} (\theta )}{L\,\mathrm {cos} ^{2}(\theta )}}\left[-{\frac {v_{0}}{L\,\mathrm {cos} (\theta )}}\right]{\vec {k}}_{1}=\displaystyle {\frac {v_{0}^{2}\,\mathrm {sen} (\theta )}{L^{2}\,\mathrm {cos} ^{3}(\theta )}}\,{\vec {k}}_{1}$

Por último, la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,C}\,$ se puede obtener a partir de ${\vec {a}}_{21}^{\,O}\,$, ${\vec {\alpha }}_{21}\,$ y ${\vec {\omega }}_{21}\,$ mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento $\{21\}\,$:

${\vec {a}}_{21}^{\,C}=\underbrace {{\vec {a}}_{21}^{\,O}} _{=\,{\vec {0}}}\,+\,\,{\vec {\alpha }}_{21}\,\times \,{\overrightarrow {OC}}-|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}\,{\overrightarrow {OC}}=-\displaystyle {\frac {v_{0}^{2}}{L\,\mathrm {cos} ^{3}(\theta )}}\,{\vec {\imath }}_{1}$