No Boletín - Dos varillas (Ex.Feb/14)

Enunciado

La varilla rígida $AB\,$ (sólido "0"), de longitud $2L\,$, está vinculada mediante un par cilíndrico al eje vertical $OZ_{1}\,$ del triedro fijo $OX_{1}Y_{1}Z_{1}\,$ (sólido "1"), de tal forma que dicha varilla se mantiene en todo instante perpendicular al eje $OZ_{1}\,$. La varilla "0" rota alrededor del eje $OZ_{1}\,$ con velocidad angular constante $\Omega \,$ (en el sentido mostrado en la figura) y, simultáneamente, su extremo $A\,$ recorre el citado eje $OZ_{1}\,$ con celeridad constante $v_{0}\,$ (en el sentido indicado en la figura). Por otra parte, una segunda varilla rígida $CD\,$ (sólido "2"), de longitud $L\,$, se encuentra articulada mediante un par de revolución al centro $C\,$ de la primera, de tal forma que la varilla "2" se mantiene siempre contenida en el plano perpendicular a la varilla "0" que pasa por $C\,$. El movimiento {20} viene dado por la rotación de la varilla "2" alrededor del eje de la varilla "0" (eje $AX_{0}\,$) con velocidad angular constante $\Omega \,$ (en el sentido mostrado en la figura). Sea $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$ la base ortonormal asociada al triedro $AX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$ (sólido "0") que se define en la figura.

Determine las siguientes magnitudes:

1. Velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,C}\,$
2. Aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}\,$
3. Aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,C}\,$

Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

El movimiento de arrastre {01} (par cilíndrico) es un movimiento helicoidal alrededor de un eje fijo ($OZ_{1}\equiv OZ_{0}\,$), y podemos caracterizarlo mediante su reducción cinemática en el punto $A\,$ (las direcciones, los módulos y los sentidos de ${\vec {\omega }}_{01}\,$ y ${\vec {v}}_{01}^{\,A}\,$ se deducen del enunciado):

$\left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{01}(t)=\Omega \,{\vec {k}}_{0}=\Omega \,{\vec {k}}_{1}\\\\{\vec {v}}_{01}^{\,A}(t)=-v_{0}\,{\vec {k}}_{0}=-v_{0}\,{\vec {k}}_{1}\end{array}}\right.$

Por otra parte, el movimiento relativo {20} (par de revolución) es una rotación pura alrededor de un eje fijo ($AX_{0}\,$), y podemos caracterizarlo mediante su reducción cinemática en el punto $C\,$ (${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$ es nula por pertenecer $C\,$ al eje permanente de rotación {20}; y la dirección, el módulo y el sentido de ${\vec {\omega }}_{20}\,$ se deducen del enunciado):

$\left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{20}(t)=\Omega \,{\vec {\imath }}_{0}\\\\{\vec {v}}_{20}^{\,C}(t)={\vec {0}}\end{array}}\right.$

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también las aceleraciones angulares y las aceleraciones de los puntos $A\,$ y $C\,$, respectivamente, en los movimientos de arrastre y relativo:

${\begin{array}{l}{\vec {\alpha }}_{01}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \,{\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} (\Omega \,{\vec {k}}_{1})}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}\,\,;\\\\{\vec {a}}_{01}^{\,A}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}^{\,A}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} (-v_{0}\,{\vec {k}}_{1})}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}\,\,;\end{array}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\begin{array}{l}{\vec {\alpha }}_{20}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} (\Omega \,{\vec {\imath }}_{0})}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}\\\\{\vec {a}}_{20}^{\,C}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,C}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {0}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}\end{array}}$

Velocidad {01} del punto C

La velocidad de arrastre ${\vec {v}}_{01}^{\,C}\,$ se determina utilizando la ecuación del campo de velocidades {01}:

${\vec {v}}_{01}^{\,C}=\displaystyle {\vec {v}}_{01}^{\,A}+\,\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {AC}}=-v_{0}\,{\vec {k}}_{0}+\Omega \,{\vec {k}}_{0}\times L\,{\vec {\imath }}_{0}=\Omega L\,{\vec {\jmath }}_{0}-v_{0}\,{\vec {k}}_{0}$

Aceleración angular {21}

Determinamos ${\vec {\alpha }}_{21}\,$ aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:

${\vec {\alpha }}_{21}=\underbrace {{\vec {\alpha }}_{20}} _{=\,{\vec {0}}}+\underbrace {{\vec {\alpha }}_{01}} _{=\,{\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\times \Omega \,{\vec {\imath }}_{0}=\Omega ^{2}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Aceleración {21} del punto C

Calculamos primero la aceleración de arrastre ${\vec {a}}_{01}^{\,C}\,$ (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):

${\vec {a}}_{01}^{\,C}=\underbrace {{\vec {a}}_{01}^{\,A}} _{=\,{\vec {0}}}+\,\underbrace {{\vec {\alpha }}_{01}} _{=\,{\vec {0}}}\times \,{\overrightarrow {AC}}\,+\,{\vec {\omega }}_{01}\times (\omega _{01}\times {\overrightarrow {AC}})=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\times (\Omega \,{\vec {k}}_{0}\times L\,{\vec {\imath }}_{0})=-\,\Omega ^{2}L\,{\vec {\imath }}_{0}$

y después la sustituimos en la ley de composición de aceleraciones para obtener la aceleración absoluta ${\vec {a}}_{21}^{\,C}\,$ (en este ejercicio se anulan los correspondientes términos de aceleración relativa y de aceleración de Coriolis):

${\vec {a}}_{21}^{\,C}=\underbrace {{\vec {a}}_{20}^{\,C}} _{=\,{\vec {0}}}+\,\,{\vec {a}}_{01}^{\,C}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\times \underbrace {{\vec {v}}_{20}^{\,C}} _{=\,{\vec {0}}}=-\,\Omega ^{2}L\,{\vec {\imath }}_{0}$