Barra rotando alrededor de su centro con muelle (Sept.2022 G.I.C.)

Enunciado

Una barra delgada, de masa despreciable y longitud $2d$, esta articulada y puede rotar alrededor de su punto central $G$. El extremo $A$ está conectado a un muelle de constante elástica $k=mg/d$ y longitud natural nula. El otro extremo del muelle se conecta en $D$ a un pasador, de modo que el muelle siempre se mantiene vertical. En el punto $C$ de la placa se encuentra una argolla de masa $m$ que puede deslizar sobre la barra (esta argolla se trata como una masa puntual) El contacto entre la argolla y la barra es rugoso, con coeficiente de rozamiento estático $\mu$. La gravedad actúa como se indica en la figura.

1. Escribe los vectores ${\overrightarrow {OD}}$ y ${\overrightarrow {OA}}$ en la base vectorial asociada a los ejes de la figura.
2. Dibuja los diagramas de fuerza de la barra y de la masa.
3. Encuentra para que valor o valores de $\theta$ hay equilibrio mecánico y los valores de todas las fuerzas en esa situación.
4. En la situación del apartado anterior, ¿qué condición debe cumplir $\mu$ para que la masa no deslice?

Solución

Vamos a tratar el problema como un problema plano. Todas las fuerzas y movimientos se producen en el plano de la figura.

Vectores geométricos

Podemos construir el vector ${\overrightarrow {OA}}$ como

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OA}}={\overrightarrow {OG}}+{\overrightarrow {GA}}=d\cos \theta \,{\vec {\imath }}+d(1-\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\jmath }}.\\\quad {\overrightarrow {OG}}=d\,{\vec {\jmath }}.\\\quad {\overrightarrow {GA}}=d\cos \theta \,{\vec {\imath }}-d\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}.\end{array}}$

Ahora es fácil ver que

${\overrightarrow {OD}}=d\cos \theta \,{\vec {\imath }}.$

Diagramas de fuerzas

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la argolla (en rojo) y sobre la barra (en azul). Sobre la argolla tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {P}}_{m}=-mg\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {N}}_{b\to m}=N_{m}\,(\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+\cos \theta \,{\vec {\jmath }}),\\{\vec {F}}_{b\to m}^{\,R}=F_{R}\,(-\cos \theta \,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}).\end{array}}$

El peso es una fuerza activa y las otras son vinculares. La fuerza ${\vec {N}}_{b\to m}$ es la fuerza vincular que ejerce la barra sobre la argolla para impedir que se salga. Es perpendicular a la barra, porque esa es la dirección del movimiento prohibido para la argolla. Puede apuntar en cualquiera de los dos sentidos, pues se trata de un vínculo bilateral. La fuerza ${\vec {F}}_{b\to m}^{\,R}$ es la fuerza de rozamiento entre la barra y la argolla. También puede apuntar en los dos sentidos.

Las fuerzas sobre la barra son

${\begin{array}{ll}{\vec {F}}_{m}=-k{\overrightarrow {DA}}=-mg(1-\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\jmath }}&(A)\\\quad {\overrightarrow {DA}}={\overrightarrow {OA}}-{\overrightarrow {AD}}=d(1-\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\jmath }}&\\{\vec {G}}=G_{x}\,{\vec {\imath }}+G_{y}\,{\vec {\jmath }}&(G)\\{\vec {N}}_{m\to b}=-{\vec {N}}_{b\to m}=-N_{m}\,(\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+\cos \theta \,{\vec {\jmath }}),&(C)\\{\vec {F}}_{m\to b}^{\,R}=-{\vec {F}}_{b\to m}^{\,R}=F_{R}\,(\cos \theta \,{\vec {\imath }}-\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}).&(C)\end{array}}$

Se indica a la derecha el punto de la barra en que se ejerce la fuerza correspondiente. Esto hay que hacerlo porque es un sólido rígido. La fuerza que ejerce el muelle, ${\vec {F}}_{m}$, es activa. Las otras fuerzas son vinculares. La fuerza ${\vec {G}}$ es la que ejerce el soporte sobre la barra para impedir que su punto central se mueva. No es una fuerza normal, es decir, no tiene que ser perpendicular a la barra. Puede tener cualquier dirección, pues el centro de la barra no puede hacer ningún movimiento. Las fuerzas ${\vec {N}}_{m\to b}$ y ${\vec {F}}_{m\to b}^{\,R}$ son reacciones a las fuerzas que ejerce la barra sobre la argolla. Hemos usado que, según el enunciado, $k=mg/d$.

Tras este proceso, y como el enunciado pregunta por el ángulo de equilibrio, vemos que las incógnitas son $\{\theta ,N_{m},F_{R},G_{x},G_{y}\}$. Necesitamos entonces 5 ecuaciones.

Equilibrio mecánico

El sistema se compone de una partícula (la argolla) y un sólido rígido (la barra). La condición de equilibrio para una partícula es que la suma de fuerzas sobre ella sea nula. Para un sólido rígido, es que la suma de fuerzas sea nula y que el momento neto total sea nulo respecto de cualquier punto.

Equilibrio de la argolla

Aplicando la condición de equilibrio para la argolla tenemos

${\vec {P}}_{m}+{\vec {N}}_{b\to m}+{\vec {F}}_{b\to m}^{\,R}={\vec {0}}\Rightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}X)&\to &N_{m}\,\mathrm {sen} \,\theta -F_{R}\cos \theta =0&(1)\\Y)&\to &N_{m}\cos \,\theta +F_{R}\,\mathrm {sen} \,\theta -mg=0&(2)\end{array}}\right.$

Podemos resolver estas dos ecuaciones para obtener

$N_{m}=mg\cos \theta ,\qquad F_{R}=mg\,\mathrm {sen} \,\theta .$

Equilibrio de la barra

La condición de que la fuerza neta sea cero nos da

${\vec {F}}_{m}+{\vec {G}}+{\vec {N}}_{m\to b}+{\vec {F}}_{m\to b}^{\,R}={\vec {0}}\Rightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}X)&\to &G_{x}-N_{m}\,\mathrm {sen} \,\theta +F_{R}\cos \theta =0&(3)\\Y)&\to &-mg\,(1-\mathrm {sen} \,\theta )+G_{y}-N_{m}\cos \theta -F_{R}\,\mathrm {sen} \,\theta =0&(4)\end{array}}\right.$

Calculamos los momentos en el centro de la barra. De este modo, la fuerza vincular ${\vec {G}}$ no contribuye, pues se aplica en $G$. La fuerza de rozamiento tampoco, pues el punto $G$ está en su recta soporte. Entonces, el momento total es

${\vec {M}}_{G}^{\,Tot}={\overrightarrow {GA}}\times {\vec {F}}_{m}+{\overrightarrow {GC}}\times {\vec {N}}_{m\to b}={\vec {0}}.$

Hacemos los productos vectoriales

${\overrightarrow {GA}}\times {\vec {F}}_{m}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\d\cos \theta &-d\,\mathrm {sen} \,\theta &0\\0&-mg\,(1-\mathrm {sen} \,\theta )&0\end{array}}\right|=-mgd\cos \theta \,(1-\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {k}}.$

${\overrightarrow {GC}}\times {\vec {N}}_{m\to b}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-{\dfrac {d}{2}}\cos \theta &{\dfrac {d}{2}}\,\mathrm {sen} \,\theta &0\\-N_{m}\,\mathrm {sen} \,\theta &-N_{m}\cos \theta &0\end{array}}\right|={\dfrac {1}{2}}N_{m}d\,{\vec {k}}.$

Entonces, obtenemos la ecuación

$N_{m}=2mg\cos \theta \,(1-\mathrm {sen} \,\theta ).\quad (5)$

Esta ecuación nos permite obtener el ángulo de equilibrio. Sustituuendo la expresión de $N_{m}$ obtenida antes, tenemos

$mg\cos \theta =2mg\,\cos \theta \,(1-\mathrm {sen} \,\theta ).$

Esto da dos posibles ángulos de equilibrio

${\begin{array}{lcl}\cos \theta =0&\Rightarrow &\theta _{1}=\pi /2\\\mathrm {sen} \,\theta =1/2&\Rightarrow &\theta _{2}=\pi /6.\end{array}}$

El primer ángulo corresponde a la situación en que la barra está completamente vertical. En este caso, no habría fuerza de rozamiento de la barra sobre la argolla, pues no habría fuerza normal. No es por tanto una posición de equilibrio. El segundo corresponde a la barra formando un ángulo de 30º con la horizontal.

Las ecuaciones (3) y (4) dan los valores de la componentes de la fuerza vincular sobre la barra en $G$

${\begin{array}{l}G_{x}=0,\\G_{y}=mg\,(2-\mathrm {sen} \,\theta ).\end{array}}$

Aplicando los dos valores de equilibrio tenemos

$\theta =\theta _{2}=\pi /6\to \left\{{\begin{array}{l}N_{m}={\sqrt {3}}mg/2\\F_{R}=mg/2\\G_{x}=0,\\G_{y}=3mg/2\end{array}}\right.$

Tiene sentido que $G_{x}$ sea cero. Si consideramos la argolla y la barra como un sólo sólido (usando el principio de solidificación), las únicas fuerzas externas son ${\vec {P}}_{m}$, ${\vec {F}}_{m}$ y la fuerza vincular ${\vec {G}}$. El peso de la argolla y la fuerza del muelle tienen sólo componente vertical. Por tanto, la fuerza ${\vec {G}}$ debe ser paralela al ej $Y$.

Condición de no deslizamiento

La condición para que la argolla no deslice es

$|{\vec {F}}_{b\to m}^{\,R}|\leq \mu |{\vec {N}}_{b\to m}|\Rightarrow |F_{R}|\leq \mu |N_{m}|$

Para el valor de ángulo de equilibrio $\theta _{2}$ tenemos

$mg{\dfrac {1}{2}}\leq \mu mg{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\Rightarrow \mu \geq 1/{\sqrt {3}}$