Sin resumen de edición
Línea 7: Línea 7:
'''Nota''': Para resolver el ejercicio, se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro &ldquo;0&rdquo; de la figura, cuyo plano vertical <math>AX_0Z_0</math> contiene al aro en todo instante.
'''Nota''': Para resolver el ejercicio, se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro &ldquo;0&rdquo; de la figura, cuyo plano vertical <math>AX_0Z_0</math> contiene al aro en todo instante.


==Velocidad y aceleración angular==
==Velocidad angular==
===Velocidad angular===
De acuerdo con la fórmula de composición de velocidades angulares
De acuerdo con la fórmula de composición de velocidades angulares


Línea 27: Línea 26:
<center><math>\vec{\omega}_{21}=-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0+\dot{\varphi}\vec{k}_0</math></center>
<center><math>\vec{\omega}_{21}=-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0+\dot{\varphi}\vec{k}_0</math></center>


===Aceleración angular===
==Aceleración angular==
Para la aceleración angular, la ley de composición correspondiente es
Para la aceleración angular, la ley de composición correspondiente es


Línea 44: Línea 43:
<center><math>\vec{\alpha}_{21}=\dot{\varphi}\dot{\theta}\vec{\imath}_0-\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0+\ddot{\varphi}\vec{k}_0</math></center>
<center><math>\vec{\alpha}_{21}=\dot{\varphi}\dot{\theta}\vec{\imath}_0-\ddot{\theta}\vec{\jmath}_0+\ddot{\varphi}\vec{k}_0</math></center>


===Eje instantáneo de rotación===
==Eje instantáneo de rotación==
El teorema de Varignon afirma que la composición de dos (o más) rotaciones sobre ejes concurrentes (que pasan por un punto común) es otra rotación alrededor de un eje que pasa por el mismo punto. En este caso tenemos que el movimiento de arrastre {01} es una rotación en torno a un eje que pasa por A y B; el movimiento relativo es otra rotación alrededor de un eje paralelo al OY que pasa por C. Ambos ejes de rotación se cortan en C. Por tanto, la composición de ambos es una rotación instantánea en torno a un eje que pasa por C y tiene la dirección marcada por <math>\vec{\omega}_{21}</math>.
El teorema de Varignon afirma que la composición de dos (o más) rotaciones sobre ejes concurrentes (que pasan por un punto común) es otra rotación alrededor de un eje que pasa por el mismo punto. En este caso tenemos que el movimiento de arrastre {01} es una rotación en torno a un eje que pasa por A y B; el movimiento relativo es otra rotación alrededor de un eje paralelo al OY que pasa por C. Ambos ejes de rotación se cortan en C. Por tanto, la composición de ambos es una rotación instantánea en torno a un eje que pasa por C y tiene la dirección marcada por <math>\vec{\omega}_{21}</math>.


Línea 51: Línea 50:
<center><math>\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}=R\vec{k}_0+\lambda(-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0+\dot{\varphi}\vec{k}_0)</math></center>
<center><math>\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}=R\vec{k}_0+\lambda(-\dot{\theta}\vec{\jmath}_0+\dot{\varphi}\vec{k}_0)</math></center>


==Velocidad y aceleración lineal==
==Velocidad de P==
===Velocidad de P===
La velocidad absoluta de P es suma de la relativa más la de arrastre
La velocidad absoluta de P es suma de la relativa más la de arrastre


Línea 69: Línea 67:
<center><math>\vec{v}^P_{21}=\vec{v}^P_{20}=-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0</math></center>
<center><math>\vec{v}^P_{21}=\vec{v}^P_{20}=-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0</math></center>


===Aceleración de P===
==Aceleración de P==
La aceleración absoluta sigue la ley de composición  
La aceleración absoluta sigue la ley de composición  



Revisión del 16:33 15 ene 2024

Enunciado

El sistema de la figura está constituido por un aro rígido (sólido “0”), de centro C y radio , que rota libremente alrededor de su diámetro vertical fijo AB contenido en el eje del triedro (sólido “1”); y por una varilla rígida PQ (sólido “2”), de centro G, cuyos extremos se hallan articulados a sendos deslizadores que los obligan a moverse sobre el aro. Describiendo la cinemática del sistema mediante las derivadas temporales de los ángulos y definidos en la figura, determine:

  1. , y eje instantáneo de rotación del movimiento {21}.
  2. y en el instante en que el extremo P de la varilla pasa por el punto más alto del aro (punto B).

Nota: Para resolver el ejercicio, se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” de la figura, cuyo plano vertical contiene al aro en todo instante.

Velocidad angular

De acuerdo con la fórmula de composición de velocidades angulares

Hallamos cada una por separado.

Velocidad angular de arrastre {01}
es la correspondiente a una rotación alrededor de un eje permanente de rotación, en este caso el OZ, por lo que
Velocidad angular relativa {20}
la da la variación del ángulo . Aunque el segmento CG (con G el punto medio de la varilla) aparentemente no es parte del sólido “2”, es fácil ver que sí se mueve con él y forma parte integral de este sólido. La dirección y sentido de esta velocidad angular la da la regla de la mano derecha, viendo para qué lado gira la varilla cuando aumenta
Velocidad angular absoluta {21}
la calculamos como suma de las dos anteriores

Aceleración angular

Para la aceleración angular, la ley de composición correspondiente es

Las aceleraciones angulares relativa y de arrastre pueden hallarse a partir de sus definiciones, es decir, simplemente derivando respecto al tiempo las velocidades angulares correspondientes:

        

El término de acoplamiento entre las velocidades angulares vale

Sumando los tres términos obtenemos la aceleración angular absoluta

Eje instantáneo de rotación

El teorema de Varignon afirma que la composición de dos (o más) rotaciones sobre ejes concurrentes (que pasan por un punto común) es otra rotación alrededor de un eje que pasa por el mismo punto. En este caso tenemos que el movimiento de arrastre {01} es una rotación en torno a un eje que pasa por A y B; el movimiento relativo es otra rotación alrededor de un eje paralelo al OY que pasa por C. Ambos ejes de rotación se cortan en C. Por tanto, la composición de ambos es una rotación instantánea en torno a un eje que pasa por C y tiene la dirección marcada por .

En forma vectorial y tomando el origen de coordenadas en el punto A

Velocidad de P

La velocidad absoluta de P es suma de la relativa más la de arrastre

Velocidad de arrastre {01}
Por encontrarse instantáneamente sobre el eje permanente de rotación {01}, la velocidad de arrastre es nula
Velocidad relativa {20}
La velocidad relativa es la debida a un movimiento de rotación en torno a un eje que pasa por C
Velocidad absoluta {21}
Al ser nula la velocidad de arrastre, la absoluta coincide con la relativa

Aceleración de P

La aceleración absoluta sigue la ley de composición

Aceleración de arrastre {01}
Aunque la partícula se encuentre instantáneamente en reposo en el movimiento de arrastre, eso no implica que su aceleración sea nula. Para hallar la aceleración de arrastre empleamos la fórmula para el campo de aceleraciones de un sólido
siendo C un punto fijo del movimiento. Sin embargo, en el instante considerado en el enunciado, el vector de posición relativa va en la dirección del eje AZ, que es la misma de la velocidad y la aceleración angular de arrastre. Por tanto, los productos vectoriales son nulos y resulta que, efectivamente, su aceleración de arrastre es nula
Aceleración relativa {20}
De nuevo empleamos la expresión para la aceleración de un punto de un sólido rígido
resultando la aceleración
Término de Coriolis
Sustituyendo en la expresión de este producto
Aceleración absoluta {21}
Sumando los tres términos