No Boletín - Disco contenido en plano rotatorio (Ex.Ene/15)

Enunciado

Mediante un par de revolución, el plano $OX_{0}Z_{0}\,$ (sólido "0") rota alrededor del eje vertical fijo $OZ_{1}\equiv OZ_{0}\,$ en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante $\omega \,$, de forma que el eje $OX_{0}\,$ permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo $OX_{1}Y_{1}\,$ (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de centro $C\,$ y radio $R\,$, contenido en todo instante en el plano $OX_{0}Z_{0}\,$, rueda sobre el eje horizontal $OX_{0}\,$ en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular de módulo constante $\omega \,$, mientras que su centro $C\,$ avanza con velocidad relativa ${\vec {v}}_{20}^{\,C}(t)=\omega R\,{\vec {\imath }}_{0}\,$. Se denomina $A\,$ al punto de contacto entre el disco y el eje $OX_{0}\,$. Las magnitudes cinemáticas que se piden a continuación se refieren al instante representado en la figura, en el que ${\overrightarrow {OC}}=2R\,{\vec {\imath }}_{0}+R\,{\vec {k}}_{0}\,$. Se pide:

1. Aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}\,$
2. Velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,A}\,$
3. Aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,A}\,$

Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

Los datos contenidos en el enunciado nos permiten expresar en la base vectorial $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$, asociada al triedro $OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$, las reducciones cinemáticas del movimiento {01} (en el punto $O\,$) y del movimiento {20} (en el punto $C\,$), así como un par de vectores geométricos que necesitaremos más adelante:

$\left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{01}(t)=\omega \,{\vec {k}}_{0}\\\\{\vec {v}}_{01}^{\,O}(t)={\vec {0}}\end{array}}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{20}(t)=\omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\\\\{\vec {v}}_{20}^{\,C}(t)=\omega R\,{\vec {\imath }}_{0}\end{array}}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left|{\begin{array}{l}{\overrightarrow {OA}}=2R\,{\vec {\imath }}_{0}\\\\{\overrightarrow {CA}}=-R\,{\vec {k}}_{0}\end{array}}\right.$

habiéndose tenido en cuenta que el punto $O\,$ pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01} (eje $OZ_{1}\equiv OZ_{0}\,$), es decir, que se trata de un punto fijo en dicho movimiento (velocidad permanentemente nula).

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también en los movimientos {01} y {20} las aceleraciones angulares y las aceleraciones de aquellos puntos cuyas velocidades son conocidas en todo instante:

$\left|{\begin{array}{l}{\vec {\alpha }}_{01}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\!=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} (\omega \,{\vec {k}}_{0})}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\!=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} (\omega \,{\vec {k}}_{1})}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\!={\vec {0}}\\\\{\vec {a}}_{01}^{\,O}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}^{\,O}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\!=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {0}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\!={\vec {0}}\end{array}}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left|{\begin{array}{l}{\vec {\alpha }}_{20}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}\!=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} (\omega \,{\vec {\jmath }}_{0})}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}\!={\vec {0}}\\\\{\vec {a}}_{20}^{\,C}=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,C}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}\!=\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} (\omega R\,{\vec {\imath }}_{0})}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}\!={\vec {0}}\end{array}}\right.$

Aceleración angular {21}

Determinamos la aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}\,$ aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:

${\vec {\alpha }}_{21}=\underbrace {{\vec {\alpha }}_{20}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\underbrace {{\vec {\alpha }}_{01}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=\omega \,{\vec {k}}_{0}\times (\omega \,{\vec {\jmath }}_{0})=-\,\omega ^{2}\,{\vec {\imath }}_{0}$

Velocidad instantánea {21} del punto A

Para determinar la velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,A}\,$, calculamos primero las velocidades ${\vec {v}}_{20}^{\,A}\,$ y ${\vec {v}}_{01}^{\,A}\,$ utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{20}^{\,A}=\displaystyle {\vec {v}}_{20}^{\,C}+\,\,{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {CA}}=\omega R\,{\vec {\imath }}_{0}+\omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\times (-R\,{\vec {k}}_{0})={\vec {0}}\\\\{\vec {v}}_{01}^{\,A}=\displaystyle \underbrace {{\vec {v}}_{01}^{\,O}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\,\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}=\omega \,{\vec {k}}_{0}\times 2R\,{\vec {\imath }}_{0}=2\,\omega R\,{\vec {\jmath }}_{0}\end{array}}$

y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades en el punto $A\,$:

${\vec {v}}_{21}^{\,A}={\vec {v}}_{20}^{\,A}+{\vec {v}}_{01}^{\,A}=2\,\omega R\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Aceleración instantánea {21} del punto A

Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,A}\,$ se calcula así:

${\vec {a}}_{21}^{\,A}={\vec {a}}_{20}^{\,A}+{\vec {a}}_{01}^{\,A}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,A}$

Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración ${\vec {a}}_{20}^{\,A}\,$ (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):

${\vec {a}}_{20}^{\,A}=\underbrace {{\vec {a}}_{20}^{\,C}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\,\underbrace {{\vec {\alpha }}_{20}} _{\displaystyle {\vec {0}}}\times \,{\overrightarrow {CA}}\,+\,{\vec {\omega }}_{20}\times (\omega _{20}\times {\overrightarrow {CA}})=\omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\times [\,\omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\times (-R\,{\vec {k}}_{0})]=\omega ^{2}R\,{\vec {k}}_{0}$

la aceleración ${\vec {a}}_{01}^{\,A}\,$ (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):

${\vec {a}}_{01}^{\,A}=\underbrace {{\vec {a}}_{01}^{\,O}} _{\displaystyle {\vec {0}}}+\,\underbrace {{\vec {\alpha }}_{01}} _{\displaystyle {\vec {0}}}\times \,{\overrightarrow {OA}}\,+\,{\vec {\omega }}_{01}\times (\omega _{01}\times {\overrightarrow {OA}})=\omega \,{\vec {k}}_{0}\times (\omega \,{\vec {k}}_{0}\times 2R\,{\vec {\imath }}_{0})=-2\,\omega ^{2}R\,{\vec {\imath }}_{0}$

y el término de Coriolis (mediante su fórmula):

$2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,A}=2\,\omega \,{\vec {k}}_{0}\times {\vec {0}}={\vec {0}}$

Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración ${\vec {a}}_{21}^{\,A}\,$:

${\vec {a}}_{21}^{\,A}={\vec {a}}_{20}^{\,A}+{\vec {a}}_{01}^{\,A}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\!\times {\vec {v}}_{20}^{\,A}=\omega ^{2}R\,(-2\,{\vec {\imath }}_{0}+{\vec {k}}_{0})$