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(Sin diferencias)

Revisión del 20:26 12 ene 2024

Enunciado

Un cono recto (sólido "2"), con un semiángulo de en el vértice, rueda sin deslizar sobre el plano horizontal del triedro fijo (sólido "1"), manteniendo su vértice fijo en el punto y teniendo en cada instante una generatriz en contacto con el citado plano horizontal. Se define un triedro auxiliar móvil (sólido "0"), cuyo eje coincide con el eje , y cuyo plano contiene siempre al centro de la base del cono y, por tanto, contiene también al eje de simetría del cono. Se conoce como dato que (siendo una constante positiva). Sea la base ortonormal asociada al triedro .

  1. ¿Cuál es el eje instantáneo de rotación del movimiento ?
  2. Determine la velocidad angular .
  3. Determine la aceleración angular .

Ejes de rotación de los movimientos {21}, {01} y {20}

Aunque sólo se pide el eje instantáneo de rotación del movimiento , conviene determinar también los ejes de rotación de los movimientos y .

Se nos dice que el cono (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el plano horizontal (sólido "1"). La condición de no deslizamiento implica la nulidad de las velocidades instantáneas de todos los puntos de la generatriz de contacto entre el cono y el plano (generatriz ), lo que a su vez conlleva la pertenencia de dicha generatriz al eje instantáneo de rotación del movimiento . Así pues, el eje instantáneo de rotación del movimiento coincide con el eje :

tratándose de un eje instantáneo (y no permanente) de rotación al ser un eje móvil respecto al observador "1".

Dado que el eje (sólido "0") es coincidente con el eje (sólido "1"), es obvio que todos sus puntos están en reposo permanente en el movimiento y constituyen el eje permanente de rotación del movimiento :

tratándose de un eje permanente de rotación al ser un eje fijo respecto al observador "1".

Por último, se observa que el eje de simetria del cono (sólido "2") ocupa una posición fija en el triedro (sólido "0"), de modo que todos sus puntos se hallan en reposo permanente en el movimiento y constituyen el eje permanente de rotación del movimiento :

tratándose de un eje permanente de rotación al ser un eje fijo respecto al observador "0".

Velocidad angular del movimiento {20}

Aunque sólo se pide la velocidad angular del movimiento , sin apenas esfuerzo adicional obtendremos también la velocidad angular del movimiento .

Se conoce como dato la velocidad angular del movimiento :

Por otra parte, sabemos que la velocidad angular de cada movimiento tiene necesariamente la dirección del eje de rotación de dicho movimiento. Por tanto:

Exigiendo el cumplimiento de la ley de composición de velocidades angulares y separando componentes en la base "0", se obtiene un sistema de dos ecuaciones para las incógnitas y :

Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtienen las siguientes soluciones:

Aceleración angular del movimiento {21}

Calculamos primero, mediante su definición, las aceleraciones angulares de los movimientos y :

y, a continuación, determinamos la aceleración angular del movimiento mediante la ley de composición de aceleraciones angulares:

También se puede calcular la aceleración angular del movimiento derivando respecto al tiempo la velocidad angular del movimiento :