No Boletín - Composición de dos rotaciones paralelas (Ex.Jun/13)

Enunciado

Considérese una terna de sólidos rígidos ("0", "1" y "2") tal que los movimientos relativo {20} y de arrastre {01} son sendas rotaciones paralelas. El EIR{20} es la recta {$\,\,x=0\,$, $y=L\neq 0\,$}, mientras que el EIR{01} es la recta {$\,\,x=0\,$, $y=-L\,$}. Las velocidades angulares relativa ${\vec {\omega }}_{20}\,$ y de arrastre ${\vec {\omega }}_{01}\,$ apuntan ambas en el sentido positivo del eje cartesiano al cual son paralelas, y sus respectivos módulos son los siguientes:

$|{\vec {\omega }}_{20}|=\Omega \neq 0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|{\vec {\omega }}_{01}|=2\,\Omega$

1. ¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
2. ¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?

Clasificación del movimiento {21}

Tenemos la información necesaria para determinar los vectores ${\vec {\omega }}_{20}\,$ y ${\vec {\omega }}_{01}.\,$ El enunciado nos proporciona los valores de sus respectivos módulos $(|\,{\vec {\omega }}_{20}|=\Omega \,;\,\,|\,{\vec {\omega }}_{01}|=2\,\Omega )\,$, la dirección de ambos $({\vec {\omega }}_{20}\parallel \mathrm {EIR\{20\}} \parallel OZ\parallel \mathrm {EIR\{01\}} \parallel {\vec {\omega }}_{01})\,$ y el sentido de ambos $(+{\vec {k}})\,$. Así que:

${\vec {\omega }}_{20}=\Omega \,{\vec {k}}\;;\;\;\;\;\;\;{\vec {\omega }}_{01}=2\,\Omega \,{\vec {k}}$

La ley de composición de velocidades angulares nos permite determinar la velocidad angular del movimiento {21}:

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}=3\,\Omega \,{\vec {k}}$

Como se ha podido observar, el EIR{20} y el EIR{01} no son ejes concurrentes. Son ejes paralelos en este caso.

NOTA: Cuando se componen dos rotaciones puras de ejes conocidos, es interesante comprobar si ambos ejes son o no concurrentes. Porque en el caso de que ambos ejes se corten en un punto, automáticamente sabemos que en dicho punto la velocidad del movimiento compuesto va a ser nula, y por tanto el movimiento compuesto será otra rotación pura cuyo eje pasará por el punto de concurrencia.

Para clasificar el movimiento {21} necesitamos ahora calcular la velocidad {21} de algún punto (para determinar después el segundo invariante). Vamos a hallar, por ejemplo, la velocidad {21} del origen de coordenadas $O(0,0,0)\,$ como suma de las velocidades {20} y {01} de dicho punto (ley de composición de velocidades). Y para calcular las velocidades {20} y {01} de $O\,$ nos apoyaremos, respectivamente, en los puntos $A(0,L,0)\in \mathrm {EIR\{20\}} \,$ y $B(0,-L,0)\in \mathrm {EIR\{01\}} \,$. Así:

${\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {v}}_{20}^{\,O}\,+\,{\vec {v}}_{01}^{\,O}=(\underbrace {{\vec {v}}_{20}^{\,A}} _{={\vec {0}}}\,+\,\,{\vec {\omega }}_{20}\,\times \,{\overrightarrow {AO}})\,+\,(\underbrace {{\vec {v}}_{01}^{\,B}} _{={\vec {0}}}\,+\,\,{\vec {\omega }}_{01}\,\times \,{\overrightarrow {BO}})=\Omega \,{\vec {k}}\,\times \,(-L\,{\vec {\jmath }}\,)\,+\,2\,\Omega \,{\vec {k}}\,\times \,L\,{\vec {\jmath }}=-\Omega L\,{\vec {\imath }}$

Calculamos ahora el segundo invariante:

$v_{21}^{\mathrm {min} }={\frac {{\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {v}}_{21}^{\,O}}{|\,\omega _{21}|}}={\frac {3\,\Omega \,{\vec {k}}\cdot (-\Omega L\,{\vec {\imath }}\,)}{3\,\Omega }}=0$

Concluimos, pues, que el movimiento {21} es una rotación pura, ya que el primer invariante es no nulo y el segundo invariante es nulo:

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{21}=3\,\Omega \,{\vec {k}}\neq {\vec {0}}\\\\v_{21}^{\mathrm {min} }=0\end{array}}\right\}\,\,\,\longrightarrow \,\,\,$ {21} es una ROTACIÓN

Eje instantáneo de rotación del movimiento {21}

A continuación, determinamos un punto $I^{*}\,$ perteneciente al EIR{21} utilizando la fórmula:

${\overrightarrow {OI^{*}}}={\frac {{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{21}^{\,O}}{|\,{\vec {\omega }}_{21}|^{\,2}}}={\frac {3\,\Omega \,{\vec {k}}\times (-\Omega L\,{\vec {\imath }}\,)}{(3\,\Omega )^{\,2}}}=-{\frac {L}{3}}\,{\vec {\jmath }}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,I^{*}\left(0,-{\frac {L}{3}},0\right)\in \mathrm {EIR\{21\}}$

Por otra parte, la dirección del EIR{21} es la dirección del vector velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}\,$. En definitiva, las ecuaciones del EIR{21} son:

${\frac {x}{0}}={\frac {y+L/3}{0}}={\frac {z}{3\,\Omega }}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\{x=0,\,\,y=-L/3\}$