No Boletín - Identificación de movimiento a partir de dos velocidades (Ex.Sep/15)

=Enunciado

Se conocen las velocidades de dos puntos de un sólido rígido en un instante dado:

$A\,(1,-1,0)\,\mathrm {m} \,\longrightarrow \,{\vec {v}}_{A}=(-{\vec {\imath }}\,+\,{\vec {\jmath }}\,-\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} \mathrm {/s} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B\,(2,1,1)\,\mathrm {m} \,\longrightarrow \,{\vec {v}}_{B}=(-{\vec {\imath }}\,+\,{\vec {\jmath }}\,-\,{\vec {k}}\,)\,\mathrm {m} \mathrm {/s}$

¿Qué sabemos con certeza de este movimiento instantáneo? (NOTA: hay que elegir sólo una de las cuatro siguientes afirmaciones).

(a) Puede ser traslación o helicoidal.

(b) Es traslación.

(c) Puede ser traslación o rotación.

(d) Es helicoidal.

Solución

Observamos que las velocidades de los puntos $\,A\,$ y $\,B\,$ son iguales. Esta igualdad de velocidades es compatible con que el movimiento instantáneo del sólido sea una traslación (en tal caso, todos los puntos del sólido tendrían esa misma velocidad). Ahora bien, no tenemos certeza de que se trate de una traslación. Para estar seguros necesitaríamos saber que esa misma velocidad de $\,A\,$ y $\,B\,$ la tuviese también al menos un tercer punto del sólido no alineado con los otros dos. Así que debemos descartar la afirmación (b) porque la traslación es posible pero no tenemos certeza de ella.

Supongamos ahora que no se trata de una traslación. Entonces, la velocidad angular ${\vec {\omega }}\,$ del sólido es distinta de cero (el reposo instantáneo también está descartado al no ser nulas las velocidades conocidas), y la igualdad entre las velocidades de los puntos $A\,$ y $B\,$ implica que la velocidad angular es paralela al vector ${\overrightarrow {AB}}\,$:

${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{B}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\vec {\omega }}\parallel \!{\overrightarrow {AB}}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\vec {\omega }}=\mu \,{\overrightarrow {AB}}=\mu \,(\,{\vec {\imath }}\,+\,2\,{\vec {\jmath }}\,+\,{\vec {k}}\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(} \mu \,\,\mathrm {es} \,\,\mathrm {un} \,\,\mathrm {escalar} \,\,\mathrm {desconocido)}$

Si calculamos la velocidad de deslizamiento $v_{d}\,$, que es la proyección de la velocidad de cualquier punto del sólido sobre la velocidad angular, obtenemos:

$v_{d}={\frac {{\vec {v}}_{A}\cdot \,{\vec {\omega }}}{|\,{\vec {\omega }}\,|}}={\frac {{\vec {v}}_{A}\cdot \,\mu \,{\overrightarrow {AB}}}{|\,\mu \,{\overrightarrow {AB}}\,|}}={\frac {\mu }{|\,\mu \,|}}\,{\frac {(\,-{\vec {\imath }}\,+\,{\vec {\jmath }}\,-\,{\vec {k}}\,)\cdot (\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}\,)}{|\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}\,|}}=0$

Conocida la nulidad o no nulidad de los invariantes primero (${\vec {\omega }}\,$) y segundo ($v_{d}\,$), procedemos a clasificar el movimiento instantáneo del sólido rígido:

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {\omega }}\neq {\vec {0}}\\v_{d}=0\end{array}}\right\}\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\mathrm {ROTACION}$

Por tanto, la opción (c) es la respuesta correcta, ya que los datos del enunciado sólo nos permiten afirmar con certeza que el movimiento instantáneo de este sólido rígido puede ser traslación o rotación. Las afirmaciones (a) y (d) son erróneas porque el movimiento helicoidal queda descartado por la nulidad del segundo invariante $\,v_{d}\,$.