Campo eléctrico de un anillo no homogéneo

Enunciado

Un anillo de radio b se encuentra cargado con una densidad lineal de carga $\lambda =\lambda _{0}\cos ^{2}(\theta '/2)$. El anillo se encuentra situado en el plano OXY, centrado en el origen. θ' es la coordenada angular en cilíndricas (ángulo que el vector de posición forma con OX).

1. ¿Cuánto vale la carga total del anillo?
2. ¿Cuánto vale el campo eléctrico en el centro del anillo?
3. ¿Y el potencial eléctrico en el mismo punto?

Carga total

En primer lugar, debemos recordar la identidad trigonométrica

$\cos ^{2}\left({\frac {\theta '}{2}}\right)={\frac {1+\cos(\theta ')}{2}}$

Tenemos, para la carga

$Q=\int _{L}\mathrm {d} q=\int _{0}^{2\pi }\lambda (\theta ')\mathrm {d} \ell =\int _{0}^{2\pi }{\frac {\lambda _{0}}{2}}(1+\cos(\theta ')b\mathrm {d} \theta '$

Esta integral es suma de dos integrales simples

$Q={\frac {\lambda _{0}b}{2}}\left(\overbrace {\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta '} ^{=2\pi }+\overbrace {\int _{0}^{2\pi }\cos(\theta ')\mathrm {d} \theta '} ^{=0}\right)=\pi \lambda _{0}b$

Campo en el centro del anillo

Para una densidad lineal de carga debemos aplicar la fórmula

${\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathrm {d} q\left({\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }\right)}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }\right|^{3}}}$

donde, en este caso

${\vec {r}}={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {r}}'=b\cos(\theta '){\vec {\imath }}+b\,\mathrm {sen} (\theta '){\vec {\jmath }}$

y, por tanto,

${\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }=-{\vec {r}}^{\,\prime }=-b\cos(\theta '){\vec {\imath }}-b\,\mathrm {sen} (\theta '){\vec {\jmath }}\qquad \qquad |{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }|=|{\vec {r}}^{\,\prime }|=b$

lo que nos deja con la integral

${\vec {E}}({\vec {0}})=-{\frac {\lambda _{0}}{8\pi \varepsilon _{0}b}}\int _{0}^{2\pi }\left(1+\cos(\theta ')\right)\left(\cos(\theta '){\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} (\theta '){\vec {\jmath }}\right)\mathrm {d} \theta '$

El resultado se compone de dos integrales

$\int _{0}^{2\pi }(1+\cos(\theta '))\cos(\theta ')\mathrm {d} \theta '=\int _{0}^{2\pi }\cos(\theta ')\mathrm {d} \theta '+\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}(\theta ')\mathrm {d} \theta '=\pi$

 

$\int _{0}^{2\pi }(1+\cos(\theta '))\mathrm {sen} (\theta ')\mathrm {d} \theta '=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {sen} (\theta ')\mathrm {d} \theta '+\int _{0}^{2\pi }\mathrm {sen} (\theta ')\cos(\theta ')\mathrm {d} \theta '=0$

por lo que el valor del campo es

${\vec {E}}({\vec {0}})=-{\frac {\lambda _{0}}{8\varepsilon _{0}b}}{\vec {\imath }}$

Potencial eléctrico en el centro del anillo

El cálculo del potencial se realiza de manera similar, pero es más simple. En general

$V({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathrm {d} q}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\,\prime }\right|}}$

En el caso particular del centro del anillo, ${\vec {r}}={\vec {0}}$ y esta integral se reduce angular

$V({\vec {0}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathrm {d} q}{b}}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}b}}$

Es decir, solo necesitamos el valor de la carga total, que ya calculamos en el primer apartado.

$V({\vec {0}})={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}b}}={\frac {\lambda _{0}}{4\varepsilon _{0}}}$